4.5. Основные понятия ЛП. Свойства задач ЛП (стр. 3 )

1)  если не вводились искусственные переменные или они равны нулю, получено оптимальное решение;

2)  если хотя бы одна искусственная переменная не равна нулю, задача неразрешима из-за противоречивости условий.

При невыполнении признака оптимальности анализируются столбцы с отрицательными оценками. Если среди них обнаружится столбец, в котором все коэффициенты разложения неположительны, то есть aij£0, "i, то задача неразрешима по причине неограниченности критерия на допустимом множестве. В противном случае выбирается минимальная (отрицательная) оценка

Она определяет столбец Ar, называемый направляющим или разрешающим, или ведущим столбцом. Мы будем придерживаться первого термина.

Заполняется столбец q. Значения q вычисляются делением элементов столбца A0 на положительные элементы направляющего столбца

По минимальному значению q определяется направляющая строка k:

На пересечении направляющей строки и направляющего столбца находится направляющий элемент akr. Тем самым определена переменная которая становися базисной, и переменная выводимая из числа базисных (она становится равной нулю).

Заполняется таблица l+1. В ней отражается смена базиса: вектор Ask заменяется вектором Ar, соответственно вместо Csk ставится Cr, остальные базисные элементы остаются на месте. Элементы главной части таблицы вычисляются согласно (4.22):

Эти формулы применяются следующим образом. Элементы строки, которая была направляющей, находятся делением строки на направляющий элемент. Для вычисления остальных элементов можно использовать правило прямоугольника: в таблице l элемент aij проектируется на направляющий столбец и направляющую строку (рис.4.7). В вершинах образовавшегося прямоугольника находятся все элементы, входящие в рекуррентную формулу. Теперь, вычитая из проектируемого элемента произведение элементов в двух других противолежащих вершинах прямоугольника, деленное на направляющий элемент, получаем новое значение элемента. При этом так вычисляются элементы только небазисных столбцов, так как в базисных столбцах всегда имеем единичные векторы.

После заполнения главной части таблицы возвращаемся на начало основного этапа.

Для контроля вычислений можно проводить повторный счет оценок, используя вспомогательные строки z и C.

Наглядное представление алгоритма дает блок-схема, приведенная на рис. 4.8.

Замечание. При выборе направляющего столбца и направляющей строки может иметь место неоднозначность из-за достижения минимума более чем на одном индексе. При этом можно выбирать любой из них либо для однозначного выбора добавить правило, например, при нескольких индексах брать наименьший.

Из неоднозначности выбора строки следует, что новое базисное решение будет вырожденным. При степени вырожденности больше единицы теоретически возможно зацикливание. Для его устранения в теории предложена e-задача, соответствующая малому деформированию вектора ограничений, которое приводит к замене вырожденной вершины невыржденными. Из решения этой задачи выведено более сложное правило выбора направляющей строки:

В строках с минимальным q находятся отношения q 1 элементов 1-го столбца к элементам направляющего и выбирается строка с минимальным q 1. Если же этот выбор снова неоднозначен, то вычисляются отношения q 11 элементов 2-го и направляющего столбца в строках с минимальным q 1, и т. д. до достижения однозначного выбора. Это правило гарантирует от зацикливания. Однако на реальных задачах сталкиваться с зацикливанием не приходилось, и поэтому изложенное правило представляет больше теоретический интерес.

4.9.7. Примеры

Пример 4.2. Для иллюстрации работы алгоритма применим его к задаче планирования, решенной графически в разд. 4.6.

Исходная модель L=7x1+5x2→max, 1) 2x1+3x2£19, 2) 2x1+x2£13, 3) 3x2£12, 4) 3x1£17, 5) x1³0, 6) x2³0.

Каноническая модель L=7x1+5x2→max, 2x1+3x2+x3=19, 2x1+x2+ x4=13, 3x2+x5=12, 3x1+x6=17, "xj³0.

Исходная модель соответствует первому случаю построения начального базисного решения (см. разд. 4.9.4). Следовательно, базисными переменными в начальном решении будут дополнительные переменные x3, x4, x5 и x6, а базисными векторами - А3, А4, А5 и А6. Очевидно, что такое базисное решение является допустимым (опорным планом), а в геометрическом представлении это вершина в начале координат.

Имея начальное решение, заполняем начальную симплекс-таблицу. В столбцы A1 - A6 заносятся коэффициенты при переменных x1-x6 в канонической модели, а в A0 – свободные члены. Так как C3, C4, C5 и C6 равны нулю, то согласно (4.14) и все zj=0. Следовательно, в этом случае Δj= zj - Cj = -Cj.

Таблица 0	0	7	5	0	0	0	0	q
i	Csi	Баз.	A0	A1	A2	A3	A4	A5	A6
1	0	A3	19	2	3	1	0	0	0	19/2
2	0	A4	13	2	1	0	1	0	0	13/2
3	0	A5	12	0	3	0	0	1	0	--
4	0	A6	17	3	0	0	0	0	1	17/3
5	Δj	0	-7	-5	0	0	0	0
6	zj	0	0	0	0	0	0	0

Анализируем таблицу. Признак оптимальности не выполняется и при этом в столбцах с отрицательными Δj есть положительные элементы, значит, решение можно улучшить. По минимальному значению Δj определяем направляющий столбец - A1. Вычисляем q делением элементов столбца A0 на положительные элементы направляющего столбца. По минимальному значению q находим направляющую строку – строка 2. Направляющий столбец и направляющая строка выделены в таблице серым цветом. Таким образом, из базиса выходит вектор A6 и на его место встает A1. Аналогичная смена происходит в базисном решении: x1 заменяет x6.

Переходим к вычислению элементов новой таблицы. Новые значения в строке 4 получаем делением элементов этой строки в начальной таблице на направляющий элемент. Остальные элементы в небазисных столбцах, столбце A0 и новые значения Δj вычисляются по правилу прямоугольника. Для примера в начальной таблице показаны 2 прямоугольника, которые построены на элементах a16 и Δ2. Они позволяют вычислить новые значения этих элементов:

a16 = 0 - (2*1)/3= -2/3; Δ2=*0)/3= -5.

В результате получаем симплекс-таблицу 1.

Таблица 1	0	7	5	0	0	0	0	q
i	Csi	Баз.	A0	A1	A2	A3	A4	A5	A6
1	0	A3	23/3	0	3	1	0	0	-2/3	23/9
2	0	A4	5/3	0	1	0	1	0	-2/3	5/3
3	0	A5	12	0	3	0	0	1	0	4
4	7	A1	17/3	1	0	0	0	0	1/3	--
5	Δj	119/3	0	-5	0	0	0	7/3
6	zj	119/3	7	0	0	0	0	7/3

В ней также показаны вспомогательные строки (верхняя и нижняя) и вспомогательный столбец Csi. Они предназначены для контроля вычислений оценок (непосредственно по формулам (4.14) и (4.15)), а значит, и всей таблицы. Легко проверить, что в нашем случае эти формулы дают те же значения оценок.