«Лед и пламень»

Международный фестиваль «Звезды Нового Века»-2013

«Лед и пламень»

Ершова Галина,17 лет

Ученица 10-го класса

Руководитель работы

Учитель математики

МБОУ гимназия г. Гурьевска

Калининградской области

Гурьевск, 2012 г.

Оглавление

Введение…………………………………………………………………….3

Глава 1

1.1. История золотого сечения………...…………………………..4

1.2. Золотое сечение в современном мире………………………...7

1.3. Построение золотого сечения…………………………………8

Глава 2

2.1.Золотое сечение в живописи…………………………………...9

2.2. Золотое сечение в моих живописных работах………………13

Заключение………………………………………………………………….15 Список литературы…………………………………………………………16 Приложения…………………………………………………………………17

Введение

Геометрия владеет двумя сокровищами,

одно из них – это теорема Пифагора,

а другое – деление отрезка

в среднем и крайнем отношении.

Иоганн Кеплер

У нынешнего поколения сформировалось мнение, что геометрия – это сухой предмет, который развивает только логику и ум, а искусство воздействует лишь на духовную сферу человека, в которой нет места логике, следовательно, геометрия и искусство - это «лед и пламень». Упадок эстетики, невнимание к красоте - это всегда упадок человечества, которое уже не хочет ни мечтать, ни стремиться к прекрасному. Хочется верить, что чувство прекрасного, гармонии мира живет в каждом человеке - надо только, научиться им пользоваться.

Наверное, трудно найти надежную меру для объективной оценки самой красоты, и одной логикой тут не обойдешься. Однако здесь поможет опыт тех, для кого поиск красоты был смыслом жизни. Это, прежде всего, люди искусства: художники, архитекторы, скульпторы, музыканты, писатели. Но это и люди точных наук, - прежде всего, математики.

Доверяя глазу больше, чем другим органам чувств, человек в первую очередь учился различать окружающие его предметы по форме. Форма, в основе построения которой лежит сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию ощущения красоты и гармонии.

Актуальность исследования я вижу в том, чтобы убедиться в достоверности  высказывания Иоганна Кеплера о «двух сокровищах» и развить это представление дальше, за пределы геометрии, а также удостовериться, что принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике, музыке и природе.

Целью исследования стал поиск нахождения точек соприкосновения геометрии и искусства на примере работ известных мастеров и моих собственных живописных работ.

Задачи:

1.  Изучить необходимую литературу по данной теме;

2.  Определить «золотую пропорцию», разделить отрезок в отношении золотого сечения, построить золотой прямоугольник, золотой треугольник и пятиугольник.

3.  Проанализировать произведения великих художников на предмет содержания в них пропорций «золотого сечения»;

4.  Изучить собственные произведения и выяснить наличие в них «золотой» пропорции.

Гипотеза:

- - Возможно именно «Золотое сечение» придает многим картинам характер законченности, а также радует и привлекает глаз человека

Методы исследования обеспечиваются обоснованностью исходных теоретических и практических данных с опорой на результаты наблюдения, измерения и доказательства практических экспериментов, проведенных мною.

Теоретическая база исследовательской работы состоит из вэб-страниц (http://sashatelishev. *****/sechenie. htm,http://www. /data/leonardov/zolot_sech-txt. htm) справочных материалов, математических журналов, соответствующей специализированной литературы ( «Золотая пропорция», «Математика и искусство», «Рисунок и основы композиции» и т. п.).

Теоретическая значимость работы заключается в том, что в процессе работы была изучена научно-популярная литература по данной теме, а также выявлено несколько видов «золотой пропорции» в произведениях живописи.

Апробация работы состоит в применении «золотой пропорции» на уроках математики, искусства, мировой художественной культуры, а также во внеклассных мероприятиях  и при проведении предметных недель.

Глава 1.

1.1. История золотого сечения

Слово «пропорция» в переводе с латинского означает «соразмерность», «определенное отношение частей между собой». Учение об отношениях и пропорциях особо успешно развивалось в четвертом веке до нашей эры в Древней Греции, славившейся произведениями искусства, архитектуры, развитыми ремеслами. С «золотым сечением» связаны целые области в культуре, науке и практической деятельности человека с древности до наших дней. Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н. э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. Известно, что многие египетские архитектурные памятники построены на основе пропорции «золотого сечения» и чисел Фибоначчи. Например, с числами 55, 89, 144 связаны не только внешние пропорции пирамид, но и внутренние – зал фараона (пирамиды Хеопса – приложение I , Хефрена и Микерина). Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Золотая, или божественная пропорция, являясь чисто математическим соотношением, получила широкое применение в творениях скульпторов и архитекторов Древней Греции. У древних греков все какие-нибудь крупные архитектурные сооружения (храмы, стадионы, амфитеатры) построены таким образом, что в них многообразно представлена «золотая пропорция». Фригийские гробницы, античный Парфенон (приложение II), театр в Эпидавре и театр Диониса в Афинах – яркие образцы ваяния и зодчества, исполненные глубокой гармонии на основе золотого сечения. Если в Древнем Египте закон золотого деления использовался от случая к случаю, то в Древней Греции – постоянно.

У пифагорейцев пятиугольник, точнее пентаграмма, считался священным, поскольку эта фигура симметрична и в то же время воплощает в себе некоторую асимметрию – золотую пропорцию, полученную соотношением неравных частей отрезка. В силу своих особых свойств пентаграмма считалась символом жизни и здоровья. В средние века пентаграмма подверглась демонизациии и нашла приют в оккультных науках. Однако Возрождение вновь выносит на свет и пентаграмму, и золотое сечение. К cхеме, описывающей строение человеческого тела, по сути воспроизводящей пентаграмму, неоднократно прибегал и Леонардо да Винчи (приложение III). Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

Величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем был Лука Пачоли, который прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "О божественной пропорции" (De divina proportione, 1497, изд. в Венеции в 1509 г.) с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Такая пропорция лишь одна, а единственность - высочайшее свойство Бога. В ней воплощено святое триединство.

В дошедшей до нас античной литературе «золотое деление» впервые упоминается в “Началах” Евклида. Он использовал вслед за пифагорейцами «золотую пропорцию» для построения правильных пятиугольников и десятиугольников. Во 2-й книге “Начал” дается геометрическое построение «золотого сечения». После Евклида исследованием «золотого деления» занимались Гипсикл (II в. до н. э.), Папп Александрийский (III в. н. э.) и др. Платон (427…347 г. г. до н. э.) также знал о золотом сечении. Согласно Платону существует всего пять правильных многогранников: четырехгранник (тетраэдр), шестигранник (куб), восьмигранник (октаэдр), двенадцатигранник (додекаэдр) и двадцатигранник (икосаэдр). Все эти многогранники получили название Платоновых тел по имени Платона, который впервые их систематически описал (приложение IV). В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам “Начал” Евклида. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т. д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Он подробно разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону.

В конце XIX - начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теорий о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т. д.

1.2. Золотое сечение в современном мире.

Во второй половине XIX – начале XX в. в. появились публикации, в которых «золотое сечение» впервые было установлено во многих явлениях и закономерностях биологических объектов. Среди них имеются труды Т. Кука, который установил, что феномен роста в биологических объектах связан со спиралями золотого сечения.

Выдающийся советский режиссер занимался исследованием «золотого сечения» в кино. Он сознательно использовал «золотое сечение» при структурном построении фильма «Броненосец Потемкин».

Выдающийся французский архитектор Ле Корбюзье положил золотое сечение в основу своей теории гармонизации в строительстве, известную под названием система «Модулор».

Настоящий «взрыв» исследований по проблеме «золотого сечения» в нашей стране приходится на последниелет. В эти годы появились крупные работы в различных отраслях знаний. развивает направление по приложению обобщенных «золотых сечений» к решению задач математической теории измерений и использованию нетрадиционных методов в теории кодирования информации.

Среди ближайших памятных дат год 2007-й отмечен 140-й годовщиной со дня рождения выдающегося мастера архитектуры академика Ивана Владиславовича Жолтовского. Его заслуженно и справедливо считают «отцом» функции «золотого сечения» (родился 27.11.1867г.). Его огромной заслугой в истории архитектуры является очень убедительное исследование с точки зрения «золотого сечения» и функции весьма большого количества построек различных эпох, особенно классических греческих зданий и зданий Ренессанса. «Золотое сечение» Жолтовский считал присущим природе, а его воздействие на человека объяснял тем, что он сам - частица природы и то, что составляет гармонию в природе, свойственно и ему.

В 1935 году советский журнал «Академия архитектуры» помещает цикл статей аспирантов и ассистентов Института аспирантуры о методах анализа архитектурных памятников зодчества, в которые вошли колокольня Ивана Великого Московского Кремля, арка Адриана в Афинах, храм Ники Аптерос и другие. Метод исследования – пропорционирования двумя пропорциональными циркулями, поставленными на отношения «золота» и функции.

Растение и лист, как воплощение гармонии золотого сечения, привлекли внимание Леонардо да Винчи, Цейзинга, Жолтовского и других. Растения многообразны, а закономерность изначально задана только единственным, хотя и «золотым числом». Число Ф находит широкое применение в различных сферах человеческой деятельности и в природных творениях. Воробьев отмечал связь золотого сечения с теорией возвратных рядов, комбинаторной математикой, теорией чисел, геометрией и теорией поисков. Поистине безграничен диапазон применения золотого сечения!

1.3. Построение «Золотого сечения»

Из «Начал» Евклида к нам пришла геометрическая задача, называемая задачей «о делении отрезка в крайнем и среднем отношении». Существует бесконечное множество разбиения отрезка на две части, и лишь единственный способ разбиения такой, что отношение всего отрезка к его большей части равно отношению большей части к его меньшей части (приложение А, зрисунок 1):

а : b = b:c.

Обозначим длину всего отрезка через 1, а длину его большей части за x, тогда длина меньшей части будет 1 – x. Составим пропорцию согласно приведенному определению:

1 : x = x : (1 – x),

откуда

1 – x = х2.

корни уравнения являются иррациональными числами:

( Ö5 -1) : 2

Длина отрезка выражается положительным числом, поэтому из двух корней следует выбрать второй. Число обозначается буквой Ф в честь древнегреческого скульптора Фидия, в творениях которого оно встречается многократно. Число Ф – иррациональное, с восемью десятичными знаками оно записывается так:

Ф = 0,… .

Вокруг этого числа создан романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения. Еще его называют «золотым сечением», или «золотой пропорцией».

Задача 1.

Разделить отрезок точкой в отношении золотого сечения.

Решение: рисунок 2.

Задача 2.

Построить золотой прямоугольник.

Решение: рисунок 3.

Задача 3.

Построить золотой треугольник.

Решение: рисунок 4.

Задача 4.

Построить правильный пятиугольник и пентаграмму.

Решение: рисунок 5.

Таким образом:

·  Роль «Платоновых тел» в развитии науки настолько велика, что «додекаэдро-икосаэдрическая доктрина» «красной нитью» проходит через всю науку.

·  В пирамидах Хеопса древние египтяне воплотили две иррациональные величины - √Ф и Ф, оперируя исходными отношениями целых чисел - стороной основания и высотой пирамиды.

·  Архитектура и скульптура Древней Греции исполнены глубокой гармонией на основе золотого сечения.

·  «Золотая пропорция» является основной пропорциональностью мира.

·  «Золотая пропорция» применяется в различных областях искусства и переносится в научную деятельность.

Глава 2

2.1. Золотое сечение в живописи

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников. Они открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости (приложение V). В большинстве живописных пейзажей линия горизонта делила полотно по высоте в отношении, близком к коэффициенту золотого сечения. А размеры самой картины выбирали так, чтобы ее стороны находились в золотом отношении. Такой прямоугольник стали называть "золотым".

Рассмотрим шедевр великого мастера Возрождения Альбрехта Дюрера

«Меланхолия» (приложение VI), который является своеобразным учебником перспективы и геометрии живописи.

В картине показана перспектива круглого жернова, который изображается в виде эллипса. Перекладины лестницы параллельны линии горизонта, поскольку лестница прислонена к плоскос­ти, параллельной плоскости картины. Математическая основа «Меланхолии» выражена ясно: в пра­вом верхнем углу гравюры изображен ма­гический квадрат (приложение VII). Любопытно, что из 880 магических квадратов размером 4x4 выбран тот, у которого средние числа в по­следней строке изображают 1514 - год соз­дания гравюры. Очарование этого магического квадрата не только в постоянстве сумм, которое является основным его свойством. В этом математическом произведении искусства таится немало интересных свойств, помимо основного: 1)сумма чисел, расположенных по углам магического квадрата, равна 34, то есть тому же числу, что и сумма чисел вдоль каждого ряда квадрата; 2) сумма чисел в каждом из маленьких квадратов (в 4 клетки), примыкающих к вершинам данного квадрата, и в таком же центральном квадрате тоже равна 34; 3)в каждой его строке есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых 15, и ещё пара сумма которых 19; 4)сумма квадратов чисел отдельно в двух крайних строках и в двух средних - суммы вторых степеней чисел в симметрично расположенных строках, а также и в столбцах квадрата попарно равны.

Астрологи эпохи Возрождения связывали магические квадраты четвёртого порядка с Юпитером. Такие квадраты считались действенным средством от меланхолии. Поэтому на гравюре Дюрера изображён магический квадрат именно четвертого порядка.

Шар на гравюре изображен в виде геометрического шара, хотя по правилам перспективы его следовало бы изобразить в виде эллипсоида. Здесь про­являют себя закономерности работы не только глаза, но и мозга при восприятии формы, которые стали известны только в XX в., но которые и в начале XVI в. уга­дывались гением Дюрера.

На гравюре Дюрера Меланхолия окружена атрибутами зодчества и геометрии, отчего математики любят считать этот шедевр графического искусства олицетворением творческого духа математика, а саму Меланхолию – представительницей математики в мире прекрасного.

Говоря о «золотом сечении» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Портрет Моны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника (приложение VIII).

Еще одно произведение Леонардо да Винчи «Тайная вечеря». Все, что написал Леонардо рань­ше, о чем думал в тиши своих уединений, получило завершение в этой вершине его творчества. Композиция картины математически строга и проста. В центре ее, на фоне свет­лого пятна окна, расположена фигура Христа (приложение IX). Главная точка картины, куда ведут об­разы параллельных линий стен и потолка, приходится на правый глаз Христа, кото­рый в наклоне головы расположен чуть вы­ше и ближе к зрителю. Таким образом, гео­метрический центр картины и ее смысловой центры строго совпадают, а лучи, сходящие­ся в главной точке, еще более нацеливают зрителя в этот центр. Впрочем, порой ка­жется наоборот: будто из центра картины, из глаз Христа, расходятся во все стороны эти лучи, словно потоки мысли четырьмя группами: по две группы с каждой стороны от него и по три человека в каждой группе.

Две ближние к Христу группы компактны и бо­лее динамичны: они вписаны в два треугольника, обрамляющих треугольник центральной фигуры. Две крайние группы показаны более спокойно и широко: они образуют статичные фигуры — четырех­угольники. Наконец, две крайние фигуры, завершающие композицию, нарисованы в профиль и прямо: они как бы останавли­вают волны движения, идущие от центра к краям. Вся композиция строго симмет­рична и строго уравновешена относительно вертикальной оси, проходящей через ее главную точку. Такова геометрия «Тайной вечери». «Тайная вечеря» — это и наука, и искусство, которые для Леонардо были сли­ты в живописи воедино.

А в 1955 году Сальвадор Дали создает одну из самых знаменитых картин — свою "Тайную вечерю" (приложение X). Геометрический рационализм свидетельствует о неодолимой вере в сакральную силу числа, спасительную совершенную форму, которая для художника олицетворяла духовную гармонию, нравственную чистоту и величие.

Холст, на котором написана "Тайная вечеря" Сальвадора Дали, имеет форму золотого прямоугольника, само действие картины разворачивается внутри огромного додекаэдра, но святой дух Христа выходит за его пределы, олицетворяя несгибаемую духовную мощь. Золотые прямоугольники меньших размеров использованы художником при размещении фигур двенадцати апостолов.

Рассмотрим картину Рафаэля «Обручение Марии» 1504г. Та же вертикальная симметрия композиции, те же квадраты плит пола, тот же архитектурный пейзаж, та же гармония частей и целого.

Стоит так же обратить внимание на то, что линия горизонта, проходящая через середину дверного проема ротонды, делит вертикаль картины точно в отношении золотого сечения (приложение XI).

Как мы уже говорили, закон золотого сечения обнаружи­вается и в членениях тела человека. Глядя на «Вене­ру» Боттичелли, мы видим, что места сочленения от­дельных элементов скелета — колени, пояс­ница, шея — являются и точками деления целого в пропорции золотого сечения (приложение XII). Для неоплатоника Боттичелли его Венера — это воплощение универсальной гармонии зо­лотого сечения, господствующего в природе. Пропорциональный анализ Ве­неры убеждает нас в этом.

Ещё одно применение золотого сечения мы видим в композиции картины «Уличка» Вермеера Дельфтского (приложение XIII). Формат картины образует сумму двух положенных друг на друга прямоугольников золотого сечения. Картина делится краем стены по вертикали на две неравные части, которые относятся друг к другу, как функции золотого сечения. В окнах и дверях Вермеер также подчеркивает прямоугольники золотого сечения или их производные.

Сочетание геометрической ясности форм и иррациональности их соотношений радует глаз впечатлением как бы скрытого во всем движения. Поскольку оконные переплеты, двери и калитки (может быть, несколько «инструментированные» художником) так же связаны с золотым сечением, как и формат всей картины, они оказываются сродни основному пролету, через который смотрит художник, то есть обрамлению.

Мотивы золотого сечения просматриваются и на картине "Корабельная  роща" (приложение XIV). Ярко освещенная солнцем сосна на переднем плане делит картину золотым сечением по вертикали. Справа от сосны – освещенный солнцем пригорок. Он делит золотым сечением правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится много сосен - при желании можно с успехом продолжить деление золотым сечением по вертикали левой части картины. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия в соответствии с замыслом художника.

Тот же принцип мы видим в картине " на акте в Лицее 8 января 1815 года" (приложение XV). Фигура Пушкина помещена художником в правой части картины по линии золотого сечения. Левая часть картины, в свою очередь, тоже разделена в пропорции золотого сечения: от головы Пушкина до головы Державина и от нее до левого края картины. Расстояние от головы Державина до правого края картины разделено на две равные части линией золотого сечения, проходящей вдоль фигуры Пушкина.

Еще один пример - картина Н. Н. Ге "Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском». В этой картине фигура Пушкина также поставлена художником слева на линии золотого сечения. Композиционное построение картины подобно картине Репина. Голова человека, с восторгом слушающего чтение поэта, находится на другой вертикальной линии золотого сечения.

Широко использовал золотое сечение в своем творчестве талантливый русский художник Константин Васильев, рано ушедший из жизни. Еще будучи студентом Казанского художественного училища, он впервые услышал о "золотом сечении". И с тех пор, приступая к каждой своей работе, он всегда начинал с того, что мысленно пытался определить на холсте ту основную точку, куда должны были стягиваться, как к невидимому магниту, все сюжетные линии картины. Ярким примером картины, построенной "по золотому сечению", является картина "У окна" (приложение XVI).

Главная мысль этой картины, вся кульминация ее заложена именно в образе девушки, чье лицо озарено удивительной чистотой, достоинством и еще спокойной мудростью. Лицо девушки художник разместил в "золотой" точке картины, которая находится на пересечении двух "золотых" линий - горизонтальной и вертикальной, в точности проходящих через глаз девушки.

В картине Василия Сурикова «Боярыня Морозова» (приложение XVII) главной фигурой является боярыня, и ей отведена центральная часть картины. В этой части картины есть две характерные области: точка наивысшего взлета (рука боярыни с двуперстным крестным знамением) и нулевая точка (беспомощно протянутая рука старухи – нищей страницы, рука, из-под которой ускользает конец розвальней).

Разделим картину золотым сечением от правого и левого концов и через точки деления проведем две вертикальные линии, а также диагональ прямоугольника картины с правого нижнего угла в левый верхний. Эта диагональ пересечет вертикальные линии вблизи указанных характерных точек.

Верхняя кульминационная точка немного не совпадает ни с головой, ни с рукой, ни с глазами боярыни, а расположена около рта (немного впереди). Суриков намеренно поместил эту точку в пустоту. Он как бы совместил точку золотого сечения со словом, которое летит в толпу из уст боярыни.

Выводы:

·  Точка деления отрезка в «золотом отношении» подсознательно притягивает наше внимание.

·  Пропорции золотого сечения часто использовались художниками не только при проведении линии горизонта, но и в соотношении между другими элементами картины.

2.2. Золотое сечение в моих живописных работах.

Я занимаюсь рисованием уже несколько лет, когда училась в ДХШ, нас учили определенному построению предметов, как мы потом узнали – композиции. Но нам никогда не ставили целью внести композицию в определенные рамки, такие как золотое сечение. Представленные мною работы не случайны. Все они участвовали в разных конкурсах и все занимали призовые места. Заинтересовавшись темой «Золотое сечение», я решила проверить, а подходят ли мои работы под «золотые зрительные центры»

«Розовый фламинго» - призер выставки «Птицы», проходившей в ДХШ г. Гурьевска (приложение XIX). Батик, выполненный на шёлке, заставляет приковывать внимание не ко всем птицам произведения, а лишь к тем, которые точно расположены в двух центрах данной композиции на одной из диагоналей. Центральные фигуры расположены на переднем и дальнем планах (в левом верхнем углу на заднем плане и в правом нижнем - на переднем плане).

«Натюрморт в охристых тонах », годовая работа по живописи (2011 год)( приложение XX).Композиционный центр приходится на заварочный чайник, в котором, словно в зеркале отражаются окружающие его предметы, а также драпировки ткани.

«Кенигсберг 1934 год» - призер выставки «Старый Кенигсберг» (приложение XXI). Центром композиции является средняя часть здания Кафедрального собора. Справа на линии золотого сечения находится башня собора, угол которой в точности лежит на «золотой » линии.

«Букет анемонов» - четвертая работа по живописи (2008 год) (приложение XXII). Отчетливо видно, что один из главных центров картины приходится точно в глаз голубя, второй является центром букета, третий - центром вазы с анемонами, четвёртый - серединой туловища голубя.

«Горная вилла»- годовая работа по станковой композиции (2010 год) (приложение XXV). Один из главных центров этого рисунка расположен точно в точке пупка Психеи, в свою очередь остальные зрительные центры захватывают пространство вокруг прекрасной девушки, а спящий охотник поместился на одно из линий золотого сечения.

«Сон лесной феи» - выпускная работа (2011 год) (приложение XXXIX). В этом произведении линия золотого сечения, делящая правую часть рисунка, проходит через глаза феи, а золотая линия всей картины лежит на ее руке.

«Итальянский дворик» - призер выставки «Путешествие за границу», г. Зеленоградск (приложение XXX). Классический пейзаж дворика на побережье Италии имеет три основных линий золотого сечения: первая золотая линия лежит на дереве, стоящем позади арочного входа; вторая проходит через парусник и центр горы у побережья, а третья является линией, делящей пополам сам арочный вход.

«Шинель» - победитель выставки «Неделя памяти Гоголя», проходившей в гимназии г. Гурьевска (приложение XXXI). Данная картина была построена мной по «золотому сечению». Главным смысловым центром является глаз Башмачкина, который находится на пересечении двух золотых линий – вертикальной и горизонтальной. Еще одна золотая линия помещена на вертикали фонаря.

Вывод:

·  Мои картины имеют определенные точки, приковывающие внимание, так называемые «золотые» зрительные центры. Думаю, что именно это повлияло на конечный результат.

Заключение

На основе проделанной работы можно сделать вывод, что геометрия тесно связана с живописью, что мир математических наук разносторонен и многообразен.

В результате проведенной работы:

- изучена история золотого сечения;

- решены задачи на построение золотых фигур;

- рассмотрены геометрические составляющие живописи, выявлены их

свойства, влияющие на восприятие картин;

- обнаружены золотые зрительные центры в моих картинах;

сделаны выводы:

- золотое сечение придает характер законченности произведениям искусства;

- существуют точки соприкосновения геометрии и искусства.

В ходе работы гипотеза о том, что «золотая пропорция» из-за своей уникальности привлекает и завораживает внимание окружающих, нашла свое подтверждение.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

1.  «Леонардо да Винчи» - М.: «Искусство» 1990 г.

2.  «Золотая пропорция» - М.: «Молодая гвардия» 1990 г.

3.  «Математика и искусство»-М.:«Просвещение» 2000 г.

4.  Журнал «Математика в школе» №2, №3 1994 г.

5.  . - «Золотое сечение. Традиция и современность». -2003

6.  . – Музыкальная энциклопедия. – Издательство «Советская энциклопедия». – Москва. – 1974г. – стр.958.

7.  «Рисунок и основы композиции» - Москва «Высшая школа» 1988 г.

8.  «Пространство мира и пространство картины»

9.  «Геометрия и искусство» «Мир» 1989 г.

10.  «История методов обучения рисованию» - М.: «Просвещение» 1982 г.

11.  . – «Золотое сечение – основа математики и физики будущего. Спираль развития Вселенной». – Санкт – Петербург. – Типография ИПТ. – 113стр. – 1997г.

12.  , «Математическое путешествие в мир гармонии» - М.

13.  . - «Тайны Золотого сечения» - «Техника молодежи». –

14.  . –«Альбрехт Дюрер. Трактаты, дневники, письма.» – Санкт-Петербург. – Издательство «Азбука». – 2000г. – 662стр

15.  Физико-математический журнал для школьников и студентов «Квант» №8 1973 г.; №9 1993 г.; №10 1993 г.;

16.  Филиппова да Винчи, который художник, ученый и философ. Биографический очерк - Санкт-Петербург 1995 г. (1892 г.)

17.  Энциклопедия для детей.- «Аванта+».-Математика.-685стр.-Москва.-1998г.

18.  Энциклопедия для детей. Том 7. Искусство. Часть вторая. Архитектура, изобразительное и декоративное прикладное искусство XVII – XX веков. – М.: Аванта+,

19.  Ссылки с приложений:

Приложение I

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Приложение II

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира.

Приложение III

Интерпретация картинки: тело человека обладает божественным совершенством, ибо заложенные в нем пропорции – такие же, как в главной небесной фигуре.

Приложение IV

Правильные многогранники (Платоновы тела)

Тетраэдр

Гексаэдр

Октаэдр Додекаэдр

Икосаэдр

Каждое из платоновых тел символизировало какое-то из 5 «начал» или «стихий»: тетраэдр – тело огня, октаэдр – тело воздуха, гексаэдр (куб) – тело земли, икосаэдр – тело воды, додекаэдр – тело мира (вселенской души, эфира или разума).

Приложение V

Золотое сечение картины

Для того чтобы привлечь внимание к главному элементу картины, необходимо совместить этот элемент с одним из четырех зрительных центров.

Приложение VI

Альбрехт Дюрер «Меланхолия»

На гравюре решена сложная геометрическая задача - построение перспективы додекаэдра, решению которой много сил отдал Пьеро делла Франческа.

Приложение VII

Магический квадрат

Квадрат, составленный из первых чисел натурального ряда, сумма которых по любой строке, столбцу или диагонали одна и та же.

В этом математическом произведении искусства таится немало интересных свойств, помимо основного:

1)  сумма чисел, расположенных по углам магического квадрата, равна 34, то есть тому же числу, что и сумма чисел вдоль каждого ряда;

2)  сумма чисел в каждом из маленьких квадратиков (в 4 клетки), примыкающим к вершинам данного квадрата, и в таком же центральном квадрате тоже равна 34;

3)  в каждой строке есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 15, и еще пара сумма которых равна 19;

4)  сумма квадратов чисел отдельно в двух крайних строках и в двух средних – суммы вторых степеней чисел в симметрично расположенных строках, а также и в столбцах квадрата попарно равны.

Приложение VIII

Приложение IX

Леонардо да Винчи «Тайная Вечеря»

Приложение X

Сальвадор Дали «Тайная Вечеря»

Приложение XI

Рафаэль «Обручение Марии» Линия горизонта, проходящая через середину дверного проема ротонды, делит вертикаль картины точно в отношении золотого сечения.

Приложение XII

Боттичелли «Рождение Венеры»

Приложение XIII

Вермеер «Уличка»

Формат картины образует сумму двух положенных друг на друга прямоугольников золотого сечения. Картина делится краем стены по вертикали на две неравные части, которые относятся друг к другу, как функции золотого сечения. В окнах и дверях Вермеер также подчеркивает прямоугольники золотого сечения или их производные.

Приложение XIV

«Корабельная роща»

Приложение XV

Н. Н. Ге « в селе Михайловском»

« на акте в лицее 8 января 1815 года»

Приложение XVI

К. Васильев «У окна»

Приложение XVII

В. Суриков «Боярыня Морозова»

Приложение XVIII

Ершова Галина

«Глаза» - технический рисунок. Подготовка к технике рисования портрета

Часть носа и глаз расположены в центральных точках картины, но все таки главное внимание уделяется именно переносице.

Приложение XIX

«Розовый фламинго» , призер выставки «Птицы», проходившей в ДХШ г. Гурьевска Батик, выполненный на шёлке заставляет приковывает внимание не ко всем птицам произведения, а лишь к тем, которые точно расположены в двух центрах данной композиции на одной из диагоналей. Центральные фигуры расположены на переднем и дальнем планах (в левом верхнем углу на заднем плане и в правом нижнем - на переднем плане) , тем самым показывая всю глубину картины.

 

Приложение XX

«Натюрморт в охристых тонах », годовая работа по живописи (2011 год)

Композиционный центр приходится на заварочный чайник, в котором, словно в зеркале отражаются окружающие его предметы, а также драпировки ткани.

Приложение XXI

«Кенигсберг 1934 год».

Призер выставки «Старый Кенигсберг»

Центром композиции является средняя часть здания Кафедрального собора. Справа на линии золотого сечения находится башня собора, угол которой в точности лежит на «золотой » линии.

Приложение XXII

«Букет анемонов» , четвертая работа по живописи (2008 год)

Отчетливо видно, что один из главных центров картины приходится точно в глаз голубя, второй является центром букета, третий - центром вазы с анемонами, четвёртый - серединой туловища голубя.

Приложение XXIII

Четвертная работа по живописи (2010 год) Как и в предыдущем «Натюрморте в охристых тонах», центром этого натюрморта является глиняный кувшин с орнаментом, в котором также имеют свое отражения окружающие его овощи и фрукты.

Четвертная работа по живописи (2010 год)

Приложение XXIV

«Птица счастья» по мотивам произведений художника

(2009 год)

Все движение данной картины и вся ее легкость отражена именно в крыле птицы счастья, в котором помещены главные точки этой живописно композиции.

Приложение XXV

«Горная вилла»- годовая работа по станковой композиции (2010 год)

Моя «Горная вилла» олицетворяет спокойствие и тишину, находящуюся далеко и высоко в горах. Один из главных центров рисунка расположен точно в точке пупка Психеи, в свою очередь остальные зрительные центры захватывают пространство вокруг прекрасной девушки, а спящий охотник поместился на одно из линий золотого сечения.

Приложение XXVI

«Космический цветок». Призер выставки «Космос глазами детей» посвященной Году космонавтики в России. г. Калининград, правительство Калининградской области (2008 г.)

Картина представляет собой цветок, отражающий различные части вселенной и все, что с ней связано. Одним из главных зрительных центров несомненно является сам цветок.

Приложение XXVII

Одна из серии картин на тему - «Африка»

Определено, данная картина обладает скрытым движением, отраженном в танцовщице, поэтому зрительные центры приковывают наше внимание к жестам негритянки, придающим композиции контрастность и оживленность.

Приложение XXVIII

«С рождеством ! » призер выставки «Рождественский ангел» г. Светлогорск 2011 год

Все внимание направлено на оленёнка, через которого проходит линия золотого сечения. Ангел же расположен между «золотыми» линиями, а также на пересечении линий, проходящих через главные зрительные центры картины.

Приложение XXXIX

«Сон лесной феи», выпускная работа (2011 год)

Линия золотого сечения, делящая правую часть рисунка, проходит через глаза феи, а золотая линия всей картины лежит на ее руке.

Все многообразие линий золотого сечения несут в себе идею композиции, которая заключается в волшебном сне феи. И во время этого сна все как будто светится вокруг девушки и охраняет ее покой.

Приложение XXX

«Итальянский дворик» ,призер выставки «Путешествие за границу»

г. Зеленоградск

Классический пейзаж дворика на побережье Италии имеет три основных линий золотого сечения: первая золотая линия лежит на дереве, стоящем позади арочного входа ; вторая проходит через парусник и центр горы у побережья, а третья является линией, делящей пополам сам арочный вход.

Приложение XXXI

«Шинель»

победитель выставки «Неделя памяти Гоголя», проходившей в гимназии г. Гурьевска

Данная картина была построена мной по «золотому сечению». Лицо Акакия Акакиевича Башмачкина озарено удовольствием и счастьем, и именно поэтому главным смысловым центром является глаз Башмачкина, который находится на пересечении двух золотых линий – вертикальной и горизонтальной. Еще одна золотая линия помещена на вертикали фонаря, озаряющего этого счастливого и довольного собой человек.

Приложения А

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Деление отрезка золотым сечением.

1. Дан произвольный отрезок AB.

2. Провести окружность с центром в точке A произвольным радиусом R, но больше, чем половина отрезка.

3. Провести окружность с центром в точке B радиусом R, равным предыдущему.

4. Через полученные точки пересечения дуг провести прямую. Получаем серединный перпендикуляр. Точку пересечения серединного перпендикуляра с отрезком обозначим буквой С.

5. Из точки A провести перпендикуляр к отрезку АВ.

6. Провести дугу с центром в точке A радиусом АС до пересечения с перпендикуляром. Точку пересечения обозначим D.

7. Точки В и D соединить отрезком прямой.

8. Провести дугу с центром в точке D радиусом DA до пересечения с отрезком DВ. Точку пересечения обозначим буквой Е.

9. Провести дугу с центром в точке А радиусом АЕ до пересечения с отрезком АВ. Точку пересечения обозначим буквой F. Точка F делит отрезок АВ в отношении золотого сечения.

Рисунок 3.

Построение «золотого» прямоугольника.

1.  Строим квадрат ABCD

2.  Сторону AB делим пополам точкой F.

3.  Проводим диагональ прямоугольника FECB - FC;

4.  Строим окружность с центром в точке F и радиусом FC.

Нас интересует точка пересечения окружности с продолжением стороны AB за точку B. Эта точка Р— третья вершина искомого прямоугольника (первая — точка A, еще одна — D).

5.  Восстанавливаем перпендикуляр в точке Р к прямой AР.

6.  Продлеваем DC до пересечения с перпендикуляром. Таким образом, получаем четвертую вершину — G.

7.  Прямоугольник –ADGP - построен.

Рисунок 4.

Построение золотого треугольника.

Построение золотого треугольника

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

Рисунок 5.

Построение правильного пятиугольника и пентаграммы.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.