Функции нескольких переменных в области экономики

Функции нескольких переменных

в области экономики

, Сибирский институт бизнеса

и информационных технологий

научный руководитель

Вопрос о проблеме развития математического исследования в наибольшей степени удовлетворяет потребностям экономики. Созданы экономико-математические модели, которые дают современные относительно оптимальные решения. С помощью экономико-математических моделей и систем моделей решаются самые разнообразные задачи перспективного планирования: развитие, размещение и специализация существующих и вновь создаваемых предприятий, выбор перспективной структуры производства, определение сроков и темпов строительства новых предприятий и реконструкции старых, нахождение размеров капиталовложений, их распределение между объектами и др.

Целью исследования является анализ применения математических задач в области экономики. В связи с этим вводятся такие понятия, как производственная функция, функция полезности, метод наименьших квадратов.

Рассмотрим эти понятия.

Производственной функцией называется зависимость результата производственной деятельности – выпуска продукции – от обусловивших его факторов – затрат ресурсов x1, x2, …, xn. В денежных единицах она представляет собой доход от использования ресурсов.

Представим пример функции нескольких переменных на решении экономических задач.

Пример 1. Производственная функция (в денежном выражении) имеет вид K(x, y) = 30 (x – количество единиц первого ресурса – 5, y – второго). Стоимость единицы первого ресурса – 5, второго – 10 ден. ед. Найти максимальную прибыль при использовании ресурсов.

Решение. Производственная функция в денежном выражении равна доходу от использования ресурсов. Издержки при этом равны C(x) = 5x + 10y.

Таким образом, функция прибыли равна

п(x, y) = 30 – 5x – 10y.

Требуется найти ее максимум. Частные производные функции п(x, y) равны

пx`=15x-1/2 y1/3 – 5; пy'= 10x1/2 y-2/3 – 10.

Приравнивая их к нулю, найдем решение x = 81, y = 27. Частные производные второго порядка имеют вид:

Пxx``= –5/2x-3/2 y1/3 – 5; пxy``= пyx`` = 5x-1/2 y-2/3; пyy``= –20/3x1/2 y-5/3;

Пxx`` пyy``– (пxy``)2 = 25x-1/2 y-4/3 > 0. Пxx``< 0.

Таким образом, найденная критическая точка есть точка максимума. Соответствующее значение прибыли равно 135 (ден. ед.).

Функция полезности U(x1, x2, x3, …, xn) задает полезность для потребителя от приобретения x1 единиц 1-го блага, x2 единиц 2-го блага и т. д.

Пример 2. Функция полезности имеет вид:

U(x, y) = 2ln (x – 1) + 3 ln(y – 1).

Цена единицы первого блага равна 7, второго – 16. На приобретение этих благ может быть затрачена сумма, равная 1 000. Как следует распределить эту сумму между двумя благами, чтобы полезность от их приобретения была наибольшей?

Решение. Рассмотрим линии уровня функции полезности

U(x, y) = С,

т. е. 2ln (x – 1) + 3 ln (y – 1) = С.

Используя свойства логарифмов, имеем:

ln (x – 1)2 (y – 1)3 = С, т. е. (y – 1)3 = А / (x – 1)2,

где А = ес.

Таким образом, линии уровня представляют собой графики функции

у = ( / (x – 1)2/3) + 1.

Получаем, что в точке (x, y), в которой достигается максимальная полезность, линия уровня касается прямой 8х + 16 у = 1 000, или х + 2у = 125. Значит, градиент функции полезности должен быть перпендикулярен этой линии. Градиент функции полезности имеет вид (2/(х – 1);
3 / (у – 1)). Угловой коэффициент прямой k = –1/2. Используя условие перпендикулярности прямых, имеем: 3(х – 1) / 2(у – 1) = 2, или 3х – 4у = –1. Следовательно, оптимальное распределение потребления товаров находится как решение системы:

т. е. х = 49,5; у = 37,75.

В естествознании, технике и экономике часто приходится иметь дело с эмпирическими формулами, т. е. формулами, составленными на основе обработки статистических данных или результатов опытов. Одним из распространенных приемов построения таких формул является метод наименьших квадратов.

Пусть требуется установить зависимость между двумя величинами x и y, например, между стоимостью потребляемого сырья и стоимостью выпущенной продукции. Произведем обследование n видов продукции и представим результаты исследования в виде таблицы.

Таблица

x	x1	x2	...	xn
y	y1	y2	...	yn

Допустим, что точки, взятые из таблицы (опытные точки), группируются около некоторой прямой линии. Тогда можно предположить, что между x и y существует линейная зависимость

= ax + b,

где a и b – коэффициенты, подлежащие определению, – теоретическое значение ординаты.

Перепишем уравнение искомой прямой в виде ax + b – = 0. Точки, построенные на основе опытных данных, не лежат на этой прямой. Поэтому если подставить в уравнение прямой вместо x и заданные величины xi и yi, то окажется, что левая часть уравнения равна какой-то малой величине = i – yi, а именно: для первой точки ax1 + b – y1 = , для второй – ax2 + b – y2 = , для последней –axn + b – yn = . Величины , , ..., , не равные нулю, называются погрешностями. Требуется подобрать a и b таким образом, чтобы эти погрешности были возможно меньшими по абсолютной величине. Способ наименьших квадратов состоит в том, что a и b выбираются из условия, чтобы сумма квадратов погрешностей u =  была минимальной. Если эта сумма квадратов окажется минимальной, то и сами погрешности будут в среднем малыми по абсолютной величине. Подставим в выражение для u вместо их значения:

u = (ax1 + b – y1)2 + (ax2 + b – y2)2 + ... + (axn + b – yn)2, или u = u(a, b),

где xi, yi – известные величины, a и b – неизвестные, подлежащие определению. Выберем a и b так, чтобы u(a, b) имело наименьшее значение. Необходимые условия экстремума , .

Имеем: 2(ax1 + b – y1) x1 + ... +2 (ax1 + b – y1)xn,

2(ax1 + b – y1) + ... + 2 (ax1 + b – y1).

Получаем систему:

.

Эта система называется нормальной системой метода наименьших квадратов. Из нее находим a и b и затем подставляем их в эмпирическую формулу = ax + b.

Пример 3. Темпы роста y производительности труда по годам в промышленности республики приведены в таблице.

Таблица

x	1	2	3	4	5	6	7	8
y	100	156	170	184	194	295	220	229

Предполагая, что зависимость y от x линейная: y = ax + b, найти a и b. Решение. Вычислим коэффициенты нормальной системы уравнений:

.

Следовательно, имеем систему ,

решая которую, получим: a 15,93; b 110,57.

Итак, получили уравнение искомой прямой: y = 15,93x + 110,57.