Нетрадиционные логические семантики в искусственном интеллекте

Московский государственный технический университет им.

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ СЕМАНТИКИ
В ИСКУССТВЕННОМ ИНТЕЛЛЕКТЕ

В работе рассмотрены три класса нетрадиционных логических семантик: 1) семантика Данна-Белнапа и ее расширения; 2) многомерные семантики; 3) игровые семантики. Приведены примеры их использования в искусственном интеллекте, в частности, в теории агентов.

Современная логическая семантика включает два основных направления: теория истины и теория значения. Среди различных подходов в русле первого направления можно отметить: теоретико-модельные семантики, которые, по сути, представляют собой архетип семантической теории истины А. Тарского; семантики истинностных значений, предложенные и развитые Дж. Данном и Н. Белнапом; здесь значения истинности формул задаются только в виде валентностей без какого-либо обращения к предметной области; игровые семантики, в частности, оперативная семантика П. Лоренцена, который рассматривает процесс установления истинности предложения как игру между пропонентом и оппонентам, диалоговые семантики на основе формализма бирешеток.

Развитие нетрадиционных логических семантик в середине XX-го века началось с критики двух главных принципов классической логической семантики – принципа бивалентости T(p) Ú F(p) и принципа однозначности T={T}, F={F}, где p – предложение, которое характеризуется двумя истинностными значениями: T – истина или F – ложь, причем эти значения суть одноточечные множества.

Поскольку в классической логике понятия ложности и отрицания являются взаимозаменяемыми (ù p означает F(p)), легко заметить, что в ней также справедлив принцип дополнительности T(p) + F(p) = 1.

В общем случае, будем представлять истинностное суждение в виде пары: áp, v(p)ñ, где pÎP, P – множество предложений, а v:P®V, V – множество значений истинности.

Мультиоценки истинности: семантика Данна-Белнапа

Основная идея семантики Дж. Данна заключается в отказе от принципа однозначности с допущением истиннозначных провалов I = {} = «ни истина, ни ложь» и пресыщенных оценок истинности B = {T, F} = «и истина, и ложь». В первом случае оценки истинности и ложности понимаюткак частичные, а во втором – как составные, амбивалентные.

В целом, речь идет о переходе от обычного множества значений истинности V (например, V2 = 2 = {T, F}) к множеству всех подмножеств 2V, задающему мультиоценку истинности (например, 2V2 = 4 = {T, B, I, F}).

Аналогично примерами естественных расширений принципа бивалентности служат: принцип тривалентности T(p) Ú F(p) Ú I(p) в трехзначных семантиках (например, в семантике Клини), принцип тетравалентности T(p)ÚF(p)ÚB(p)ÚI(p) в четырехзначной семантике Данна-Белнапа и пр.

Дальнейшее обобщение подхода Данна-Белнапа заключается в переходе к множеству нечетких подмножеств значений истинности [0,1]V, множеству L-нечетких подмножеств (в смысле Дж. Гогена) значений истинности LV и т. д.

Многомерность истинности: векторные семантики

Другая, пожалуй, менее известная идея Дж. Данна, связана с предложением понимать истинность как отношение, которое не обязательно является функциональным. При этом в общем случае F(p) ¹ 1– T(p), т. е. понятие «ложь» больше не является дополнением «истины», а выступает в качестве самостоятельного понятия; таким образом, условия ложности предложения должны определяться параллельно с условиями их истинности. Возникает двухмерная (векторная) семантика, исходящая из независимости истинности и ложности. Подобная двухосновная семантика может быть получена путем прямого произведения элементарных семантик, предложенного С. Яськовским.

Родоначальником многомерных логик является русский логик , который почти сто лет назад ввел понятие «воображаемой логики» трех измерений. В основе этой логики лежат три типа атомарных предложений: позитивные, негативные и индифферентные (акцидентальные). Многомерные семантики выражают идею взаимосвязи между логикой и онтологией, показывая зависимость логики от допущений о мире (геометрии логического пространства). По сути, они расширяют концепцию возможных миров (точек соотнесения).

Пусть V=[0,1], т. е. T, F Î[0,1]. Тогда в двухмерных логических семантиках валентность v любого предложения p задается парой не зависимых друг от друга величин v(p) = (T(p), F(p)), т. е. определяется в единичном квадрате v: P®[0,1]2, а в трехмерных семантиках – тройкой vB(p) = (T(p), F(p), B(p)) (паранепротиворечивые семантики) или тройкой vI(p) = (T(p), F(p), I(p)) (параполные семантики). Как частные случаи, получаем тавтологическую семантику vT(p) = (1, 0, 0), парадоксальные семантики
vP(p) = (1, 1, B(p)), псевдопарадоксальные семантики vPP(p) = (1, F(p), B(p)), чисто фаллибилистические семантики vf(p) = (0, 0, I(p)) и т. п.

Модализация истинностных значений (в стиле Н. Решера) на основе мер возможности Заде П и необходимости Дюбуа-Прада N, приводящая к нарушению принципа дополнительности, связана с формированием возможностных 2³T(p) + F(p) ³1 и необходимостных T(p) + F(p) £1 семантик.

Построение многомерных логик может опираться на нестандартные нечеткие множества с интервальнозначными или векторными функциями принадлежности. Показательными примерами последних служат интуиционистские нечеткие логики и нейтрософские логики.

В середине 80-х годов К. Атанасов ввел понятие интуиционистского нечеткого множества, описываемого парой функций принадлежности m и непринадлежности n соответственно: А = {(xú mА(x), nА(x))} или
m: X ® [0,1], n: X ® [0,1], m(x)+n(x) £ 1. Соответственно, здесь интуиционистская семантика опирается на пару v(p) = (T(p), F(p)) и условие
T(p) + F(p) £1. Непосредственными обобщениями являются интервальнозначная интуиционистская семантика, когда T, F Ì [0,1] и нечеткая интуиционистская семантика T, FÎ[0,1][0,1].

В свою очередь, стандартная нейтрософская cемантика (по Ф. Сма-рандаче) задается в виде vI: P® [0,1]3, vI(p) = (T(p), F(p), I(p)), где T(p) – степень истинности высказывания p, F(p) – степень его ложности, а I(p) – степень его неопределенности, T, F, I – числа или подинтервалы интервала [0,1].

В докладе дан пример использования нейтрософской cемантики при анализе взаимоотношений между индивидуальными и коллективными агентами.

Распределенность истинности: диалоговые семантики

В диалоговых семантиках валентность любой формулы p их множества Р определяется двумя агентами: пропонентом a1 и оппонентом a2. Пропонент a1, выдвигающий некоторый тезис (формулу) p, стремится доказать его истинность, а оппонент a2, напротив, хочет опровергнуть его. Пространство значений истинности имеет вид VD = V1 ´ V2, так что оценка истинности формулы p в переговорах двух агентов является двухосновной, vD: P® V1´V2. Сам их диалог может быть представлен в виде четверки D = áА, P, v1, v2ñ, где А ={a1, a2}, pÎР, v1: Р® V1, v2: Р®V2. Построим бирешетку оценок истинности BLV ={(v1, v2)½ v1ÎL1, v2ÎL2}, где L1 и L2 – две различные решетки, например, L1 = [0, +1] и L2 = [-1, 0]. Тогда базовая семантика переговоров может быть представлена парами значений истинности: (+1, 0) = (T1, F2), (0, -1) = (F1, T2), (0, 0) = (F1, F2), (+1,-1) = = (T1, T2).