Применение метода конечных элементов для прогнозирования эффективных механических характеристик нано - композиционных материалов

УДК 539.3

С. П. ПАВЛОВ, Р. С. ПАЛЬКОВ

Саратовский государственный технический университет им. , Саратов

Филиал » - «ПО «Корпус», Саратов

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК НАНО - КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

В работе проводится исследование зависимости механических характеристик композиционного материала от характеристик межфазного слоя. Данное исследование проводится с использованием метода конечных элементов (МКЭ).

Введение

На сегодняшний день наиболее распространенным способом модификации свойств полимеров является введение в их состав различных наполнителей (включений). Главной задачей, как правило, является изменение физико-механических свойств композита. Для прогнозирования свойств композита требуется умение теоретически определять эффективные параметры композита, в зависимости от свойств, входящих в его состав матрицы и включений. Между матрицей и включением образуется межфазный слой с особыми свойствами. Подтверждением существования межфазного слоя является различие между экспериментальными значениями модуля Юнга Е и его значениями, рассчитанными без учета переходного слоя.

Наличие межфазного слоя существенно усложняет применение численных методов для определения эффективных характеристик композитов. Кроме того, параметры самого межфазного слоя, как правило, являются неоднородными по толщине. По сравнению с проблемой, связанной с неоднородностью межфазных слоев, в случае однородного покрытия определение эффективных характеристик гораздо легче. Для однородных слоев в некоторых случаях получены явные решения для сферических частиц и цилиндрических волокон [1, 2, 3]. В случае неоднородного межфазного слоя, как правило, требуется решать дифференциальные уравнения для задачи теории упругости с бесконечной матрицей, содержащей одну частицу или волокно с межфазным слоем.

Определение эффективных механических характеристик композиционных материалов

В работе приводятся результаты исследования зависимости эффективных механических характеристик композиционного материала, как при изменении внешнего и внутреннего радиусов включения, так и от толщины неоднородного межфазного слоя, модуль Юнга которого является переменным по толщине. Для упрощения считается, что характеристики межфазного слоя постоянны по толщине и совпадают со средними их значениями. В дальнейшем используется метод представительной ячейки, как и в работе [4], однако соответствующие краевые задачи решаются не методом граничных, а методом конечных элементов (МКЭ). Во всех случаях определялись эффективные упругие свойства в направлении перпендикулярном к плоскости массива и, таким образом, необходимо было рассматривать только двумерные задачи упругости.

На рис. 1 приведена структура поперечного сечения композитного материала, а также контур расчетной области для включений в виде длинных трубок круглой формы. Представительная ячейка это прямоугольник 2а х 2а в безразмерных значениях. Трубчатые включения радиуса R показаны на рисунке штриховкой. Начало прямоугольной системы координат разместим в центре ячейки.

Рис. 1. Структура композитного материала и контур представительной ячейки

Материалы матрицы и включений считаем изотропными. Обозначим соответствующие эффективные двухмерные модули в поперечном направлении как . Двухмерный объёмный модуль и модуль сдвига были вычислены после решения двух следующих фундаментальных краевых задач.

Для плоской деформации соотношения между напряжениями и деформациями имеют вид [5]:

(1)

Первую краевую задачу для представительной ячейки определим следующим образом. Зададим постоянные деформации, для чего положим перемещение в направлении оси OX , а перемещение в направлении оси OY . Отсюда тогда следует, что деформации в поперечном направлении определяются следующими выражениями

(2)

Поэтому и теперь легко вычислить напряжение:

(3)

Во второй задаче положим перемещение в направлении оси OХ , а в направлении оси ОY . Тогда, Откуда следует .

В литературе приводятся различные законы изменения модуля Юнга по толщине межфазного слоя для различных теорий его возникновения. В работе принято, что модуль Юнга межфазного слоя изменяется по экспоненциальному закону [6]. Обозначим модуль Юнга матрицы, модуль Юнга включения модуль Юнга межфазного слоя. Если принять, что модуль Юнга слоя изменяется по толщине от значения при до при по экспоненциальному закону, то

(4)

Из условия:

(5)

где h – толщина межфазного слоя, находим значение неизвестного коэффициента k

(6)

Подставим k в (5) и получим:

(7)

Найдем среднее значение величины

.

(8)

Таким образом, окончательно получаем

(9)

Как видно из выражения (9) среднее значение модуля Юнга межфазного слоя при данном законе изменения его по толщине слоя не зависит от его толщины, а зависит только от значений .

Для численного анализа толщина межфазного слоя принималась равной 0,2 от внешнего радиуса включения [7]. Исходные данные, использованные при математическом моделировании, приведены ниже:

- полимерная матрица имеет модуль Юнга Па, коэффициент Пуассона ;

- углеродные нанотрубки имеют модуль Юнга Па, коэффициент Пуассона .

Среднее значение модуля Юнга межфазного слоя теперь получается из (9)

.

(10)

Как видно, это значение существенно отличается от среднего арифметического значения, равного Па, в меньшую сторону. Коэффициент Пуассона слоя, тем не менее, определялся как среднее арифметическое коэффициентов матрицы и включения.

Далее приведем результаты исследования для заданной толщины межфазного слоя и различных значений отношения внешнего и внутреннего радиусов кольца, причем, концентрация включений остается неизменной и равной 20%. Результаты моделирования приведены в табл. 1.

Таблица 1.

Результаты исследования для различных внешних радиусов включений

Внешний радиус				νe
r0=0,56	1,6968	1,6983	1,6818	0,8166
r0=0,6	1,8622	1,8600	1,8837	0,8203
r0=0,65	2,1036	2,0956	2,1878	0,8252
r0=0,7	2,5128	2,4961	2,6926	0,8303

Здесь , , – отношение эффективного модуля Юнга к двумерному модулю Юнга основного материала (матрицы), отношение эффективного модуля сдвига к двумерному модулю сдвига основного материала (матрицы), отношение эффективного объемного модуля к двумерному объемному модулю основного материала (матрицы), νe – эффективный коэффициент Пуассона.

Из табл. 1 видно, что с увеличением внешнего радиуса трубки происходит увеличение модуля сдвига Ge и модуля Юнга Еe. На рис. 2, 3 приведены графики зависимости и от внешнего радиуса трубки, соответственно.

Рис. 2. График зависимости от внешнего радиуса трубки

Рис. 3. График зависимости от внешнего радиуса трубки

Далее было проведено исследование влияния толщины межфазного слоя на эффективные механические характеристики композиционного материала , . Толщина межфазного слоя h варьировалась от до . Результаты для приведены на рис. 3, 4. На рис. 5 приведены распределения интенсивностей напряжений в матрице, включении и межфазном слое.

Рис. 3. График зависимости от толщины межфазного слоя (конц. 20%)

Рис. 4. График зависимости от толщины межфазного слоя (конц. 20%)

Заключение

Из проведенных исследований можно сделать следующие выводы. Данные, приведенные в табл. 1, достаточно наглядно показывают, что при изменении внешнего радиуса трубки мы наблюдаем увеличение эффективных упругих характеристик ( и ) композиционного материала в 1,48 раза при неизменной концентрации включений φ=0,2. Таким образом трубки большего радиуса и меньшей толщины оказывают больший эффект усиления.

Кроме того, по мере увеличения толщины h межфазного слоя, эффективные упругие модули упругости композиционного материала Ее, Ge также увеличиваются.

ЛИТЕРАТУРА

1.  Hill, R., 1964. Theory of mechanical properties of fibre-strengthened materials: I. Elastic behavior. J. Mech. Phys. Solids 12, 199–212.

2.  Hashin, Z., Rosen, B. W., 1964. The elastic moduli of fiber-reinforced materials. J. Appl. Mech. 31, 223–232.

3.  Qiu, Y. P., Weng, G. J., 1991. Elastic moduli of thickly coated particle and fiber-reinforced composites. ASME J. Appl. Mech. 58, 388–398.

4.  , , Определение и прогнозирование упругого поведения материала АКП-1ПК методом граничных элементов, Труды », №4, 2012г., с. 42-50.

5.  , Гудьер Дж., Теория упругости, изд. «Наука», 1975 г., с. 576.

6.  , , Волков-, , Шумова теории межфазного слоя// Механика композиционных материалов и конструкций, вып.4, 2004г, с. 596-612.

7.  , Люкшин свойств межфазного слоя на напряженно-деформированное состояние полимерного композита в окрестности включения// Механика композиционных материалов и конструкций, том 4, №2, 1998г, с. 56-68.

Текст доклада согласован с научным руководителем.

д. ф.-м. н., проф. кафедры «Математика и моделирование» Павлов государственного технического университета им.