Министерство образования Сахалинской области
Государственное бюджетное образовательное учреждение
начального профессионального образования Сахалинской области
«Профессиональное училище № 13»
Основное логарифмическое тождество. Переход к новому основанию.
Методические указания к самостоятельной работе обучающихся
Александровск-Сахалинский
2012
Основное логарифмическое тождество. Переход к новому основанию: Метод указ. / Сост. /ГБОУ НПО «Профессиональное училище №13», - Александровск-Сахалинский, 2012
Методические указания предназначены для обучающихся всех профессий, изучающих курс математики.
Рекомендовано методической комиссией преподавателей ГБОУ НПО «Профессиональное училище №13»
Председатель МК
Переход к новому основанию
Правила сложения и вычитания логарифмов, работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?
На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:
Теорема
Пусть дан логарифм loga x. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:
В частности, если положить c = x, получим:
Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т. е. логарифм оказывается в знаменателе.
Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:
Задача
Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.
Решение
Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
А теперь «перевернем» второй логарифм:
Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.
Ответ
8
Задача
Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.
Решение
Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:
Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:
Ответ
1
Основное логарифмическое тождество
Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:
1. n = loga an
2. 
В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.
Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.
В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».
Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.
Задача
Найдите значение выражения:
Решение
Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:
Ответ
200
Логарифмическая единица и логарифмический ноль
В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.
1. loga a = 1 — это логарифмическая единица. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
2. loga 1 = 0 — это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.
Задания для самостоятельного решения
1) (32)log 3 7 = (3log 3 7)2 = 72 = 49 (степень степени, основное логарифмическое тожество, определение степени),
2) 7 2 log 7 3 = (7 log 7 3)2 = 32 = 9 (…),
3) 10 3 log 10 5 = (10 log= 53 = 125 (…),
4) 0,1 2 log 0,1 10 = (0,1 log 0,1 10)2 = 102 = 100 (…)
· Вычислить
, 
, 
· Представьте число в виде логарифма с основанием 2, 10, 0.5
1, -1, 2, ½.
Используемая литература:
1.Алгебра и элементарные функции – М.: «Наука»;
2.Петраков для любознательных: Кн. для учащихся 8-11 кл.-М.: Просвещение, 2000
