Вычисление кратных интегралов по областям с кусочно-гладкой границей

ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПО ОБЛАСТЯМ С КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ

Шойнжуров Ц.Б. (Улан-Удэ, ВСГТУ), Булгатова Е.Н. (Улан-Удэ, ВСГТУ)

В работе предложен метод построения кубатурной формулы для вычисления кратных интегралов по области с кусочно-гладкой границей с помощью разложения единицы и замены переменных. Коэффициенты в пограничном слое кубатурной формулы зависят от уравнения границы области интегрирования.

Пусть граница области состоит из одной или нескольких непересекающихся кусочно-гладких кривых.

Если точка границы , не является угловой, то можно в окрестности этой точки провести замену переменных , где уравнение границы так, что

и (1)

обратные взаимно однозначные функции.

Пусть угловая точка. Не нарушая общности, можно принять и предположить, что одна из касательных, смыкающихся в этой точке, совпадает с положительной частью оси , а другая идет к ней под углом. В этом случае, в окрестности начала координат, дуги выражаются уравнениями и , причем (рис. 1).

Применяем замену переменных

и . (2)

В окрестности точки якобиан преобразования отличен от нуля

Следовательно, система (2) однозначно допускает обращение и .

Далее применяем обычную замену для гладкой области.[2]

Пусть - многомерный интеграл, и - куб, сдвинутый на вектор и - криволинейный параллелограмм.

Область и все пространство делится на частей , гиперплоскостями параллельными координатным плоскостям и , – разложение единицы, где – финитные функции, , .

Определим срезывающие функции следующим образом:

,

,

,

,

где

Для определенности рассмотрим одну из областей например (рис.2), в переменных x. После замены переменных область перейдет в область (рис.3).

Замена преобразует границу в кусок оси , криволинейный параллелограмм переходит в куб , функция в .

В переменных y построим следующий функционал

(3)

Сначала рассмотрим функционал с узлами на криволинейной решетке. Для этого функцию в формуле (3) аппроксимируем линейной комбинацией функции , где ­ дробная часть числа и

. (4)

выражение

(5)

рассматривал в виде суммы следующих функционалов

и

.

Далее преобразования происходят с функционалами и .

В данной работе, учитывая, что порядок нормы суммы функционалов равен в случае , сразу выполняется замена переменных, то есть работаем с одним функционалом. Поэтому упрощаются преобразования. В противном случае функционал дает поправку.

Коэффициенты функционала (4) определяются из условий

(10)

или .

Элементарный функционал для куба принимает вид

(11)

По построению функционал ортогонален многочленам степени m:

(12)

Очевидно, узлы кубатурной формулы, соответствующей функционалу (11), лежат в вершинах криволинейной решетки.

С помощью функционала (11) построим кубатурную формулу на решетке с коэффициентами, зависящими от уравнения гладкой границы в пограничном слое.

Рассмотрим обратную замену переменных и .

Тогда

(13)

где - целая часть числа .

Учитывая срезывающую функцию ,элементарные функционалы суммируем по всем и при этом по свойству функционала коэффициенты при суммировании равны единице

(14)

Аналогично суммируем по последние две суммы в (14)

(15)

После преобразования коэффициенты определяются следующей формулой

(16)

где коэффициенты и определяются из систем

и . (17)

Вспомогательный функционал погрешности для области в переменных y имеет вид

(18)

Учитывая в переменных x, получаем формулы с пограничным слоем для области с узлами на решетке

(19)

Аналогично получаются функционалы для остальных областей

,

где .

Окончательно имеем формулы с пограничным слоем с узлами на решетке с коэффициентами, зависящими от уравнения границы в пограничном слое:

(20)

В качестве примера найдем приближенное значение интеграла , где область ограничена линиями и (рис.4).

Ниже, в таблице 1, приводятся результаты вычисления интеграла , точное значение которого равно 1..

Таблица 1

				результат	погрешность
2	0,01	0,4	0,1	1.	-0.
2	0,001	0,4	0,1	1.	-0.
2	0,0001	0,4	0,1	1.	0.
2	0,00001	0,4	0,1	1.	-0.
3	0,01	0,4	0,1	1.	-0.
3	0,001	0,4	0,1	1.	-0.
3	0,0001	0,4	0,1	1.	0.
4	0,01	0,4	0,1	1.	-0.
4	0,001	0,4	0,1	1.	-0.
4	0,0001	0,4	0,1	1.	0.

Продолжение таблицы 1

5	0,01	0,4	0,1	1.	-0.
5	0,001	0,4	0,1	1.	-0.
5	0,0001	0,4	0,1	1.	0.
10	0,01	0,4	0,1	1.	-0.
10	0,001	0,4	0,1	1.	-0.
10	0,0001	0,4	0,1	1.	0.

При увеличении и уменьшении погрешность формулы для вычисления данного двойного интеграла по указанной области уменьшается.

Литература.

1.  Шойнжуров оптимальные квадратурные и кубатурные формулы. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1979г.-27С.

2.  , Булгатова формулы для гладких областей// Материалы VIII международного семинара-совещания «Кубатурные формулы и их приложения».- Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2005.-С. 39-46.

Статья выполнена при поддержке аналитической ведомственной целевой программы Министерства образования и науки Российской Федерации «Развитие научного потенциала высшей школы» ( годы), регистрационный номер: 2.1.1/1533.