До питання моделювання роботи шпиндельного вузла при високошвидкісному торцевому фрезеруванні

УДК 621.914

До питання моделювання роботи шпиндельного вузла при високошвидкісному торцевому фрезеруванні

, канд. техн. наук; , канд. техн. наук;
М. Л. Білявський

Житомирський державний технологічний університет

Були розроблені діаграми стійкості високошвидкісного фрезерування. Вони пов’язані з процесом, зворотним розгалуженню, тобто період подвійних вібрацій виникає окремо від звичайних самоіснуючих вібрацій, які є типовими для токарних робіт або низькошвидкісного фрезерування зі складними активними зубцями. Було запропоновано новий критерій стійкості та застосовано для фрезерувальної моделі збудження з параметрами затримки. Було встановлено математичну залежність стійкості процесу високошвидкісного чистового фрезерування. Було вивчено лінійно-квадратичний метод контролю магнетичних опор високошвидкісного шпинделя. Було встановлено математичну залежність, згідно з якою встановлюється балансування високошвидкісного шпинделя.

У науковій літературі [1-14] приділяється значна увага питанням, пов'язаним з моделюванням процесу високошвидкісного торцевого фрезерування, а саме встановлена базова 3-D модель дослідження динаміки процесу, розглянутий аналітичний метод визначення стабільності процесу високошвидкісного фрезерування за критерієм точності обробленої поверхні, проведено теоретичні дослідження вібрацій технологічної системи.

Одним з найбільш відповідальних вузлів фрезерних верстатів є шпиндельний вузол, до якого ставляться жорсткі вимоги за швидкохідністю, точністю і навантажувальною здатністю, що впливають на вихідні показники якості обробленої поверхні деталей.

Авторами [12] зазначено, що як опори високошвидкісного прецесійного шпинделя можуть використовуватися комбіновані опори, до складу яких входять активні магнітні підшипники (АМП).

Основною перевагою АМП є відсутність механічного контакту та можливість використання їх при високошвидкісному різанні [13].

Разом з тим аналіз літературних джерел показує, що не отримали достатнього висвітлення питання, пов`язані з побудовою математичних моделей управління АМП шпинделя високошвидкісного верстата для визначення зон мінімальних вібрацій технологічної системи. Доцільним було б також більш широке використання полікристалічних надтвердих матеріалів (ПНТМ) при високошвидкісному торцевому фрезеруванні плоских поверхонь деталей машин.

З огляду на вищенаведене метою статті стало встановлення математичних залежностей, які б визначали зони мінімальних вібрацій з урахуванням конструктивних особливостей торцевих фрез, оснащених ПНТМ, геометрії різальних ножів та автоматичного балансування шпинделя активними магнітними підшипниками.

Розглянемо диференціальне рівняння руху ножів торцевої фрези відносно заготовки [8]:

,

(1)

де – положення краю леза ножа торцевої фрези в момент часу ; – власна частота коливання торцевої фрези; – відносний коефіцієнт затухання; – маса торцевої фрези; – сила різання відносно осі Х.

Проте рівняння (1) не враховує конструктивних особливостей торцевих фрез, геометрії і матеріалу різальних ножів, матеріалу оброблюваної заготовки та ін. Авторами статті пропонується застосувати функціональний параметр K, який характеризує вищенаведені параметри.

Таким чином, рівняння (1) матиме такий вигляд:

,

(2)

де – густина оброблюваного матеріалу, – функціональний параметр , де – діаметр торцевої фрези, – ексцентриситет фрези відносно заготовки, – геометрія ножів, та – відповідно густина матеріалу різальної частини та кількість ножів; і – радіус розміщення і висота вильоту ножів фрези.

Складова сили різання відносно осі X при торцевому фрезеруванні визначається так [1]:

(3)

де – ширина стружки; – період холостого пробігу ножів торцевої фрези; – періодична функція, що характеризує залежність між глибиною різання і моментом часу .

Підставляючи (3) в (2), отримаємо:

(4)

Аналіз залежності (4) показує, що для кожної технологічної системи необхідно окремо аналізувати виникнення зон вібрацій.

Залежність (4) можна використовувати для встановлення зон мінімальних вібрацій при варіюванні складових, які входять у вище визначений функціональний параметр .

Проте номограми стабільності динаміки процесу високошвидкісного торцевого фрезерування можна корегувати дією активних магнітних підшипників, створюючи автоматичне балансування прецесійного шпинделя високошвидкісного верстата.

Одним з ефективних оптимальних методів управління АМП є лінійно – квадратичний, або ЛК – управління (лінійний закон управління при квадратичному функціоналі якості). Нехай дана лінійна система управління [10-13]:

(5)

де – ( – вимірний вектор стану); – ( – вимірний вектор вихідної змінної); – (– вимірний вектор керуючої змінної); , , – постійні матриці. Необхідно знайти управління , яке переводить систему (5) з довільного початкового стану в нульовий стан при мінімальному значенні інтегрального квадратичного функціонала:

(6)

де – позитивний ваговий скаляр. Відомо [13], що оптимальний закон керування має вигляд:

(7)

де – ( матриця коефіцієнтів посилення зворотного зв`язку); – ( симетрична матриця), що є єдиним позитивним рішенням алгебраїчного матричного рівняння Рікатті:

(8)

Основний недолік запропонованого методу полягає в необхідності розв`язання рівняння Рікатті (8), що складається з нелінійних алгебраїчних рівнянь.

Розглянемо прецесійний шпиндель високошвидкісного фрезерного верстата, що має масу , екваторіальний та осьовий моменти інерції. Прецесійний шпиндель обертається з постійною кутовою швидкістю в АМП. Положення пов`язаної зі шпинделем системи відносно нерухомої системи осей визначається координатами центра мас та двома кутами повороту та відносно осей та відповідно. Вектор має вихідну змінну системи. Активні магнітні підшипники мають 5 керованих струмів , які генерують узагальнені керуючі магнітні сили за законом

,

(9)

де та – відповідно матриці позиційних та струмових жорсткостей.

Рух шпинделя визначається залежністю [14]:

,	(10)
.	(11)

Рівняння (10) описують поступальні рухи шпинделя, а рівняння (11) поворотні рухи шпинделя, які пов`язані з гіроскопічними складовими. Застосовуючи до кожної з трьох систем з одним ступенем вільності процедуру ЛК–оптимізації (5)–(8), можна встановити, що оптимальні керуючі сили повинні формуватися за законом

,

(12)

де – значення власної частоти поступальних рухів шпинделя в АМП без затухання; – оптимальний коефіцієнт затухання.

Застосовуючи до рівняння (12) процедуру оптимізації (5)–(8), можна впевнитися, що матричне рівняння Рікатті (9), що включає 10 нелінійних алгебраїчних рівнянь, має аналітичний розв'язок [13]. У результаті отримаємо, що оптимальні керуючі моменти повинні формуватися за законом:

(13)

де – відповідно оптимальні коефіцієнти жорсткості, демпфування та радіальної корекції поворотних рухів шпинделя, що визначаються:

(14)

де – гіроскопічний параметр; де – значення власної частоти шпинделя, що не рухається.

Встановлені залежності (11–14) дозволяють виконати автоматичне балансування високошвидкісного шпинделя для підвищення якості обробки плоских поверхонь при побудові математичного апарата.

Висновки

У роботі встановлені математичні залежності, які в подальшому дають можливість визначити зони мінімальних вібрацій технологічної системи з урахуванням конструктивних особливостей торцевих фрез, оснащених ПНТМ, геометрії різальних ножів та автоматичного балансування шпинделя активними магнітними підшипниками.

Досліджено метод лінійно–квадратичного управління активними магнітними підшипниками прецесійного шпинделя високошвидкісного фрезерного верстата.

Встановлені математичні залежності, за якими можна визначити необхідні керуючі сили, керуючі моменти, за якими встановлюється автобалансування прецесійного шпинделя верстата.

У подальших дослідженнях буде проведено експериментальну перевірку отриманих теоретичних залежностей з метою встановлення вібростійкої роботи високошвидкісних фрезерних верстатів.

Summary

The stability charts of high-speed milling are constructed. These are related to flip bifurcation, i. e. period doubling vibrations occur apart of the conventional self-excited vibrations typical for turning or low-speed milling with multiple active teeth. A new stability criterion is proposed and applied for the delayed parametric excitation model of milling. Mathematical dependences of stability of process of high-speed face milling are established. Linearly - quadratic method of control by magnetic bearings of a high-speed spindle are explored. Mathematical dependences on which balancing a high-speed spindle is carried out are installed.

Cписок літератури

1.  Balachandran, B., Zhao, M. X., 2000, A Mechanics Based Model for Study of Dynamics of Milling Operations, Meccanica, accepted.

2.  Budak, E., Altintas Y., 1998, Analytical Predection of Chatter Stability in Milling – Part I: General Formulation, Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control 120, pp. 22-30.

3.  Budak, E., Altintas Y., 1998, Analytical Prediction of Chatter Stability in Milling – Part II: Application of the General Formulation to Common Milling Systems, Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control 120, pp. 31-36.

4.  Davies, M. A., Pratt, J. R., Dutterer, B., Burns, T. J., 2000, Interrupted Machiening - A Doubling in the Number of Stability Lobes, The Journal of Manufacturing Science and Engineering, submitted.

5.  Fargue, D., 1973, Réducibilité des systémes héréditaires á des systémes dinamiques, C. R. Acad. Sci. Paris 277B, pp. 471-473.

6.  Farkas, M., 1994, Periodic Motions, Springer-Verlag, New York.

7.  Hale, J. K., Lunel, S. M.V., 1993, Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York.

8.  Minis, I., Yanushevsky, R., 1993, A new theoretical approach for the prediction of machine tool chatter in milling, Journal of Engineering Industry, 115, pp. 1-8.

9.  Moon, F. C., 1998, Dynamics and Chaos in Manufacturing Processes, Wiley, New York.

10.  Seagalman, D. J., Butcher E. A., 2000, Suppression of Regeneratve Chatter via Impedance Modulation, Journal of Vibration and Controll, 6, pp. 243-256.

11.  Shi, H. M., Tobias, S. A., 1984, Theory of finite amplitude machine tool instability, International Journal of Machine Tool Design and Research, 24, pp. 45-69.

12.  Stépán, G., 1989, Retarded dynamical systems, Longman, Harlow.

13.  Zhuravlyov Y. N., Afanasiev M. V., Lantto E. Inverse Problems of Magnetic Bearing Dynamics. Proc. of the 4 th Internat. Symposium on Magnetic Bearings (Zurich, Switzerland), Hochschulverlag AG and der ETH Zurich, 1994, p. p.79-84.

14.  , , М. Л.Білявський. Гіроскопічний ефект при високошвидкісному торцевому фрезеруванні // Вісник ЖДТУ. Технічні науки. – 2004. – № 4 (31). – Том 1. – С. 24 – 28.

Надійшла до редакції 5 грудня 2005 р.