Лекция № 9 (01.11.11)

Лекция № 9 (01.11.11)

2) Гипербола:

, a, b >

При a = b получается так называемая равнобочная гипербола.

Гипербола состоит из двух ветвей, каждая из которых неограниченно приближа­ется к двум прямым, называемым асимптóтами (на моём рисунке это не очень хорошо получилось). Способ нахождения асимптот (без обоснования): заменяем в каноническом уравнении 1 на 0:

− уравнения асимптот.

Определение 4. Гиперболой называется плоская фигура, которая в некоторой сис­теме координат обладает каноническим уравнением вида (3).

3) Парабола:

, p >

Определение 4. Параболой называется плоская фигура, которая в некоторой сис­теме координат обладает каноническим уравнением вида (4).

§ 3.2. Приведение уравнения кривой второго порядка к канониче­скому виду

3.2.1. Формулировка основной теоремы (теорема о кривых второго порядка)

Теорема (о кривых второго порядка). Любое уравнение второго порядка задаёт на плоскости одну из сле­дующих линий:

1) эллипс;

2) гиперболу;

3) параболу;

4) пару пересекающихся прямых;

5) пару параллельных прямых;

6) одну прямую;

7) точку;

8) пустое множество.

Более того, в первых трёх случаях после не более чем двух поворотов и одного парал­лельного переноса осей координат уравнение кривой можно привести к каноническому виду.

Эта теорема будет доказана постепенно, после применения нескольких преобразо­ваний системы координат.

3.2.2. Преобразование координат точек при повороте и параллельном пе­реносе

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F =

1) При повороте

Пусть у нас имеются в одной и той же плоскости две декартовы прямоугольные системы координат, которые мы будем называть старой и новой. Тогда каждая точка на­шей плоскости будет иметь две пары координат:

M = (x; y) – координаты точки M в первоначальной (старой) системе координат.

M = (x1; y1) – координаты точки M в новой системе координат.

В качестве первого примера совершим поворот осей координат как твёрдого тела вокруг начала координат в положительном направлении вращения (т. е. против часовой стрелки) на угол α. (Угол α может быть отрицательным, в таком случае это будет факти­чески поворот по часовой стрелке.) Тогда связь между старыми и новыми координатами каждой точки выражается, как оказывается, следующими формулами:

Эти формулы будут доказаны позже.

2) При параллельном переносе

Другой пример: перенесём оси координат параллельно некоторому вектору как твёрдое тело. Посмотрим, как будут изменяться координаты каждой точки.

= {x0, y0} – координаты нового начала в старой системе координат.

= {x1, y1} – координаты точки M в новой системе координат.

= {x, y} – координаты точки M в старой системе координат.

− изменение координат.

3.2.3. Уничтожение члена с x1y1

1. Поворот

A(x1cosα – y1sinα)2 + B(x1cosα – y1sinα)∙( x1sinα + y1cosα) + C(x1sinα + y1cosα)2 +

+ D(x1cosα – y1sinα) + E(x1sinα + y1cosα) + F =

Если мысленно раскрыть скобки, то видно, что новая левая часть также будет представ­лять собою многочлен степени не выше двух от новых переменных x1 и y1. Выпишем сум­марный коэффициент при x1y1:

B1 = −2Acosα∙sinα − Bsin2α + Bcos2α + 2Ccosα∙sinα. (*)

Мы хотим подобрать угол α так, чтобы B1x1y1 обратилось в нуль. (При этом можно счи­тать, что B ≠ 0, ибо в противном случае этот член отсутствует сразу.)

Для этого преобразуем и приравняем к нулю правую часть равенства (*):

B sin2α + 2(A − C) cosα∙sinα − B cos2α = 0; │: ‌‌‌‌‌‌‌‌cos2α

B tg2α+2(A − C) tgα − B=0.

Четверть дискриминанта = (A − C)2 + B2 > 0;

;

t1∙t2 = −1 (по теореме Viète’а).

Одно из двух чисел t1 и t2 положительно, обозначим это положительное число t0. Уравнение tgα = t0 всегда имеет решение, так что нужное нам α все­гда найдётся. Более того, т. к. t0 положительно, можно найти решение . Далее воспользуемся форму­лами тригонометрии:

1 + tg2α = ;

sinα = tgα∙cosα.

Найдем cosα и sinα и подставим в (2).

У нас получилось уравнение

A1 + C1 + D1x1 + E1y1 + F1 =

Возможны три случая:

1) ни A1, ни C1 не равны нулю (непараболический случай);

2) ровно один коэффициент из двух (или A1, или C1) равен нулю (парабо­лический случай);

3) A1 и C1 равны нулю (линейное уравнение). Этот случай полностью ис­следован нами раньше − получается либо прямая линия, либо пустое множество, либо вся плос­кость. На самом деле вся плоскость никогда не получится:

Упражнение. Докажите, что после поворота все коэффициенты уравнения (2) не могут оказаться равными нулю.

Пусть теперь A1, C1 ≠ 0 (непараболический случай). Дополним до полного квадрата:

;

аналогично

.

Подставляя в уравнение (2), имеем:

После параллельного переноса

будем иметь:

;

a, b ≠ 0, (3)

где обозначено a = A1, b = C1, f = . Рассмотрим различные случаи.

1. f = 0;

Если a и b имеют одинакие знаки, то наше множество – точка (0, 0). Пусть a > 0, b < 0, c = −b, c > 0,

;

.

Это уравнения двух прямых линий. Выясним, могут ли они быть параллельными или сов­падающими:

≠ 0;

следовательно, n1, n2 – неколлинеарные векторы, а (*) и (**) – пересекающиеся прямые, т. к. у них есть общая точка (0, 0). То же в случае a < 0, b > 0.

2. f ≠ 0. Разделим на f:

(α, β ¹ 0).

Пусть α, β > 0,

.

1) если α £ β, то , и последнее уравнение есть каноническое уравнение эл­липса.

2) α > β – неканоническое уравнение эллипса. Повернём оси на 90° против часовой стрелки, после чего уравне­ние станет каноническим:

Пусть α > 0, β < 0;

.

Это уравнение можно переписать так:

;

–

каноническое уравнение гиперболы.

Пусть α < 0, β > 0. После поворота на 90° (см. выше) получаем уравнение

,

приводящееся, как и выше, к каноническому уравнению гиперболы.

Если же α < 0 и β < 0, то получаем пустое множество.