Магнитное поле постоянных токов

13.4. магнитное поле постоянных токов

13.4.1. Скалярный и векторный магнитные потенциалы

Магнитное поле выявляется по силовому воздействию на неподвижные проводники с токами. Сила, действующая в магнитном поле с индукцией B на элемент dl проводника с током I, определяется законом Ампера: , причем направление вектора dl совпадает с направлением тока (рис. 13.15). Все три вектора в этом выражении взаимно перпендикулярны друг другу.

Уравнения магнитного поля постоянных токов в дифференциальной форме выведены в разделе 1б, 13.4б, 13.7):

, ,

Первое из этих уравнений говорит о том, что в областях, занятых током, магнитное поле имеет вихревой характер. А вне этих областей, где , магнитное поле безвихревое и, значит, потенциальное. Иными словами, вектор напряженности магнитного поля можно представить в виде

(13.48)

Тогда откуда следует уравнение Лапласа для скалярного магнитного потенциала jм:

(13.49)

Для областей, занятых током, это уравнение не годится. Там можно ввести новую функцию – векторный магнитный потенциал А, который связан с вектором магнитной индукции соотношением

B = rot A = Ñ´A. (13.50)

В этом случае тождественно удовлетворяется принцип непрерывности магнитного потока: . Тогда

= d.

Если, не нарушая соотношения (13.50), в последнем выражении принять div A = 0, то из него следует уравнение Пуассона для векторного магнитного потенциала А:

(13.51а)

Естественно, в областях, незанятых током (d = 0), оно переходит в уравнение Лапласа

(13.51б)

Уравнения (13.51а) и (13.51б) – векторные. Каждое из них распадается на три скалярных, связывающих между собой проекции векторов А и d на оси декартовой системы координат:

Ñ2Аi = – madi и Ñ2Аi = 0, (13.52)

где i = x, y, z.

Отметим, что с использованием векторного магнитного потенциала существенно упрощается вычисление магнитного потока. Действительно, . Теорема Стокса позволяет преобразовать поверхностный интеграл в контурный, который вычислять гораздо проще:

. (13.53)

Здесь напрашивается чисто формальное сопоставление с законом полного тока (13.1а): линии вектора А охватывают магнитный поток подобно тому, как линии вектора Н охватывают ток.

Общей задачей расчета магнитного поля постоянных токов является определение вектора напряженности магнитного поля или вектора магнитной индукции в каждой точке пространства по заданному распределению тока. Эта задача решается определением векторного потенциала как функции координат. Если сравнить уравнения Лапласа–Пуассона (13.13) и (13.15) для электростатики с уравнениями (13.51а, б), то легко заметить их очевидное сходство. Продолжая аналогию, можно частному решению для распределенных по объему зарядов из (13.31) сопоставить соответствующее выражение для проекции векторного потенциала:

,

где R – расстояние от элемента объема dV с током до точки, в которой определяется . Если ток I протекает по проводнику, размеры поперечного сечения которого S значительно меньше, чем расстояние R, то после замены ddV = dSdl = Idl можно найти векторный потенциал, создаваемый током такого провода длиной l:

, (13.54)

Кстати, из этого соотношения с учетом формулы (13.47) следует известный из курса физики закон Био–Савара:

(13.55)

Здесь 1R – единичный вектор, направленный вдоль R от элемента тока в рассматриваемую точку.

В областях, не занятых током, более простым может оказаться решение уравнения Лапласа для скалярного магнитного потенциала (13.49) с последующим использованием формулы (13.48). Разумеется, для этого подходят все методы, рассмотренные при исследовании электростатического поля.

Для выбора нужного решения уравнений в частных производных нужно знать граничные условия, в первую очередь на поверхности раздела сред с различными магнитными свойствами.