Методические указания

ВВЕДЕНИЕ

Цель настоящих методических указаний – оказать помощь студентам инженерных специальностей Брянского государственного технического университета, обучающимся без отрыва от производства, в изучении раздела механики курса общей физики.

В издании приведена полная рабочая программа, основные законы и положения курса, примеры решения физических задач, а также контрольные задания для студентов-заочников. В отличие от распространенных учебных пособий, которые рассматривают решения сложных задач, вызывающих у студента большие трудности, данные методические указания содержат задачи достаточно простые. Поэтому студент, имеющий слабую подготовку по физике, может самостоятельно разобраться с решением задачи и легко перейти от общих законов, описывающих физические явления, к их применению в конкретной ситуации, изложенной в решении задачи. Кроме того, в данном издании даны общие методические указания к изучению курса и правила выполнения контрольных работ.

Следует подчеркнуть, что данные методические указания не преследуют цель сразу же научить студента, обучающегося заочно или дистанционно, решать задачи по разделу механика – они разнообразны и по сложности и по содержанию. Важно научиться правильному научному подходу к решению проблемы, развернутой в данной конкретной задаче, а значит, – правильному системному подходу к любой научной или технической проблеме. Такой подход должен включать такие важные элементы, как умение сформулировать задачу (умение ставить правильные вопросы) и умение изложить самому себе сначала идею решения, а затем последовательно воплотить данную идею в виде математических формул. Заметим, что большинство студентов поступает наоборот: сначала записывают формулы, кажущиеся подходящими, а затем начинают “примерять” их к решению данной задачи. Такой подход практически всегда приводит к ошибкам, непониманию и неправильному решению.

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ИЗУЧЕНИЮ КУРСА

Учебная работа студента, обучающегося без отрыва от производства, складывается из следующих основных элементов:

·  самостоятельное изучение курса механики по учебным пособиям, которые могут быть как традиционными печатными изданиями так и электронными;

·  решение задач;

·  выполнение контрольных работ;

·  выполнение лабораторных работ;

·  сдача зачетов и экзаменов.

Самостоятельная работа по учебным пособиям является главным видом работы студента-заочника. Для успешного освоения курса механики обучающемуся следует руководствоваться следующими положениями:

1. Изучать курс физики следует систематически в течение всего учебного семестра.

2. Читая учебное пособие, следует вести конспект, который должен содержать определения и единицы физических величин, формулировки основных законов и запись этих законов в символическом виде.

3. Без постоянного самоконтроля невозможно плодотворное освоение курса и успешная сдача экзамена. Рекомендуется после прочтения каждой новой темы ставить вопросы, касающиеся формулировок законов, определений, вскрывающих физический смысл величин. Для этого удобно использовать рабочую программу.

4. Большую помощь в изучении физики могут оказать установочные и обзорные лекции, ориентирующие студента на правильный подход к самостоятельной работе, на умение выделить главное и систематизировать прочитанное.

5. Студенты, проживающие вблизи учебного заведения, должны использовать очные консультации преподавателей кафедры. Современные информационные технологии позволяют учащимся проживающим далеко получать необходимые консультации, используя электронную почту.

Систематическое решение задач является необходимым условием успешного изучения курса механики. Решение задач помогает уяснить физический смысл явлений, прививает навыки практического применения теоретических знаний.

У большинства студентов именно решение задач, требующее, во-первых, глубокого изучения теории, а, во-вторых, умения спроектировать теоретические знания на конкретную ситуацию (умения перейти от общего к частному) вызывает особые трудности. Преодолеть эти трудности помогут следующие рекомендации.

1. Внимательно прочитать условие задачи. Выделить физическое явление, описываемое в данной задаче. Указать и сформулировать физические законы относящиеся к выделенному явлению.

2. Хорошей интерпретацией уровня понимания условия задачи является рисунок, который должен быть четким и содержащим максимум информации. Не следует загромождать рисунок числами, удобнее помещать на чертеж буквенные обозначения физических величин.

3. Промежуточные этапы решения следует сопровождать обоснованными пояснениями.

4. Выразить все величины, входящие в условие задачи, в единицах Международной системы единиц (СИ).

5. Расчетную формулу следует сначала получить в общем виде и лишь за тем подставить в нее числовые данные и произвести вычисления.

6. Проверить, дает ли рабочая формула правильную размерность искомой величины. Для этого подставить в формулу размерность всех величин и произвести необходимые преобразования. Если полученная размерность не совпадает с размерностью искомой величины, то это сигнал о том, что задача решена неверно.

Умение решать задачи не приходит сразу, а достигается длительными и систематическими упражнениями. В настоящих учебно-методических указаниях имеются примеры решения задач по каждому разделу механики. Перед тем как приступить к выполнению контрольной работы после прочтения учебника необходимо разобрать данные примеры и решить самостоятельно несколько задач по каждой теме из рекомендованных для самостоятельной работы сборников задач.

Выполнение контрольных работ студентом и рецензирование их преподавателем преследуют две цели: во-первых, осуществление университетом контроля за работой студента; во-вторых, оказание ему помощи в вопросах, которые оказались слабо усвоенными или непонятными студенту.

При выполнении контрольных работ студенту следует руководствоваться следующими требованиями:

1. Контрольные работы выполняются в обычной школьной тетради, на обложке которой приводятся сведения по следующему образцу:

БГТУ

Факультет обучения без отрыва от производства

Контрольная работа № 1 по физике

Студент: – № 000 (шифр)

Адрес: г. Клинцы, ул. Окружная, .

2. Не допускается выполнение контрольной работы карандашом. Для замечаний преподавателя на страницах тетради оставляются поля. Каждая следующая задача должна начинаться с новой страницы. Условие задачи переписывается полностью без сокращений и лишь затем пишется краткое условие.

3. Решения задач должны сопровождаться исчерпывающими, но краткими пояснениями, раскрывающими физический смысл употребляемых формул, и выполнятся в соответствии с изложенными правилами.

4. В конце контрольной работы необходимо указать, каким учебником студент пользовался при изучении механики (название учебника, автор, год издания). Это необходимо для того, чтобы рецензент в случае необходимости мог конкретно указать, что следует изучить для правильного выполнения контрольной работы.

5. В случае, если контрольная работа при рецензировании не зачтена, студент обязан представить ее на повторную рецензию, переделав те задачи, решения которых оказались неверными. Исправления ошибок можно проводить в той же тетради, если в конце имеются свободные страницы, или в новой тетради. В последнем случае повторная работа представляется вместе с незачтенной.

6. Зачтенные контрольные работы предъявляются экзаменатору. Студент должен быть готов дать во время экзамена пояснения по существу решения задач, входящих в его контрольные работы.

При выполнении лабораторных работ студенты знакомятся с измерительной аппаратурой и методами физических измерений, приобретают навыки ведения самостоятельных экспериментальных исследований, знакомятся с записью и обработкой результатов измерений.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Трофимова физики – М.: Высш. шк., 2001.

2. Савельев общей физики. Т.1 – М.: Наука, 1989.

3. , Тодес общей физики. Т.1 – М.: Наука, 1999.

4. и др. Курс физики. Т.1 – М.: Высш. шк., 2001.

5. Волькенштейн задач по общему курсу физики – М.: Наука, 1985.

6. , , Федоров по физике – М.: Высш. шк. 1987.

7. Чертов система единиц измерений – М.: Высш. шк., 2001.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА МЕХАНИКА

Введение. Кинематика материальной точки. Предмет механики. Классическая и квантовая механика. Релятивистская и нерелятивстская механика. Кинематика и динамика. Основные физические модели: материальная точка, система материальных точек (частиц), абсолютно твердое тело, сплошная среда.

Пространственно-временные отношения. Система отсчета. Скалярные и векторные величины. Способы описания движения. Основные кинематические характеристики движения частиц. Скорость и ускорение частицы при криволинейном движении. Свободное движение частиц в поле тяготения. Движение материальной точки по окружности. Угловая скорость и угловое ускорение. Связь линейных и угловых характеристик.

Динамика материальной точки. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Взаимодействие тел. Сила, виды сил. Масса. Второй закон Ньютона. Импульс (количество движения). Третий закон Ньютона. Изолированная система материальных точек. Внешние и внутренние силы. Закон сохранения импульса. Центр инерции механической системы и закон его движения. Связь закона сохранения импульса с симметрией пространства. Реактивное движение.

Работа и мощность. Консервативные и диссипативные силы. Кинетическая энергия и ее связь с работой внешних и внутренних сил. Относительность работы и кинетической энергии. Поле как форма материи. Центральные, однородные и неоднородные поля. Потенциальное поле. Потенциальная энергия. Связь потенциальной энергии с работой консервативных сил на примере упруго деформированного тела. Консервативные силы как градиент потенциальной энергии. Виды равновесия. Потенциальные кривые. Механическая энергия и закон ее сохранения. Связь закона сохранения механической энергии с симметрией времени. Абсолютно упругий и неупругий удары.

Законы Кеплера. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести и вес тела. Невесомость. Работа в поле тяготения и потенциальная энергия тела. Напряженность и потенциал тяготения и связь между ними. Космические скорости.

Динамика твердого тела. Момент силы и момент импульса. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции. Теорема Штейнера.

Кинетическая энергия вращающегося тела. Работа внешних сил при вращательном движении твердого тела и ее связь с энергией. Закон сохранения момента импульса и его связь с изотропностью пространства. Свободные оси вращения. Гироскоп.

Элементы теории относительности. Классическая теория относительности. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца. Одновременность. Относительность длин и промежутков времени. Интервал. Релятивистский закон сложения скоростей. Релятивистская механика. Взаимосвязь массы и энергии. Границы применимости классической механики. Принцип соответствия. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции.

Механические колебания. Общие представления о колебательных процессах. Гармонические колебания. Основные характеристики колебательного движения: амплитуда, фаза, частота, период. Уравнение гармонических колебаний. Сложение гармонических колебаний одинакового направления. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Фигуры Лиссажу. Динамика гармонических колебаний. Свободные колебания. Квазиупругие силы. Физический и математический маятники. Кинетическая, потенциальная и полная энергия гармонических колебаний. Гармонический осциллятор. Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс.

Волновое движение. Условия образования механических волн. Продольные и поперечные волны. Уравнение бегущей волны. Плоские и сферические волны. Фронт волны и волновая поверхность. Понятие длины волны, волнового вектора, фазовой и групповой скорости. Энергия волны. Принцип суперпозиции. Интерференция волн. Образование стоячих волн. Уравнение стоячей волны. Дифракция волн. Звуковые волны. Объективные и субъективные характеристики звука. Источники звука. Ультразвук.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

КИНЕМАТИКА

Пример 1. Автобус проехал расстояние от пункта А до пункта В со скоростью 50 км/ч. Обратный путь он проделал со скоростью 60 км/ч. Найти среднюю скорость автобуса в рейсе.

Решение

v1= 50 км/ч Обозначим расстояние от А до В через s.

v2= 60 км/ч Для нахождения средней скорости надо весь путь

vср= ? разделить на время t, за которое этот путь был

пройден:

. (1)

(Наиболее распространенная ошибка заключается в том, что средняя скорость определяется следующим образом – это неверно!)

Время движения можно найти как сумму времени движения в прямом направлении и в обратном.

. (2)

Как в прямом так и в обратном направлении автобус движется с постоянной скоростью, поэтому

, . (3)

Подставляя выражения (2) и (3) в формулу (1), получим

. (4)

Анализ формулы (4) показывает, что перевод единиц в СИ не обязателен. После вычисления получим:

км/ч.

Пример 2. Радиус-вектор точки А меняется со временем по закону , где α = 1 м/с, β = 3 м/с2, – орты осей х и y. Найти уравнение траектории, скорость и ускорение тела через 2 с после начала движения.

Решение

Зависимости проекций радиуса-вектора на координатные оси от времени даются выражениями х(t)=αt, y(t)= βt2. Чтобы получить уравнение траектории y(x), решим эту систему относительно времени.

.

Траектория представляет собой параболу

Модуль скорости определяется выражением

, (1)

где vx, vy – проекции вектора скорости на оси координат, даваемые выражениями

, .

Произведя дифференцирование, получим

, . (2)

Подставим выражения (2) в формулу (1) и получим

,

м/с.

Вектор ускорения – это вторая производная радиуса-вектора по времени. Модуль ускорения можно найти, зная проекции ускорения на координатные оси ax и ay, которые определяются как производные проекций скорости по времени.

; .

Ускорение точки А направлено по оси у. Подстановка числовых данных дает а = 6 м/с.2

Пример 3. Колесо вращается с угловым ускорением ε = 2 рад/с2. Спустя 0,5 с после начала движения полное ускорение колеса а стало равно 13,5 м/с2. Найти радиус колеса.

Решение

ε = 2 рад/с2 Полное ускорение точек колеса находится

t = 0,5 с как векторная сумма нормального аn и

а = 13,5 м/с2 тангенциального at ускорения

R = ? .

Тангенциальное ускорение направлено по

касательной к траектории, нормальное ускорение – к центру

окружности (рис. 1).

Для нахождения модуля полного ускорения

воспользуемся теоремой Пифагора

. (1)

Тангенциальное и нормальное ускорения

материальной точки связаны с угловым

ускорением и угловой скоростью ω соотно-

Рис.1 шениями

aτ = εR; an = ωR. (2)

Подставим выражения (2) в формулу (1):

. (3)

При вращении тела с постоянным угловым ускорением угловая скорость находится по формуле

, (4)

где ωо – начальная угловая скорость, в нашем случае равная нулю. Подставим соотношение (4) в формулу (3) и выразим искомый радиус колеса.

м.

Динамика материальной точки

Пример 4. Шарик на нити подвешен к потолку трамвайного вагона. Вагон тормозится, и его скорость за время t =3 с равномерно уменьшается от v1 = 18 км/ч до v2 = 6 км/ч. На какой угол отклонится при этом нить с грузом?

Решение

t = 3 с Частой ошибкой при решении задач

v1 = 18 км/ч =5 м/с является неправильный выбор системы

v2 = 6 км/ч = 1,67 м/с отсчета. Вагон не является инерциаль-

α = ? ной системой отсчета, так как он

движется с ускорением.

Будем рассматривать равнозамедленное движение шарика относительно земли. Прежде чем расставить действующие на шарик силы, выясним, с какими телами он взаимодействует. Взаимодействие шарика с Землей количественно описывается силой тяжести, взаимодействие с нитью – силой натяжения. Таким образом, на него действуют только две силы. Согласно второму закону Ньютона, ускорение приобретаемое телом в результате действия сил направлено в ту же сторону, что и результирующая этих сил. Отобразим это на рисунке 2.

Запишем уравнение динамики в векторном виде.

.

В проекциях на оси координат это выражение примет вид

;

.

Решив эти уравнения совместно, получим

. (1)

Модуль ускорения найдем как

. (2)

Подставим соотношение (2) в формулу (1):

.

Угол отклонения нити находится из соотношения

.

Пример 5. Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти массу камня, если известно, что разность между максимальной и минимальной силой натяжения веревки равна 10 Н.

Решение

Тmax – Tmin = 10 H Тело движется по окружности под действием

v = const силы тяжести и силы натяжения веревки Т.

m = ? Полное ускорение камня можно представить

в виде суммы нормального ускорения аn и тангенциального ускорения at (см. пример 2). Тангенциальное ускорение в нашем случае равно нулю, так как скорость камня постоянна по модулю.

Второй закон Ньютона для камня в любой точке траектории имеет вид

,

или в проекции на ось Y для верхней и нижней точек траектории

, (1)

Рис. 3 где R – радиус окружности,

. (2)

Сложив уравнения (1) и (2), получим:

кг.

Пример 6. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара 0,2 кг, масса второго 100 г. Первый шар отклоняют, так что его центр тяжести поднимается на высоту 4,5 см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если удар: 1) абсолютно упругий; 2) абсолютно неупругий?

Решение

m1 = 0,2 кг

m2 = 100 г = 0,1 кг

h0 = 4,5 cм = 0,045 м

h1 = ?

h2 = ?

 

1). Абсолютно упругий удар – это идеализированный случай столкновения тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию. Для абсолютно упругого удара выполняются законы сохранения энергии и импульса.

, (1)

где v0 – скорость первого шара непосредственно перед ударом, v1 , v2 – скорости шаров сразу после соударения.

. (2)

Для того чтобы узнать на какие высоты поднимутся шарики после удара, необходимо знать их скорости после соударения. До и после взаимодействия движение шариков происходит под действием силы тяжести, которая является потенциальной силой, поэтому потенциальная энергия первого шара перейдет перед ударом в кинетическую энергию, кинетическая же энергия каждого шара сразу после удара перейдет в потенциальную энергию в верхней точке подъема.

; ;

или

; ; . (3)

Объединим уравнения (1) и (2) в систему и найдем из нее скорости тел после удара. При решении системы уравнений одно из которых квадратное, а другое линейное, воспользуемся приемом, позволяющим привести ее к системе линейных уравнений (использование метода подстановки существенно осложнит решение!). Для этого перепишем систему в виде

,

.

Так как , то, разделив первое уравнение на второе, получим

. (4)

Уравнения (4) и (2) образуют систему линейных уравнений, которую достаточно легко решить. Найдем v1 и v2.

; . (5)

Используя выражения (3) и (5), имеем:

м;

м.

2). Абсолютно неупругим называется удар, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое.

Закон сохранения импульса для неупругого удара имеет вид:

, (6)

где v – скорость шаров после удара.

Рассуждая аналогично первому случаю, получаем

.

Выразим из этой формулы искомую высоту h.

. (7)

Используя выражения (3), (6), (7), имеем:

м.

Пример 7. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой 20 г поднялась на высоту 5 м. Определить жесткость пружины пистолета, если она была сжата на 10 см. Массой пружины пренебречь.

Решение

m = 20 г = 0,02 кг Для решения задачи воспользуемся законом

h = 5 м сохранения механической энергии. Полная

s = 10 см = 0,1 м механическая энергия системы состоящей

k = ? из пружины и пули будет постоянной, так

как в данной системе действуют только потенциальные (консервативные) силы: сила тяжести mg и сила упругости F. Силой сопротивления воздуха можно пренебречь.

Проследим за энергетическими превращениями, с которыми связан выстрел.

При зарядке пистолета сжимается пружина, в результате чего пружина приобретает потенциальную энергию упругой деформации

.

При выстреле потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию пули, которая при подъеме ее на высоту h превращается в потенциальную энергию пули

.

Приравнивая правые части этих выражений, получаем:

,

откуда

Н/м.

Динамика вращательного движения

твердого тела.

Пример 8. На барабан массой 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 2 кг. Найти ускорение груза. Барабан считать однородным цилиндром, Трением пренебречь.

Решение

М = 9 кг Воспользуемся основными уравнениями динамики

m = 2 кг поступательного и вращательного движения.

a = ? Для этого рассмотрим силы, действующие на груз

и на блок (рис.5).

На груз действуют две силы: сила тяжести mg, сила натяжения нити T. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

.

Cпроектируем это уравнение на ось y,

которую направим вертикально вниз.

mg – T = - ma. (1)

Под действием момента силы натяжения

нити относительно оси, перпендикулярной

плоскости рисунка, блок приобретает угловое

ускорение ε. Согласно основному уравнению

динамики вращательного движения

, (2)

где I – момент инерции блока относительно оси вращения. Для однородного сплошного цилиндра

. (3)

Учитывая связь углового ускорения блока с тангенциальным ускорением груза (см. пример 2), на основании уравнений (2) и (3) получим

. (4)

Подставим полученное выражение для силы натяжения (4) в формулу (1):

,

откуда

м/с.

Эту задачу можно решить другим способом, используя закон сохранения механической энергии.

При опускании груза его потенциальная энергия уменьшается, переходя в кинетическую энергию вращения барабана и кинетическую энергию поступательного движения груза. Таким образом,

, (5)

где ω – угловая скорость барабана, связанная со скоростью движения груза v соотношением v = ωr . Учитывая это в уравнении (5), получаем:

. (6)

Груз опускается под действием постоянных сил, следовательно,

движение груза равноускоренное, поэтому

, . (7)

Подставляя (7) в (6), получаем м/с.

Пример 9. Однородный стержень длиной 1м подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. На какой угол надо отклонить стержень, чтобы нижний конец стержня при прохождении положения равновесия имел скорость 5 м/с?

Решение

l = 1 м Движение стержня происходит

v = 5 м/с под действием силы тяжести.

α = ? В начальный момент стержень

обладает потенциальной энер-

гией, которая переходит в кинетическую энергию

при прохождении им положения равновесия.

, (1) Рис. 6

где h – высота, на которую опускается центр тяжести стержня, I – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через верхний конец перпендикулярно плоскости рисунка, ω – угловая скорость стержня при прохождении положения равновесия (v = ωl).

Найдем высоту h (рис. 6):

. (2)

Согласно теореме Штейнера

, (3)

где I0 – момент инерции стержня относительно оси проходящей через его центр тяжести перпендикулярно плоскости вращения, d – расстояние от точки подвеса до центра тяжести стержня. Учитывая, что I0 = ml2/12, d =l/2, используя соотношение (3), получим:

. (4)

Подставим формулы (2), (4) в выражение (1).

,

откуда

.

Вычислим искомый угол отклонения стержня:

.

Пример 10. Горизонтальная платформа в виде сплошного диска радиусом R и массой 180 кг вращается по инерции без трения около вертикальной оси, проходящей через ее центр, с частотой 10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет на край платформы?

Решение

Платформа вращается по инерции. Следовательно, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геомет-рической осью платформы, равен нулю.

M = 180 кг При этом условии момент импульса Lz

m = 60 кг системы платформа – человек остается

n1 = 10 об/мин постоянным:

n2 = ? , (1)

где Iz – момент инерции платформы с человеком относительно оси z; ω – угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому Iz = I1 + I2, где I1 – момент инерции платформы, I2 – момент инерции человека.

С учетом этого равенство (1) примет вид

, (2)

где нештрихованные значения величин относятся к начальному состоянию системы, штрихованные – к конечному состоянию.

Момент инерции платформы (сплошного диска) относительно оси вращения не меняется.

.

Момент инерции человека относительно той же оси будет меняться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции в центре платформы будет равен нулю, а в конечном положении на краю платформы

.

Подставим найденные выражения моментов инерции в формулу (2), а также выразим начальную и конечную угловую скорость через частоту вращения (ω = 2πn).

.

После простых преобразований находим интересующую нас частоту вращения.

об/мин.

Механические колебания

Пример 11. Частица массой 10 г совершает гармонические колебания с периодом 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы 0,1 мДж. Определить амплитуду колебаний и наибольшее значение действующей на нее силы.

Решение

m = 10 г = 0,01 кг При гармонических колебаниях полная

T = 2 c энергия частицы остается постоянной.

E = 10-4 Дж В крайнем положении частица обладает

А = ? потенциальной энергией, при прохождении

Fmax = ? положения равновесия потенциальная энер-

гия переходит в кинетическую, поэтому

, (1)

где k – коэффициент упругости колеблющейся системы, xmax – максимальное отклонение частицы от положения равновесия равное амплитуде колебаний А, vmax – скорость частицы при прохождении положения равновесия.

Уравнение колебаний частицы имеет вид

,

где ω – циклическая частота колебаний, φ – начальная фаза.

Скорость колеблющейся точки находится как первая производная смещения от положения равновесия по времени:

.

Из этого выражения видно, что максимальная скорость частицы определяется как

. (2)

Подставим выражение (2) в формулу (1):

.

Учитывая, что ω = 2π/T , выразим из этого соотношения искомую амплитуду колебаний:

м.

Сила, действующая на частицу, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F = - kx. Максимальное значение сила приобретает при максимальном смещении от положения равновесия, т. е.

Fmax = kA. (3)

Коэффициент k найдем, используя выражения (1) и (2):

,

или

. (4)

Подставим в соотношение (3) формулу (4) и найденное ранее значение амплитуды и после несложных преобразований получим:

Н.

Пример 12. Найти логарифмический декремент затухания математического маятника, если за одну минуту амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. Длина маятника 1 м.

Решение

А0/Аt = 2 Уравнение затухающих колебаний имеет

t = 1 мин = 60 с вид

l = 1 м . (1)

æ = ? Амплитуда затухающих колебаний At

уменьшается с течением времени по закону

. (2)

Здесь А0 – начальная амплитуда колебаний, δ – коэффициент затухания, ω – циклическая частота колебаний, φ – начальная фаза колебаний.

Логарифмическим декрементом затухания æ называется натуральный логарифм отношения амплитуд двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период колебаний Т.

æ = . (3)

Следовательно, чтобы найти логарифмический декремент затухания маятника надо знать коэффициент затухания и период колебаний.

Прологарифмируем уравнение (2), выразим и рассчитаем коэффициент затухания

с-1.

Период колебаний T = 2π/ω, где ω = , ω0 = – циклическая частота гармонических (в отсутствии сил трения) колебаний математического маятника. В нашем случае δ<<ω0, поэтому c.

Используем соотношение (3) и получим

æ = 0,01∙2 = 0,02.

Пример 13. Плоская волна распространяется вдоль оси y со скоростью 20 м/с. Две точки, находящиеся на расстояниях 12 м и 15 м от источника волны, колеблются с одинаковыми амплитудами 10 см и разностью фаз 0,75π. Найти длину волны и скорости указанных точек в момент времени t = 1,2 c.

Решение

u = 20 м/с Волной называется процесс распространения

у1 = 12 м колебаний в упругой среде. При распространении

у2 = 15 м волны частицы среды не движутся вместе с вол-

А = 0,1 м ной, а колеблются вблизи своих положений равно-

Δφ = 0,75π весия. Поэтому основным свойством всех волн

t = 1,2 c является перенос энергии без переноса вещества.

λ = ?, v1,2= ?

Уравнение плоской волны имеет вид

, (1)

где х(у,t) – смещение точек среды от положения равновесия, ω – циклическая частота колебаний, связанная с частотой колебаний ν соотношением ω = 2πν.

Под фазой колеблющейся точки понимают выражение

,

следовательно, фаза колебаний точки на расстоянии у1 в момент времени t

, (2)

фаза колебаний точки на расстоянии у2 в тот же момент времени

. (3)

Вычитая из равенства (2) выражение (3), получаем:

. (4)

Учитывая, что , преобразуем соотношение (4).

.

Выразим из этой формулы искомую длину волны:

м.

Для нахождения скорости точки, находящейся на расстоянии у1 от источника, продифференцируем выражение (1) по времени:

.

Вычислим циклическую частоту ω = 2πu/λ = 5π c-1. C учетом этого получим

м/с.

Аналогично найдем скорость второй точки:

м/с.

Знак «минус» показывает, что скорость второй точки направлена противоположно скорости первой точки.

Пример 14. Наблюдатель на берегу моря слышит звук пароходного гудка. Когда пароход стоит, воспринимаемый наблюдателем звук, соответствует частоте 420 Гц. При движении парохода по направлению к наблюдателю частота воспринимаемого звука 430 Гц. При удалении от наблюдателя воспринимаемая частота 415 Гц. Определить скорость парохода в первом и втором случае, если скорость звука при этих условиях 338 м/с.

Решение

ν0 = 420 Гц Изменение частоты колебаний, воспринимае -

ν1 = 430 Гц мой приемником, при движении источника этих

ν2 = 415 Гц колебаний и приемника друг относительно друга

u = 338 м/с называется эффектом Доплера.

uист = ?

Частота звука, воспринимаемая наблюдателем, зависит от скорости движения источника следующим образом:

. (1)

Если источник приближается к приемнику, то uист > 0; если же источник звука движется от наблюдателя, то uист < 0.

Выразим скорость парохода из формулы (1):

.

Рассчитаем интересующую нас скорость в первом и во втором случаях:

м/с = 28,3 км/ч,

м/с = км/ч.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Студент должен решить девять задач того варианта, номер которого совпадает с последней цифрой его шифра.

Вариант	Номер задачи
0	1	11	17	25	37	39	49	56	59
1	6	9	19	30	38	42	47	51	57
2	3	13	18	26	36	40	46	55	60
3	7	16	22	32	35	44	50	52	58
4	2	11	18	30	33	41	47	54	57
5	5	14	21	31	38	40	48	53	59
6	3	10	20	29	34	42	46	51	62
7	8	12	23	28	37	44	49	54	60
8	4	9	17	27	35	43	45	52	62
9	6	15	24	26	36	39	50	55	61

ЗАДАЧИ

1. Студент проехал половину пути на велосипеде со скоростью v1 = 16 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью v2 = 12 км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью v3 = 5 км/ч. Определить среднюю скорость движения студента на всем пути.

2. Первую часть пути автомобиль проходит со скоростью v1 = 30 км/ч, а вторую часть пути со скоростью v2 = 40 км/ч. Какова средняя скорость движения, если время движения на первом участке пути в два раза больше чем на втором?

3. Материальная точка движется вдоль прямой так, что ее ускорение линейно растет и за первые 10 с достигает значения 5 м/с2. Определить скорость точки в конце десятой секунды и пройденный точкой путь.

4. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиусом 12,5 см с постоянным тангенциальным ускорением аτ = 0,5 см/с2. Определить момент времени, при котором вектор полного ускорения образует с вектором скорости угол α = 450, а также пройденный к этому времени точкой путь.

5. Линейная скорость точки, находящейся на ободе вращающегося диска, в три раза больше, чем линейная скорость точки находящейся на 6 см ближе к его оси. Определить радиус диска.

6. На перроне стоит человек. Мимо него движется поезд. Первый вагон проехал за время 1с, второй – за время 1,5 с. Длина вагона 12 м. Найти ускорение поезда и его скорость v0 в начале наблюдения. Движение поезда считать равнопеременным.

7. Тело, имея начальную скорость 2 м/с, двигалось в течение 3 с равномерно, следующие 2 с тело двигалось с ускорением 2 м/с2, затем в течение 5 с – с ускорением 1 м/с2. Последние 2 с движения тело прошло равномерно с приобретенной до этого скоростью. Найти конечную скорость и среднюю скорость на всем пути.

8. Колесо автомобиля вращается равнозамедленно. За 2 минуты оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин-1. Определить угловое ускорение колеса; число полных оборотов, сделанных колесом за это время.

9. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом 4 м, задается уравнением аn = A + Bt + Ct2 (A = 1 м/с2, В = 6 м/с3, С = 9 м/с4). Путь, пройденный точкой за 5 с после начала движения; полное ускорение через одну секунду после начала движения.

10. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону , где – орты осей х и у. Определить модуль скорости и модуль ускорения через одну секунду после начала движения.

11. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону . Найти вектора скорости и ускорения, а также модуль скорости через 2 с после начала движения.

12. Зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением s(t) = A+ Bt + Ct2 + Dt3 (C = 0,1 м/с2, D = 0,03 м/с3). Через какое время после начала движения ускорение тела будет равно 2 м/с2? Найти среднее ускорение тела за этот промежуток времени.

13. Диск радиусом 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе диска, от времени дается уравнением v = At + Bt2 (A = 0,3 м/с2, В = 0,1 м/с3). Определить момент времени, для которого вектор полного ускорения образует с радиусом колеса угол 40.

14. Зависимость координат частицы от времени имеет вид х = А соsωt, y = A sinωt, z = 0 ( A = 10 cм, ω = π с-1). Написать и изобразить графически уравнение траектории частицы; определить вектор и модуль скорости через 5 с после начала движения. В каком направлении движется по траектории частица?

15. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону . Найти вектора скорости и ускорения, модуль скорости в момент времени t = 3с, а также приближенное значение пути пройденного точкой за десятую секунду движения.

16. Точка движется со скоростью , а = 1 м/с2. Найти модуль скорости через одну секунду после начала движения; вектор ускорения и его модуль; путь, пройденный точкой за третью секунду движения.

17. Шарик массой m = 1 кг закреплен на конце жесткого стержня длиной R = 1 м и вращается в вертикальной плоскости. Радиус окружности равен Длине стержня. Определить величину и направление силы, действующей на шарик со стороны стержня в наивысшей точке подъема, если скорость шарика V = 5 м/с.

18. Найти силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, движущегося в гору с ускорением 1 м/с2. Уклон горы равен 1 м на каждые 25 м пути. Масса автомобиля 103 кг. Коэффициент трения равен 0,1.

19. Тело перемещается по наклонной плоскости вверх с помощью нерастяжимой нити. Угол между наклонной плоскостью и горизонтом α = 200, коэффициент трения μ = 0,1. Сила натяжения 20 Н. Нить образует с наклонной плоскостью угол β = 150. Масса тела m = 1 кг. Определить ускорение тела.

20. Автомобиль массой m = 1,8·103 кг спускается при выключенном двигателе с постоянной скоростью v = 54 км/ч по уклону дороги (угол с горизонтом α = 30). Определить, какова должна быть мощность двигателя автомобиля, чтобы он смог подниматься на такой же подъем с такой же скоростью.

21. В вагоне поезда, идущего по закруглению радиуса R = 404 м со скоростью v = 72 км/ч, производится взвешивание груза на пружинных весах. Масса груза m = 5 кг. Определить показания пружинных весов.

  22. К потолку вагона подвешен на нити шарик. Вагон идет со скоростью 9 км/ч по закруглению радиусом 36,4 м. На какой угол отклонится при этом нить с шаром?

23. Тело перемещается равноускоренно с ускорением a = 3м/с2 по наклонной плоскости вверх с помощью пружины, ориентированной вдоль наклонной плоскости. Коэффициент жесткости k = 20 Н/см. Угол между наклонной плоскостью и горизонтом α =300, коэффициент трения μ = 0,1, масса тела m = 1 кг. Определить растяжение пружины.

24. Тепловоз, работая с постоянной мощностью, может вести поезд массой 1000 т вверх по пути с уклоном 0,005 со скоростью 30 км/ч, а по пути с уклоном 0,003 – со скоростью 40 км/ч. Найти силу трения, считая ее в обоих случаях одной и той же, а также максимальную мощность тепловоза.

25. Человек, находящийся в вагонетке, толкает другую вагонетку. Обе вагонетки приходят в движение и через некоторое время останавливаются вследствие трения. Определить отношение путей, если масса первой вагонетки вместе с человеком в 3 раза больше массы второй вагонетки.

26. К свободному аэростату, масса которого М = 300 кг, привязана веревочная лестница, на которой находится человек массы m = 50 кг. Аэростат не движется. В каком направлении и с какой скоростью будет перемещаться аэростат, если человек начнет подниматься по лестнице вверх с постоянной скоростью v = 3 км/ч относительно лестницы?

27. Человек стоит на неподвижной тележке и бросает горизонтально камень массой 8 кг со скоростью 5 м/с относительно Земли. Определить, какую работу при этом совершает человек, если масса тележки вместе с человеком M =160 кг.

28. Доска массы 5 кг скользит без трения по льду замерзшего озера со скоростью 5 м/c. С берега на доску прыгает человек массы 50 кг со скоростью 1 м/c перпендикулярно направлению движения доски. Найдите скорость движения человека на доске.

29. Граната, летевшая параллельно поверхности земли со скоростью 12 м/c, разорвалась на две части, массы осколков равны 10 кг и 5 кг. Скорость большего осколка равна 25 м/с и направлена под углом 300 к горизонту вниз и вперед. Найти модуль и направление скорости меньшего осколка.

30. Две лодки движутся по инерции навстречу друг другу параллельными курсами с одинаковыми по величине скоростями V1=6 м/c. Когда они поравнялись, то с первой лодки на вторую переложили груз. После этого вторая лодка продолжала двигаться в прежнем направлении со скоростью V2=4 м/c. Определить массу второй лодки, если первая лодка без груза имеет массу m1=500 кг, а масса груза m = 60кг.

31. Пушка, не имеющая противооткатного устройства, стреляет снарядом под углом α = 400 к горизонту. Масса снаряда m = 10 кг и начальная скорость 500 м/c. Какова будет скорость отката пушки, если её масса M=500 кг? Трение не учитывать.

32. В лодке массой 240 кг стоит человек массой 60 кг. Лодка плывет со скоростью 2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью 4 м/с относительно лодки. Найти скорость лодки после прыжка человека: вперед по движению лодки; в строну, противоположную движению лодки.

33. Пуля, летящая с определенной скоростью, углубляется в стенку на расстояние l1 = 10 см. На какое расстояние l2 углубляется в ту же стенку пуля, которая будет иметь скорость вдвое большую?

34. Грузик, подвешенный на нити, отводят в сторону так, что нить принимает горизонтальное положение и отпускают. Какой угол с вертикалью α образует нить в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости грузика наибольшая?

35. К вертикально висящей лёгкой пружинке жесткостью k = 3 Н/см прикреплен шарик массой m = 300 г. В начальный момент времени пружинка не деформирована, а шарик отпускают с нулевой начальной скоростью. Определить работу каждой силы, действующей на шарик к моменту его максимального смещения от положения равновесия.

36. Цирковой акробат массой 60 кг прыгает с высоты 10 м на растянутую сетку. Сетка прогибается на 1 м. Какова максимальная сила давления акробата на сетку?

37. Сани соскальзывают с горы высотой 4 м и останавливаются. Проекция полного пути на горизонтальную поверхность земли равна 8 м. Рассчитать коэффициент трения саней о поверхность.

38. Небольшое тело начинает соскальзывать без трения вниз с высшей точки полусферы радиуса 30 см. На какой высоте оно оторвется от поверхности полусферы?

39. На концах нити, перекинутой через блок массой 5 кг, подвешенного к потолку с помощью динамометра, закреплены два груза массой m1 = 10 кг и m2 = 20 кг. Блок может свободно вращаться вокруг своей оси. Найти показания динамометра.

40. Бревно высотой 3 м массой 50 кг начинает падать из вертикального положения на землю. Определить скорость верхнего конца и момент импульса бревна в момент падения на землю.

41. Через блок радиусом 3 см перекинули шнур, к концам которого привязаны грузы массами m1 = 100 г и m2 = 120 г. При этом грузы пришли в движение с ускорением 3 м/с2. Определить момент инерции блока. Трение при вращении не учитывать.

42. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную точку? Масса платформы 240 кг, масса человека 60 кг. Человека считать материальной точкой.

43. Платформа, имеющая форму диска, вращается по инерции вокруг вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в три раза меньше массы платформы. Определить во сколько раз изменится угловая скорость, если человек перейдет ближе к центру на расстояние равное половине радиуса платформы.

44. Однородный шар радиусом 20 см скатывается без скольжения с вершины неподвижной сферы 50 см. Определить угловую скорость шара после отрыва от поверхности сферы.

45. Колебания материальной точки совершаются по закону x = 0,03sin π(t + 0,5). Амплитуда и циклическая частота колебаний заданы в системе СИ. Определить наибольшее значение скорости и ускорения. Чему равна фаза колебаний спустя 5 с от начала движения?

46. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение аmax = 49,3 см/с2, период колебаний Т = 2 с и смещение точки о положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.

47. Уравнение колебаний материальной точки массой 16 г имеет вид x = 0,1 sin (πt/8 +π/4) м. Найти максимальную силу, действующую на точку и полную энергию колеблющейся точки.

48. Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания 30 мкДж, максимальная сила, действующая на тело, 1,5 мН. Написать уравнение движения этого тела, если период колебаний 2 с, начальная фаза φ = π/3.

49. Амплитуда гармонических колебаний точки 2 см, максимальная кинетическая энергия 0,3 мкДж. При каком смещении от положения равновесия на точку действует сила 22,5 мкН?

50. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. При смещении от положения равновесия х1 = 2,4 см скорость точки v1 = 3 см/с, а при смещении х2 = 2,8 см ее скорость v2 = 2 см/с. Найти амплитуду и период колебаний.

51. При наблюдении затухающих колебаний оказалось, что для двух последовательных колебаний амплитуда второго меньше амплитуды первого на 60 %. Период колебаний 0,5 с. Определить коэффициент затухания и собственную частоту незатухающих колебаний.

52. Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника А0 = 3 см. Через 10 с амплитуда стала А1 = 1 см. Через какое время амплитуда станет равной А2 = 0,3 см?

53. Математический маятник длиной 24,7 см совершает затухающие колебания. Через какое время энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Задачу решить при значении логарифмического декремента затухания: а) æ = 0,01; б) æ = 1.

54. Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания æ = 0,2. Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении за одно колебание?

55. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за одну минуту уменьшилась вдвое. Во сколько раз уменьшится амплитуда за 3 минуты?

56. Математический маятник длиной 0,5 м, выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на 5 см, а при втором (в ту же сторону) – на 4 см. Найти время релаксации, т. е. время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз, где е – основание натурального логарифма.

57. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 10 м/с. Амплитуда колебаний точек шнура А = 5 см, период колебаний Т = 1 с. Записать уравнение волны и определить длину волны, фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 9 м от источника колебаний в момент времени t = 2,5 с.

58. Смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии 4 см, в момент времени t = Т/6 (Т – период колебаний) равно половине амплитуды. Найти длину бегущей волны λ.

59. Найти разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих на расстоянии 2 м друг от друга, если длина волны λ = 1 м.

60. Движущийся по реке теплоход дает свисток частотой 400 Гц. Наблюдатель, стоящий на берегу, воспринимает звук свистка частотой 395 Гц. Принимая скорость звука 340 м/с, определить скорость движения теплохода, а также удаляется он или приближается.

61. Электропоезд проходит со скоростью 72 км/ч мимо неподвижного приемника и подает звуковой сигнал, частота которого 300 Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/с, определить скачок частоты воспринимаемый приемником.

62. Для определения скорости звука в воздухе методом акустического резонанса используется труба с поршнем и звуковой мембраной, закрывающей один из ее торцов. Расстояние между соседними положениями поршня, при котором наблюдается резонанс на частоте 2500 Гц, составляет 6,8 см. Определить скорость звука в воздухе.