‘Mirabilem sane’ доказательство-1637 ?
‘Последняя’ теорема Pierre de Fermat - по тексту Donald E. Knuth :
« если n - целое число, n > 2 , то уравнение Xn + Yn = Zn
неразрешимо в целых положительных числах X, Y, Z » .
Не теряя общности положим, что взаимно просты
пара ( n X ) и тройка ( X < Z > Y ) .
Тогда из Xn = Zn - Yn = (Z - Y) ( Zn-1 + Zn-1Y + Zn-2Y2 … + Yn-1 ) = …
… = (Z - Y) { (Z - Y) [ Zn-2 + 2Zn-3Y + … … + (n-1)Yn-2] + nYn-1 }
следует, что (Z - Y) и сумма в фигурной скобке взаимно просты,
так что необходимо Xn ≡ pnqn, где pn = Z - Y, так что :
Zn - Yn = pnqn, -
и для n = 2 с q2 = Z+ Y следует древний способ вычисления
пифагоровых троек для всех нечётных p < q :
X = pq, Y = ( q2 - p2) /2, Z = ( q2 + p2) /2.
В общем же случае:
Zn - Yn = Xn = pnqn, где Z - Y = pn, -
имеем
Fn(Z, Y,p, q) = Zn - Yn – pnqn = 0
и F1(Z, Y,p) = Z - Y – pn = 0.
Пьер Ферма, сравнивавший в своём трактате “Метод отыскания
наибольших и наименьших значений” лишь величины приращений
функций и аргументов, в этой ситуации, очевидно, «невооружённым
глазом» обнаружил то, что позднее было бы названо противоречием
выражений частных производных Z по p в F1 и Fn :
Z’p = - F1’p / F1’Z = n pn-1 = - Fn’p / Fn’Z,
что ведёт к утверждению n Zn-1 = qn, -
противореча взаимной простоте n и q.
Это - результат, следствие принятой в данном построении
возможности представления разности Zn - Yn целочисленными
сомножителями, оказывающимися взаимно простыми.
Поэтому Z и Y в X n + Yn = Zn при X, взаимно простом
с n > 2, не могут быть одновременно натуральными числами,
и тройки Ферма не существуют, как он и доказал этим (?) путём.
* * *
