Задание

Решение.

Множество содержит четыре элемента: a,b,c,d.

а) - истинно, так как в множестве А есть элемент d;

б) - истинно, так как в множестве А нет элемента ;

в) - истинно, так как в множестве А есть элемент a;

г) - ложно, так как в множестве А нет элемента .

Решение.

Подставляя в условие элементы y множества , получим все элементы x множества А:

Для и только для них существует элемент такой, что .

Множество .

Решение.

Все элементы множества А можно задать формулой , где y принимает значения 1,2,3,4.

.

Множество тоже можно задать теоретически: .

N – множество натуральных чисел 1,2,3,… .

Тогда .

Решение.

а) утверждение верно:

, то есть Y есть подмножество Z;

б) утверждение верно:

, то есть Y есть подмножество X;

в) утверждение верно, так как и , то есть Y есть собственное подмножество X;

г) утверждение верно, так как и , то есть X не является подмножеством Z;

д) утверждение верно, так как в множестве Z есть элемент d;

е) утверждение верно, так как в множестве Y нет элемента ;

ж) утверждение верно:

и , то есть есть собственное подмножество X;

з) утверждение неверно, так как пустое множество не является собственным подмножеством множества Z.

Решение.

По методу взаимного включения, нужно доказать и .

Применяемые формулы обозначаются их номерами в учебном пособии.

1) Пусть .

Так как , , то

доказано.

б) Пусть .

доказано.

Равенство доказано.

Решение.

Предположим, что данное множество непусто, то есть .

Предположение является ложным, то есть .

Решение.

Доказательство методом взаимного включения.

Пусть . Тогда

Доказано .

Пусть . Тогда

Доказано .

Равенство доказано.

Решение.

Предположим, что высказывание истинно. Тогда равенство должно выполняться для любых множеств А, В, С, удовлетворяющих условиям задачи.

Например, выберем множества: .

Тогда

,

Если высказывание истинно, то .

Получили противоречие.

Высказывание ложно.