Вычислить приближенно корень уравнения

Вычислить приближенно корень уравнения

Корни уравнения называются еще нулями функции.

Найти все корни уравнения точно удается лишь в частных случаях. Однако существует множество численных методов, позволяющих отыскать корни любого уравнения с заданной точностью.

При этом решаются две задачи:

1.  Отделение корней, т. е. поиск достаточно малых областей, в пределах которых находится только один корень.

2.  Нахождение корня с заданной точностью.

Для решения 1-ой задачи - выделение областей, содержащих только один корень (ноль функции),создается таблица значений функции, по которой строится график функции.

x y(x) -1 -2.632 -0.9 -2.493 -0.8 -2.351 -0.7 -2.203 -0.6 -2.051 -0.5 -1.893 -0.4 -1.730 -0.3 -1.559 -0.2 -1.381 -0.1 -1.195 0 -1.000 0.1 -0.795 0.2 -0.579 0.3 -0.350 0.4 -0.108 0.5 0.149 0.6 0.422 0.7 0.714 0.8 1.026 0.9 1.360 1 1.718

Для уточнения области поиска, составим таблицу и построим график функции в малой окрестности корня

x y(x) 0.40 -0.108 0.41 -0.083 0.42 -0.058 0.43 -0.033 0.44 -0.007 0.45 0.018 0.46 0.044

Для решения 2-ой задачи – нахождения корня с заданной точностью используют численные методы. Мы используем достаточно универсальный и простой метод половинного деления. Суть его в следующем.

Пусть уравнение F(x) = 0 на отрезке [a, b] имеет только один корень. Это значит, что значение функции F(x) не концах интервала, в точках a и b имеет разные знаки, тогда произведение

Для нахождения корня, т. е. точки пересечения графа функции с осою Ох отрезок делят пополам. Середина отрезка имеет координаты .

Если F(x) = 0, то x – есть корень. Если F(x0) ¹ 0, то выбирается тот из отрезков [a, х] или [х, b], на концах которого функция F(x) имеет противоположные знаки. Выбранный отрезок вновь делят пополам и проводят ту же операцию выбора. Процесс половинного деления продолжается до тех пор, пока длина отрезка, на концах которого функция имеет противоположные знаки, не станет меньше заданного числа e, определяющего точность поиска корня.

Все промежуточные расчеты сведем в таблицу.

a	b	b - a	x=(b + a)/2	y(a)	y(x)	y(a)*y(x)
0.44	0.45	0.01	0.445	-0.0072928	0.0054902	-4E-05
0.44	0.445	0.005	0.4425	-0.0072928	-0.000906	6.61E-06
0.4425	0.445	0.0025	0.44375	-0.0009062	0.0022908	-2.1E-06
0.4425	0.44375	0.00125	0.443125	-0.0009062	0.000692	-6.3E-07
0.4425	0.443125	0.000625	0.4428125	-0.0009062	-0.000107	9.71E-08
0.4428125	0.443125	0.000312	0.4429688	-0.0001071	0.0002924	-3.1E-08
0.4428125	0.4429688	0.000156	0.4428906	-0.0001071	9.263E-05	-9.9E-09
0.4428125	0.4428906	7.81E-05	0.4428516	-0.0001071	-7.26E-06	7.78E-10

Таким образом, с точностью найден корень уравнения х = 0.44285.