,
учитель математики, СОШ №68 г. Оренбург
Тема: «Примеры решения целых уравнений»
Класс 9 кл (углубленное изучение математики).
Изучение нового материала.
Целое уравнение третий или более высокой степени в отдельных случаях удается решить, используя специальные приемы.
Рассмотрим некоторые из них.
Один из приемов решения уравнения вида P(x)=0, где Р(х) – многочлен, степень которого выше двух, состоит в разложении многочлена на множители. С помощью разложения многочлена на множители удается иногда решить уравнения n-й степени, где n≥3, свести к решению уравнений более низких степеней.
Пример 1. Решим уравнение 4х3 – 11х + 3 = 0
Разложим многочлен 4х3 – 11х + 3 = 0 на множители. Для
этого одночлен – 11х представим в виде суммы – 9х – 2х. Получим
4х3 – 9х – 2х + 3 = 0
(4х3 – 9х) – (2х – 3) = 0
х·(2х – 3) · (2х + 3) –(2х – 3) =0
(2х – 3) ·(2х2 +3 – 1)=0
Из условия равенства нулю произведения вытекает, что полученное равенство верно, когда 2х – 3 = 0 или когда 2х2 +3 – 1=0. Говорят, что данное уравнение равносильно совокупности уравнений
2х – 3 = 0 или 2х2 +3 – 1=0.
В записи для обозначения совокупности используют иногда квадратную скобку, например, пишут:
2х – 3 = 0
2х2 +3 – 1=0
Множеством корней исходного уравнения является объединение множеств корней уравнений, входящих в эту совокупность. Решив каждое из уравнений, найдем, что исходное уравнение имеет три корня:
Проверка решения уравнения проводится с помощью MathCAD
Для разложения на многочлена P(x) третей или более высокой степени бывает удобно иногда воспользоваться теоремой о корне многочлена.
Теорема.
Если число a является корнем многочлена P(x) = a0·xn + a1·xn-1 + … + an-1·x + an, где а ≠ 0, то этот многочлен можно представить в виде произведения (x – a)·P1(x), где P1(x) – многочлен n – 1-й степени.
Пример 2. Решим уравнение х3 – x2 – 3·x – 1 = 0
Если данное уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа -1, т. е. равен 1 или -1. Проверка убеждает нас, что число -1— корень уравнения. Значит, в силу доказанной теоремы, его левую часть можно представить в виде произведения (x+1)· P(x), где P(x) — многочлен второй степени.
Для того чтобы найти многочлен P(x), разделим
х3 – x2 – 3·x – 1 на (x+1).
Деление многочленов выполним «уголком»:
Итак, х3 – x2 – 3·x – 1 = (x+1)· (х2 – 2·x – 1).
Из уравнения (x+1)· (х2 – 2·x – 1) = 0 получаем x+1 =0 или х2 – 2·x – 1 = 0
Решив эти уравнения, найдем, что данное уравнение третей степени имеет три корня.
Проверка решения уравнения проводится с помощью MathCAD
Для решения целых уравнений третий и более высокой степени используется иногда метод введения новой переменной.
Пример 3. Решим уравнение 16х4 – 65x2 + 4 = 0
В это уравнение переменная х входит только во второй и в четвертой степени. Так как х4 = (х2)2, то уравнение можно свести к квадратному, обозначив х2 буквой y. Получим 16у2 – 65у + 4 = 0.
Решив это уравнение, найдем, что у1 = 1/16, у2 = 4.
Из уравнения х2 = 1/16 находим, что х1 = 1/4, х1 = -1/4. Из уравнения х2 = 4 находим, что х3 = 2, х4 = -2
Проверка решения уравнения проводится с помощью MathCAD
