УДК 536.21
,
Институт теоретической и прикладной механики им. СО РАН, г. Новосибирск
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КОНСТРУКТИВНО И ФИЗИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНЫХ КОМПОЗИТНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ АНИЗОТРОПИИ ОБЩЕГО ВИДА
Сформулирована трехмерная задача нестационарной теплопроводности криволинейных слоистых композитных стержней постоянного и переменного поперечного сечения при общей анизотропии и неоднородности материалов слоев. Построены внешние асимптотические разложения решений поставленной задачи при разных граничных условиях на боковых поверхностях стержней. Проанализированы получающиеся двумерные и одномерные вспомогательные граничные и начально-краевые задачи.
Настоящая работа является продолжением исследований, опубликованных в [1], где были построены асимптотические разложения решения стационарной задачи теплопроводности прямолинейных композитных стержней постоянного поперечного сечения. Однако в инженерной практике помимо прямолинейных стержней часто используются тонкостенные конструкции более сложной геометрии – криволинейные стержни переменного поперечного сечения. Поэтому актуальной является проблема разработки методов расчета и анализа особенностей решения задачи теплопроводности таких слоистых конструкций. Настоящее исследование посвящено построению асимптотических разложений решений задачи нестационарной теплопроводности слоистых анизотропных неоднородных криволинейных стержней переменного поперечного сечения по различным малым параметрам при граничных условиях на боковых поверхностях общего вида. Асимптотический анализ такой пространственной начально-краевой задачи позволит свести ее к серии задач меньшей размерности (двумерных и одномерных).
Рассмотрим криволинейный стержень с постоянным или переменным по длине произвольным поперечным сечением (возможно, двусвязным), состоящим из произвольного числа M анизотропных слоев, выполненных из различных неоднородных материалов (рисунок 1). Граница между слоями в поперечном сечении не обязательно прямолинейна, а может быть произвольной кривой, в том числе и замкнутой. Для краткости изложения продольные стержни, посредством которых осуществлено армирование, также будем называть слоями. Материалы слоев могут быть неоднородны как в поперечном сечении, так и в продольном направлении. На границах между слоями выполняются условия идеального теплового контакта. Все слои пронумеруем: 
, где m – номер слоя.
Свяжем со стержнем криволинейную ортогональную систему координат 
так, чтобы переменная 
определяла осевое направление стержня, а переменные 
задавали координаты точек в поперечном сечении (см. рисунок 1). Предполагается, что систему координат можно ввести так, чтобы при произвольном значении переменной область 
, занимаемая поперечным сечением стержня в плоскости переменных , оставалась неизменной. При этом в общем случае поперечное сечение 
может быть депланированным. (В частности: если стержень и все слои имеют форму усеченных конусов с единой вершиной, то указанные поперечные сечения будут элементами сферических поверхностей с центрами в вершине конусов; для стержня постоянного поперечного сечения, осевая линия которого является плоской кривой, поперечные сечения будут плоскими и ортогональными осевой линии.) Параметр Ламе 
непрерывен всюду в стержне и имеет гладкость, которая потребуется в процессе рассуждений; параметры Ламе 
на границах контакта слоев могут испытывать разрывы первого рода (т. е. 
, 
, 
), внутри каждого m-го слоя эти параметры имеют гладкость, которая потребуется в процессе рассуждений. (Согласно сделанным предположениям об особенностях введения переменных , сечения ортогональны границам между слоями и боковой поверхности стержня.)
При сделанных предположениях уравнение нестационарной теплопроводности m-го слоя имеет вид
(1)
где 
– температура m-го слоя; 
– плотность мощности внутренних источников тепла в m-м слое; 
– коэффициенты теплопроводности материала m-го слоя (в общем случае, функции всех пространственных переменных); 
– удельная теплоемкость материала m-го слоя; 
– объемная плотность материала m-го слоя; 
– время. Здесь и далее размерные функции и величины будем помечать сверху чертой, а соответствующие им безразмерные функции и величины – обозначать теми же символами, но без черты.
На поверхностях 
контакта - го и 
-го слоев должны выполняться условия сопряжения решения по тепловому потоку и температуре
(2)
на внешней 
и внутренней 
боковых поверхностях стержня заданы граничные условия общего вида
(3)
где 
, 
– заданный тепловой поток через внешнюю 
и внутреннюю 
боковую поверхность стержня соответственно; 
, 
– коэффициент теплообмена по закону Ньютона между m-м слоем стержня и окружающей средой со стороны внешней и внутренней 
боковой поверхности соответственно; 
– температура окружающей среды со стороны внешней (+) и внутренней (–) боковой поверхности; 
, 
(
) – функции переключения, позволяющие задавать тот или иной тип граничных условий на внешней (+) или внутренней (–) боковой поверхности стержня; 
– компоненты вектора единичной нормали (
) к боковым поверхностям , 
или к границе контакта слоев 
(смотря по смыслу); индексы 
, 
в (2) пробегает только те значения от 1 до M, для которых 
-й или 
-й слой имеет частью своей границы внешнюю или внутреннюю боковую поверхность стержня соответственно.
На левой и правой торцевых поверхностях имеем граничные условия
(4)
где 
– температура окружающей среды со стороны левой («left») и правой («right») торцевых поверхностей стержня, определяемых координатами 
, 
(
) соответственно; 
– заданный тепловой поток через левую и правую торцевые поверхности стержня соответственно; 
– коэффициенты теплообмена по закону Ньютона между m-м слоем стержня и окружающей средой на левом и правом торцах соответственно; 
– функции переключения, позволяющие задавать тот или иной тип граничных условий на левом (
) или правом (
) торцах стержня.
В момент времени 
в m-м слое задано начальное условие
(5)
где 
– заданная функция.
Обезразмерим соотношения (1)–(5). С этой целью введем безразмерные независимые переменные
(6)
где 
– длина стержня; 
– характерный размер поперечного сечения стержня (например, – наибольшее расстояние между точками поперечного сечения, причем 
); 
– характерное время, в течение которого рассматривается процесс нестационарной теплопроводности.
Уравнение (1) обезразмерим умножением на 
, тогда с учетом (6) получим
(7)
где
(8)
– малый параметр; 
– оператор частного дифференцирования по безразмерной пространственной переменной 
(
); 
– оператор частного дифференцирования по безразмерному времени t.
Первое условие сопряжения (2) обезразмерим умножением на 
, а второе условие (2) – делением на 
:
(9)
граничные условия (3) обезразмерим умножением на 
, а (4) – умножением на 
:
(10)
(11)
начальное условие (5) обезразмерим делением на 
:
(12)
В соотношениях (7)–(12) использованы следующие формулы обезразмеривания и обозначения:
(13)
– некоторое характерное значение температуры конструкции (например, температура естественного состояния); 
– характерное значение коэффициента теплопроводности материалов слоев стержня (например, максимальная по слоям величина наибольшего из главных значений тензора коэффициентов теплопроводности 
); 
– безразмерная теплоемкость (характерное значение времени в (7), (13) выбрано так, чтобы имела порядок единицы).
Если считать, что изменению малого геометрического параметра 
соответствует изменение характерного размера поперечного сечения 
(поперечные размеры слоев при этом изменяются пропорционально изменению ) при фиксированной длине 
стержня, то основные функции и величины, приведенные в (13), имеют следующие асимптотические свойства
(14)
В граничных условиях общего вида (10) безразмерные коэффициенты 
, характеризующие критерий Био [2] на боковых поверхностях стержня, могут быть порядка единицы, а могут быть большими и малыми величинами по сравнению с единицей. Так, для стержня длиной 
с медными поверхностными слоями (
[3]) при свободной конвекции воды (
[4]) указанные числа Био 
(см. (13)); при свободной конвекции газов (
[4]) для того же стержня получаем 
; в случае же вынужденной конвекции воды (
[4]) для указанного стержня имеем 
, а для стержня со стальными поверхностными слоями (
[3]) той же длины 
. Следовательно, при определенных условиях теплообмена на боковых поверхностях числа Био можно рассматривать как независимые от 
малые или большие параметры. При этом естественным является представление
(15)
где 
– независимые параметры.
Представление чисел Био 
в виде (15) означает, что их изменение вызвано изменением окружающей среды со стороны внешней (+) или внутренней (–) боковой поверхности стержня.
Далее будем рассматривать два случая: случай, когда одновременно оба параметра 
малы, и случай, когда хотя бы один из параметров 
большой или имеет значение, близкое к единице.
Случай первый. На обеих лицевых поверхностях параметры 
в (15) являются малыми и независимыми (при этом в (10) следует принять 
). Так как с учетом (15) 
, 
входят лишь в граничные условия (10), стоят сомножителями при функциях 
, а не при их производных, и для основных функций и величин, приведенных в (13), выполняются асимптотические свойства, аналогичные (14), при 
, 
, то начально-краевая задача (7)–(12) в этом случае является задачей с регулярным возмущением по параметрам , 
. Для упрощения решения этой начально-краевой задачи используем асимптотическое разложение
(16)
Подставим (16) в (7)–(12) и соберем слагаемые при одинаковых степенях 
, тогда получим следующую цепочку равенств:
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
где 
– символ Кронекера. В первом равенстве (19) при 
и во втором равенстве (19) при 
следует учесть
(22)
Начально-краевые задачи (17)–(21) с учетом (22) можно последовательно проинтегрировать при всех 
, т. е. можно последовательно определить все коэффициенты разложения (16).
Наличие малого геометрического параметра при высших производных в уравнении (17), в условиях сопряжения (18) и граничных условиях (19), (20) указывает на то, что начально-краевая задача (17)–(21) при любых 
является задачей с сингулярным возмущением, поэтому решение этой задачи следует разыскивать в виде
(23)
где 
– внешнее асимптотическое разложение функции 
, характеризующее основное температурное поле в m-м слое; 
– поправка к внешнему разложению в окрестности начального момента времени 
; 
, 
– поправка к внешнему разложению в пограничном слое в окрестности левой и правой торцевой поверхности соответственно.
Далее настоящее исследование посвящено определению внешнего асимптотического разложения . Чтобы получить для определения непротиворечивую цепочку равенств, асимптотическое разложение следует задать в виде
(24)
Подставим (24) в (17)–(21) и соберем слагаемые при одинаковых степенях , тогда получим следующую цепочку равенств для определения функций 
:
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
где согласно (22), (24) следует учесть
(30)
Анализ уравнений (25)–(27) с учетом (30), (12) позволяет заключить, что для любого 
функцию 
можно представить в виде
(31)
где
(32)
– подлежащие определению функции, причем в силу (30), (32)
(33)
(34)
– координаты некоторой фиксированной точки поперечного сечения стержня, принадлежащей слою с номером 
.
Продемонстрируем, как можно последовательно определить все функции, входящие в (31). Для этого подставим разложение (31) в равенства (25)–(27) и учтем (12):
(35)
(36)
(37)
Потребуем, чтобы функция 
с учетом (34) удовлетворяла следующей граничной задаче
(38)
Переменная 
в граничных задачах (38) выступает в качестве параметра, и для всех 
эти задачи полностью идентичны, поэтому достаточно задачу (38) решить, например, при 
и положить
(39)
Краевая задача (38) является стационарной двумерной (по переменным 
, так как выступает в качестве параметра) обобщенной задачей типа Неймана. Такие граничные задачи для эллиптических уравнений второго порядка хорошо изучены [5] и имеют единственное решение. Если материал каждого слоя обладает анизотропией специального вида, когда одна из главных осей теплофизической анизотропии совпадает с продольным направлением стержня, т. е.
(40)
то из (38), (39) следует 
. В случае общей анизотропии функция 
и определяется теплофизическими свойствами материалов слоев (коэффициентами теплопроводности 
, 
). Далее будем считать, что граничная задача (38) уже решена и функция 
известна.
Перепишем равенства (35)–(37) с учетом (38), (39):
(41)
(42)
(43)
Проинтегрируем уравнение (41) по площади F поперечного сечения стержня, а граничные условия (43) – по внутреннему 
и внешнему 
контурам поперечного сечения соответственно и применим формулу Остроградского – Гаусса, тогда с учетом условий сопряжения (42) получим условие разрешимости задачи (41)–(43):
(44)
где 
– площадь поперечного сечения m-го слоя стержня. (Аналогичное условие разрешимости граничной задачи (38) приводит к тождеству 
.)
Предположим, что в (41)–(44) функции 
, 
, 
уже известны, тогда равенство (44) является параболическим уравнением с переменными коэффициентами относительно функции 
, зависящей только от одной пространственной переменной . Уравнение (44) перепишем в виде
(45)
где
(46)
Выясним вопрос об определении граничных и начальных условий для однозначного интегрирования уравнения (45). Граничные условия (28) на торцах в континууме точек 
, 
или 
в общем случае не могут быть выполнены точно без рассмотрения пограничных слоев, возникающих вблизи торцов стержня. Для определения же краевых условий, соответствующих уравнению (45), потребуем выполнения граничных условий на торцах стержня в интегральном смысле (проинтегрировав (28) по площади поперечного сечения), тогда после подстановки разложения (31) в (28) с учетом (39) получим
(47)
Выполнение этих равенств является необходимым и достаточным условием затухания погранслоев (поправок 
в (23)) в стержне [2].
Аналогично, и начальные условия (29) в континууме точек 
, 
в общем случае не могут быть выполнены точно без рассмотрения локальной поправки 
в (23) (без рассмотрения внутреннего разложения по времени в окрестности начального момента времени 
с последующим «сшиванием» с внешним разложением (24)), поэтому начальные условия (29) также будем выполнять в интегральном смысле
(48)
что обеспечивает достаточно быстрое затухание по времени поправки 
в (23). (В (47), (48) следует учесть (33).)
Покажем, как по изложенной выше схеме можно последовательно с увеличением k определить все функции, входящие в разложение (24), (31). Предполагаем, что граничная задача (38) уже решена и функция 
(см. (39)) уже известна. Тогда при 
из (34), (41)–(43) с учетом (33) получим 
, поэтому из (31), (33) имеем
(49)
Аналогично, при 
из (34), (41)–(43) с учетом (33) и 
получим 
, поэтому из (31) с учетом (39) следует
(50)
Из (29) (а также и из (48)) при с учетом (33), (49) получаем начальное условие
(51)
а граничные условия на торцах (28), (47) при 
в силу (30), (33), (49) выполняются тождественно (
). Из (47) при 
с учетом 
и (33) следуют граничные условия на торцах
(52)
Функция 
однозначно определяется уравнением (45) при 
, а также начальным (51) и граничными (52) условиями. Так условия (51), (52) однородны, то нетривиальное решение начально-краевой задачи (45), (51), (52) может определяться только ненулевой правой частью в (45). Согласно (46), при 
правая часть в уравнении (45) не равна тождественно нулю лишь при выполнении неравенства
(53)
Следовательно, 
(
) при выполнении тождественного равенства в (53) и 
при выполнении неравенства в (53).
Зная 
, из (48) с учетом (50) получим начальное условие для функции 
:
(54)
Так как функция 
однозначно определена, то из (34), (41)–(43) при с учетом (33) и 
можно определить функцию 
. При этом граничная задача (34), (41)–(43), определяющая функцию 
, является квазистационарной и двумерной (по переменным 
) обобщенной задачей типа Неймана, так как время t и пространственная переменная 
в (34), (41)–(43) выступают в качестве параметров.
Зная функцию 
, из (47) при 
с учетом 
можно определить граничные условия для 
:
(55)
Таким образом, функция 
однозначно определяется из начально-краевой задачи (54), (55) и (45) при 
.
Предположим, что при 
функции 
, 
, 
, 
уже известны (при 
это допущение справедливо, так как функции , 
, 
, уже определены), тогда из граничной задачи (34), (41)–(43) можно однозначно определить функцию 
. Эта граничная задача по-прежнему является квазистационарной и двумерной (по переменным 
; время t и переменная 
выступают в качестве параметров). При известной функции 
можно определить граничные условия для 
:
(56)
после чего функция 
при 
однозначно определяется из начально-краевой задачи, соответствующей уравнению (45) (в котором, а также и в (46) нужно k заменить на 
), граничным условиям (56) и начальному условию (48), в котором нужно k заменить на 
:
(57)
Зная функции 
, 
, далее по описанной выше схеме (34), (41)–(43) и (56), (57), (45), (46) можно определить 
, 
для следующего значения k и т. д.
Предложенный алгоритм определения основного трехмерного нестационарного температурного поля в слоистом анизотропном стержне показывает, что для вычисления неизвестных коэффициентов 
в асимптотическом разложении (24) при каждом 
необходимо проинтегрировать двумерные квазистационарные граничные задачи (38) (с учетом (39)) и (34), (41)–(43), причем в последней задаче при разных 
отличие характеризуется лишь известными правыми частями. Кроме того, необходимо решить одномерную нестационарную начально-краевую задачу (45), (51), (52), (54)–(57). При каждом k структура уравнения (45), начальных (51), (54), (57) и граничных (52), (55), (56) условий остается прежней, изменяются лишь известные правые части.
Случай второй. На обеих боковых поверхностях 
стержня заданы граничные условия (10) общего вида, причем хотя бы на одной из этих поверхностей числа Био 
или 
либо велики, либо имеют порядок единицы (
и/или 
). Предполагается, что функции переключения 
при любом фиксированном значении на некоторой части контура 
и/или поперечного сечения могут быть равны нулю (но не равна нулю всюду на обоих контурах , 
) и хотя бы в одной точке контура или на его части 
при 
, причем эта точка или участок (участки) могут быть разными при разных . (Следовательно, из рассмотрения исключается случай, когда при некотором на обеих боковых поверхностях 
заданы граничные условия второго рода.)
Наличие малого геометрического параметра в уравнении (7) и в соотношениях (9)–(11) при высших производных от температуры 
и в этом случае указывает на то, что начально-краевая задача (7)–(12) является задачей с сингулярным возмущением, поэтому решение этой задачи будем разыскивать в виде, аналогичном (23),
(58)
где 
– основное температурное поле в m-м слое; 
– поправки к основному полю в погранслоях в окрестности левого и правого торцов стержня соответственно; 
– поправка к основному температурному полю в окрестности начального момента времени 
.
Далее настоящее исследование посвящено определению основного температурного поля 
в стержне. Чтобы получить для определения непротиворечивую цепочку равенств, асимптотическое разложение следует задать в виде
(59)
Подставим (59) в (7)–(12) и соберем слагаемые при одинаковых степенях ε, тогда с учетом (12) получим следующую цепочку равенств для определения функций 
:
(60)
(61)
(62)
где 
(63)
Предположим, что в (62) 
(
), т. е. нигде на боковой поверхности стержня не заданы граничные условия первого рода (по температуре). Анализ системы (60)–(62) с учетом (63) в этом случае показывает, что функции 
в разложении (59) можно представить в виде
(64)
где
(65)
– подлежащие определению функции;
, 
имеют прежний смысл (см. (34)).
Предположим, что при 
функции 
и 
уже известны (при 
это допущение справедливо в силу (63), (64): 
, 
). Заменим в (60)–(62) функцию 
разложением, аналогичным (64), затем проинтегрируем уравнение (60) по площади поперечного сечения стержня, а равенства (62) – по контурам 
, соответственно, тогда после применения формулы Остроградского – Гаусса с учетом (61) получим
(66)
Так как предполагается, что при каждом 
функции переключения 
и/или 
отличны от нуля на некотором участке (участках) контура и/или 
, а числа Био 
, 
положительны, то скобка в левой части (66) положительна, и из уравнения (66) можно однозначно определить функцию 
при 
.
Пусть уже известны функции 
, 
, тогда после подстановки в (60)–(62) разложения (64) получим
(67)
(68)
(69)
Равенства (65), (67)–(69) образуют квазистационарную двумерную (время t и переменная выступают в качестве параметров) обобщенную задачу типа Неймана относительно функции 
. Такие задачи хорошо изучены [5] и имеют единственное решение, причем условие разрешимости (66) этой задачи уже выполнено. Если 
уже известна из (65), (67)–(69), то по схеме (64)–(69) можно определить функции 
, 
, а значит, и 
для следующего значения k и т. д.
Если на части или всей боковой поверхности и/или 
при всех заданы граничные условия первого рода (по температуре), т. е. в (62) функции переключения 
, 
при 
, где 
, и 
при 
, , то система (60)–(62) с учетом (63) и граничного условия 
(
, 
), вытекающего из (62), образует квазистационарную двумерную (время t и переменная выступают в качестве параметров) обобщенную краевую задачу для эллиптического уравнения со смешанными граничными условиями относительно функции 
при 
. (Функции 
, 
предполагаются уже известными, что верно при в силу (63).) Такие граничные задачи хорошо изучены [5] и имеют единственное решение. В этом случае непосредственно из системы (60)–(63) последовательно определяются все коэффициенты разложения (59).
Граничные условия (11) на торцах стержня и начальное условие (12) при использовании асимптотического разложения (59) с учетом соотношений (60)–(69) могут быть выполнены тождественно лишь в исключительных случаях. В общем же случае краевые условия (11) на торцах в континууме точек могут быть выполнены лишь после рассмотрения погранслоев (поправок 
в (58)), возникающих вблизи торцов стержня. Аналогично, начальное условие (12) может быть удовлетворено лишь после построения внутреннего разложения по времени t (после определения поправки 
в (58)) и последующего «сшивания» с внешним разложением (59) [6]. Рассмотрение этих вопросов выходит за рамки настоящего исследования в силу ограниченности объема статьи.
З а м е ч а н и е 1. При малых числах Био 
на боковых поверхностях из (66) следует 
при 
(
), поэтому случай малых чисел Био был выше рассмотрен отдельно.
З а м е ч а н и е 2. В настоящем исследовании предполагалось, что поперечное сечение стержня двусвязное (см. рисунок 1), но все рассуждения остаются справедливыми и для n-связных поперечных сечений стержня. При этом в случае малых чисел Био на всех n боковых поверхностях стержня следует разложение типа (16) строить не по двум, а по n параметрам и т. д.
Полученные в настоящей работе внешние асимптотические разложения могут быть использованы при расчетах на прочность и податливость стержневых композитных конструкций, так как используемые на практике приближенные теории деформирования стержней (Бернулли, Тимошенко и др.) дают приемлемую точность лишь на некотором удалении от торцов, т. е. за пределами погранслоев или локальных эффектов, распространяющихся в глубину стержня на расстояние порядка его толщины. Разработанный метод может оказаться эффективным и при исследовании основного напряженного состояния в композитных стержнях методами асимптотического анализа [7–9 и др.], когда такие конструкции подвергаются термосиловому нагружению.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта -Укр_а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Немировский стационарной задачи теплопроводности конструктивно и физически неоднородных композитных стержней методом асимптотического расщепления / , // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 2006. – Т. 49, № 4. – С. 167–182.
2. Зино методы в задачах теории теплопроводности и термоупругости / , . – Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. – 224 с.
3. Физические свойства сталей и сплавов, применяемых в энергетике. Справочник. – М. – Л.: Энергия, 1967. – 240 с.
4. Луканин : Учеб. для вузов / , , и др. / Под ред. . – М.: Высш. шк., 2003. – 671 с.
5. Бицадзе задачи для эллиптических уравнений второго порядка / . – М.: Наука, 1966. – 204 с.
6. Ильин асимптотических разложений решений краевых задач / . – М.: Наука, 1989. – 336 с.
7. Горынин задачи изгиба и кручения слоистых конструкций. Метод асимптотического расщепления / , . – Новосибирск: Наука, 2004. – 409 с.
8. Агаловян теория анизотропных пластин и оболочек / . – М.: Наука, Физматлит, 1997. – 414 с.
9. Агаловян краевые задачи анизотропных слоистых балок, пластин и оболочек / , . – Ереван: Изд-во Гитутюн НАН РА, 2005. – 468 с.
