УДК 620.1.087.4
О. В. Рыбальский1, Т. В. Мовчан2
1Национальная академия внутренних дел Украины
2Национальный технический университет Украины «КПИ»
Особенности применения вейвлет-анализа
при проведении экспертиз подлинности
цифровых фонограмм
Рассмотрены вопросы выявления следов обработки цифровых фоно-грамм с помощью вейвлет-анализа. Проанализированы искажения формы и спектра содержащихся в них сигналов, образующиеся в результате взаимодействия различных устройств, участвующих в этой обработке. Показано влияние немонотонности и дифференциальной нелинейности статических характеристик квантователей уровня преобразователей на конечную форму и спектр обрабатываемых сигналов. Показана возможность использования вейвлета Морле для проведения анализа фонограмм.
Ключевые слова: фонограмма, цифровая обработка, вейвлет-анализ, вейвлет Морле, квантователь, статическая характеристика, немо-нотонность.
В [1] показано, что при многократной дискретизации аналогового сигнала (АС) в различных устройствах происходит искажение его формы, что, в свою оче-редь, приводит к появлению в его спектре дополнительных частотных составляющих. Их появление обусловлено двумя факторами:
— расхождением истинных значений частоты дискретизаторов различных устройств, используемых для ввода/вывода фонограммы в процессе ее обработки;
— несовпадением участков с дифференциальной нелинейностью и немоно-тонностью статических характеристик (ДНСХ и НСХ соответственно) квантова-телей уровня (КУ), входящих в преобразователи различных устройств, участвую-щих в дискретизации.
Такие искажения АС происходят при обработке в ЭВМ в процессе фальсифи-кации как цифровых, так и аналоговых фонограмм (ЦФ и АФ соответственно).
Напомним, что экспертиза производится путем сравнения параметров АС, воспроизводимых с проверяемой и образцовой фонограмм (Ф). Образцовая Ф за-писывается на аппаратуре, представленной на экспертизу, на которой (по версии, тех, кто представил ее на экспертизу) была записана проверяемая Ф.
© ,
В [2] экспериментально показано, что наиболее пригодным обнаружителем следов такой обработки является сравнительный вейвлет-анализ сигналов, вос-производимых с проверяемой и образцовой фонограмм (эксперимент проводился на гармонических сигналах).
Осмысливая пути использования этого вида анализа для экспертизы подлинности Ф, следует рассмотреть проявление в вейвлет-портрете искажений, возникающих в сигнале при его цифровой обработке, применяемой фальсификатором.
При этом следует учесть, что отклик системы в виде параллельного соедине-ния любых (линейных, нелинейных, статических, динамических) звеньев равен сумме откликов каждого из них [3]. Следствием этого положения является то, что функциональная характеристика параллельного соединения статических звеньев равна сумме функциональных характеристик этих звеньев (своеобразный прин-цип «суперпозиции» для нелинейной безинерционной системы (НБС)).
 |
Этот принцип позволяет рассматривать систему аналого-цифро-аналогового преобразования (АЦАП), поскольку цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП), входящий в оба устройства преобразования, можно заменить одним КУ [4], а сам принцип «суперпозиции» для звеньев СХ показан на рис. 1.
Рис. 1. Соединение звеньев СХ КУ, поясняющее принцип «суперпозиции» для НБС
Следовательно, если на вход цифровой аппаратуры записи аналоговых сигна-лов (ЦАЗАС), КУ которой имеет НСХ, поступает воздействие x(t), то его отклик y(t) (при условии, что сама ЦАЗАС передает цифровые сигналы без потерь) может рассматриваться с точки зрения принципа «суперпозиции» для НБС, и его можно записать как
, (1)
где y1(t) — отклик системы на воздействие, действующее на участке шкалы, в пределах которого в СХ КУ отсутствует НСХ; y2(t) — отклик системы на воздействие, действующее на участке шкалы, в пределах которого в СХ КУ имеется НСХ; l — номер интервала квантования, до которого НСХ в СХ КУ отсутствует;
l + 1 — последующий за l номер интервала квантования, на котором имеется НСХ в СХ КУ; l + 2 — последующий за l + 1 номер интервала квантования, на котором отсутствует НСХ в СХ КУ.
При этом следует отметить, что отклик на интервале квантования l + 1 по своей величине равен величине отклика на интервале l (минимальный вариант значения НСХ, хотя она может и превышать значения уровня МР), что и показано в (1) и на рис. 1.
Следовательно, из (1) видно, что в случае наличия в КУ участка с НСХ поя-вится несоответствие значения выходного кода значению сигнала на входе аналого-цифрового преобразователя (АЦП) при преобразовании. Соответственно, на этом участке СХ КУ будет искажена форма выходного сигнала y(t) на выходе системы АЦАП. Это искажение сигнала будет проявляться в виде провала в его уровне, что непременно приведет к изменению его спектрального состава.
Выражение (1) получено из известной формулы [4] для сигнала на выходе ЦАП, который, в сущности, и является КУ для АЦП последовательных приближений, используемых в ЦАЗАС и платах ввода/вывода звуковых сигналов ПЭВМ [1]
, (2)
где ai — весовые коэффициенты, определяемые соответствующими разрядами двоичного кода, в который преобразован уровень входного АС; U0оп — уровень младшего разряда преобразования; q — разрядность преобразователя.
Часть предложенных в [1] моделей обработки ЦФ предполагают ввод АС в ПЭВМ с аналогового выхода ЦАЗАС, обработку этих сигналов в ПЭВМ и пере-запись обработанных сигналов через аналоговый вход на ту же звукозаписываю-щую аппаратуру (см. рис. 2). Рассмотрим эти модели с точки зрения проявления НСХ в выходных сигналах.
Предположим, на вход АЦП ЦАЗАС подается АС 
, причем частота и размах этого сигнала выбраны так, чтобы НСХ КУ могла проявиться в этом сигнале на любом из уровней квантования КУ, т. е. выполнялось неравенство
, (3)
где fc — частота квантуемого АС; fД — частота сигнала дискретизации АС; q — разрядность преобразователя [2].
Рис. 2. Схема обработки и перезаписи сигналов
В соответствии с моделями, разработанными в [1], АС на выходе ЦАЗАС до его перезаписи будет иметь вид
, (4)
где n1 — номер отсчета (выборки) сигнала на выходе ЦАЗАС; Т1 — шаг дискре-тизации АС в ЦАЗАС; Am1 — амплитуда входного АС.
Спектр этого сигнала
, (5)
где ωД1 — частота дискретизации в ЦАЗАС,
.
Однако, при рассмотрении выражения (4) необходимо учесть, что сигнал на выходе ЦАП для каждой отдельной выборки соответствует (3) и, вместе с тем, его максимальное значение равно максимальному удвоенному размаху входного АС, который передастся в системе АЦАП без амплитудных ограничений, т. е.
, (6)
где Um — максимальное значение сигнала, которое может быть проквантовано без искажений амплитуды, т. е. максимальное значение шкалы преобразования в КУ.
Следовательно, (4) можно записать, как
, (7)
где Um1 — максимальное значение шкалы преобразования КУ ЦАЗАС.
Но, согласно используемой модели, сигнал в аналоговой форме с выхода ЦАЗАС поступает на вход АЦП ПЭВМ, обрабатывается в компьютере, а затем, с его аналогового выхода подается на АЦП ЦАЗАС. Перезаписанный на этом ап-парате АС воспроизводится через ее аналоговый выход, т. е. через ЦАП ЦАЗАС. Но в [1] показано, что вероятность совпадения в двух разных КУ интервалов кван-тования с ДНСХ и НСХ составляет 2,3·10–10, т. е. такое событие можно считать невероятным. Следовательно, даже в случае совпадения истинных значений (что маловероятно) величины напряжений Uоп источников опорного напряжения во всех преобразователях, участвующих в обработке, при каждом из преобразований сигнал подвергнется дополнительным искажениям, определяемым особенностями каждого из используемых КУ. Поэтому запишем амплитуду сигнала на выходе ПЭВМ как
, (8)
а сигнал на выходе ЦАЗАС после перезаписи как
, (9)
где Um2 — максимальное значение шкалы преобразования АЦП и ЦАП ПЭВМ (считаем, что в АЦП и ЦАП каждого из устройств используется один источник опорного напряжения).
Конечно, такая запись несколько условна, т. к. максимально возможное значе-ние уровня сигнала на выходе любого из устройств будет определяться величиной его опорного напряжения. В то же время, записывая максимальный уровень сиг-нала на выходе ЦАЗАС после перезаписи в виде формулы (9), мы отражаем эф-фект наложения процессов, происходящих при такой обработке.
Тогда, исходя из выбранной модели, сигнал на выходе ЦАЗАС после пере-записи
, (10)
где n2 — номер отсчета (выборки) сигнала на выходе АЦАП ПЭВМ; Т2 — шаг ди-скретизации АС в АЦАП ПЭВМ.
Спектр этого сигнала будет определяться как
, (11)
где 
— преобразование Фурье от соответствующих сигналов, ωД2 — частота дискретизации в АЦАП ПЭВМ.
При подстановке в (11) значений Um1,Um2 в соответствии с (1), получаем
, (12)
где l — номер интервала квантования, до которого НСХ в СХ КУ ЦАЗАС отсутствует; l + 1 — последующий за l номер интервала квантования, на котором имеется НСХ в СХ КУ ЦАЗАС; l + 2 — последующий за l + 1 номер интервала квантования, на котором отсутствует НСХ в СХ КУ ЦАЗАС; m — номер интервала квантования, до которого НСХ в СХ КУ ПЭВМ отсутствует; m + 1 — последующий за m номер интервала квантования, на котором имеется НСХ в СХ КУ ПЭВМ; m + 2 — последующий за m + 1 номер интервала квантования, на котором отсутствует НСХ в СХ КУ ПЭВМ; ai — весовые коэффициенты, определяемые соответствующими разрядами двоичного кода, в который преобразован уровень АС в ЦАЗАС; aj — весовые коэффициенты, определяемые соответствующими разрядами двоичного кода, в который преобразован уровень АС в ПЭВМ; U0оп1 — уровень младшего разряда преобразования в ЦАЗАС; U0оп2 — уровень младшего разряда преобразования в ПЭВМ; q — разрядность преобразователей в ЦАЗАС и ПЭВМ (принимается одинаковой для обоих устройств).
Учитывая различия в размещении на статической характеристике КУ в разных экземплярах преобразователей, входящих в ПЭВМ и ЦАЗАС, интервалов квантования, имеющих технологические дефекты изготовления, и наложения на сигнал этих дефектов в процессе обработки, в обработанном сигнале будут наблюдаться искажения формы, определяемые особенностями каждого из них. Такие искажения будут проявляться в виде коротких выбросов на сигнале, длительность которых определяется шагом дискретизации каждого из используемых устройств, а их величина лежит на уровне младшего разряда преобразования [1, 2].
Такой же процесс происходит и с интервалами квантования, имеющими ДНСХ.
Поэтому при проведении вейвлет-анализа сигналов, подвергнутых обработке, следует ориентироваться на высокочастотные компоненты речевых сигналов. Это поясняется тем, что ввиду малой длительности выбросов, отношение периода анализируемого сигнала и длительности выброса будет весьма значительным. Поэтому его желательно уменьшить, что позволит анализировать также и искажения спектра, возникающие за счет разброса истинных значений частоты дискретиза-ции в ЦАЗАС и ПЭВМ, и обеспечит удобство подсчета проявлений НСХ ДНСХ на периоде сигнала. Следовательно, для их выявления, необходимо проводить анализ при малых значениях параметра масштабирования а, т. к. при этом обеспе-чивается высокая разрешающая способность в области высоких частот.
При этом в вейвлет-портрете будут отражаться как искажения, обусловлен-ные технологическими дефектами изготовления АЦП и ЦАП конкретных устрой-ств, так и искажения, возникающие из-за несовпадения истинных значений частот дискретизации в этих устройствах.
Разумеется, что разделить их на отдельные составляющие, относящиеся к какому-либо из источников таких искажений невозможно, но в этом и нет необходимости, поскольку они будут носить устойчивый индивидуальный характер и проявляться в виде различий вейвлет-портретов для образцовой и проверяемой Ф в случае ее обработки.
Как было показано в [2], наиболее подходящим для проведения анализа сигналов, выделяемых из Ф, является комплексный вейвлет Морле. Найдем вейвлет-портрет спектра сигналов s3(a, b) и s6(a, b). При этом не имеет смысла подставлять значения НСХ, ввиду громоздкости и прозрачности такой подстановки.
Напомним, что в общем виде масштабированная вейвлет-функция записы-вается как
, (13)
а в частотной области как
, (14)
где 
— прямое преобразование Фурье от 
[5].
Вейвлет-функции Морле [6] во временной области
, (16)
где β = 1/2, ωC — центральная частота вейвлета (носитель),
а в спектральной
. (17)
Тогда вейвлет-портрет сигнала s3(a, b) с параметрами а и b запишется как
. (18)
Вейвлет-портрет обработанного сигнала s6(a, b) на выходе ЦАЗАС
. (19)
Сравнение выражений (18) и (19) показывает наличие дополнительных спект-ральных составляющих, фиксируемых в вейвлет-портрете, которые обязательно проявятся при его визуализации на экране компьютера.
Отметим, что в формуле (12) искажения формы сигналов, обусловленные действием НСХ КУ различных устройств, рассмотрены в статике. При рассмот-рении динамики этого процесса необходимо найти искажения спектра сигнала, возникающие при действии НСХ. Они также, несомненно, скажутся на вейвлет-портрете, но такой анализ является темой другой публикации.
Выводы
1. Искажения формы и спектра сигналов, возникающие при цифровой обра-ботке сигналов, содержащихся в фонограммах, должны проявляться в их вейвлет-портретах.
2. Вейвлет-анализ фонограмм следует проводить по высокочастотным состав-ляющим речевых сигналов.
3. При вейвлет-анализе цифровых фонограмм необходимо использовать ма-лые значения масштабирующего параметра a.
1. , Современные методы проверки аутентичности магнит-ных фонограмм в судебно-акустической экспертизе. — К.: НАВСУ, 2002. — 300 с.
2. , , Выявление признаков обработки цифровых фонограмм с помощью вейвлет-анализа сигналов // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2002. — Т. 4. — № 3. — С. 89–103.
3. , Вероятностный анализ систем автоматического управления. — М.: Сов. радио, 1963. — 483 с.
4. Квантование по уровню и временная дискретизация в цифровых системах управления. — М.: Энергоатомиздат, 1990. — 304 с.
5. Математичні аспекти хвилькового аналізу / Геранін В. О., , : Навч. посібник з 16 лекцій. — К.: ВПФ УкрІНТЕІ, 2001. — 164 с.
6. Вейвлеты. От теории к практике. — М.: СОЛОН-Р, 2002. — 448 с.
Поступила в редакцию 28.01.2003
Уважаемые читатели!
Авторы и редакция приносят свои извинения за досадную ошибку техни-ческого характера, вкравшуюся в статью «Неизбежные следы монтажа цифровых сигналограмм», авторов и , опубликованную в Т. 4, № 2 за 2002 г. нашего журнала. Формулы в указанной статье (3), (7) и (11) долж-ны быть изложены в следующей редакции:
. (3)
. (7)
(11)
Авторы, редакция
