Наименование дисциплины: Дифференциальные уравнения

Направление подготовки: 011800 Радиофизика

Профиль подготовки: Телекоммуникационные системы и технологии

Квалификация (степень) выпускника: бакалавр

Форма обучения: очная

Автор: к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры дифференциальных уравнений .

1. Дисциплина "Дифференциальные уравнения" обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным стандартом, содействует фундаментализации образования, формированию культуры аналитических вычислений в рамках цикла аналитических дисциплин. Целью преподавания дисциплины является ознакомление слушателей с идеями и методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Дисциплина "Дифференциальные уравнения" входит в цикл Б2. дисциплин, которые обеспечивают овладение аналитическими и численными методами, необходимыми для подготовки специалиста-радиофизика. Она основывается на знаниях полученных слушателями при изучении дисциплин "Математический анализ", "Алгебра". Знания и навыки, полученные при изучении дисциплины "Дифференциальные уравнения", используются при изучении общепрофессиональных дисциплин, а также ряда специальных дисциплин.

3. В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать:

теоремы существования решений начальной задачи, теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных условий и параметров, общие свойства линейных уравнений и систем, теоремы об устойчивости по первому приближению.

Уметь:

решать линейные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, исследовать устойчивость решений таких уравнений, владеть элементарными приемами интегрирования дифференциальных скалярных уравнений первого порядка, дифференцировать решения по начальным условиям и параметрам

Владеть:

основными приемами для аналитического, качественного, численного анализа дифференциальных уравнений.

4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144 часа.

5. Содержание дисциплины:

№ п/п

Раздел дисциплины

1

Понятие дифференциального уравнения; поле направлений; решения; интегральные кривые; векторное поле; фазовые кривые.

2

Элементарные методы интегрирования: урав| нения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель, линейное уравнение, уравнение Бернулли, метод введения параметра, уравнения Лагранжа и Клеро.

3

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Существование и единственность решения задачи Коши для однородного уравнения. Неоднородное уравнение.

4

Линейное однородное уравнение второго порядка. Линейно независимые решения. Определитель Вронского, формула Лиувилля. Неоднородные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной.

5

Колеблющиеся решения. Теорема Штурма. Теорема сравнения. Некоторые применения теорем сравнения.

6

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

7

Линейное неоднородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Функция Коши. Решение неоднородных уравнений со специальной правой частью. Метод комплексных амплитуд.

8

Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.

9

Линейные неоднородные уравнения второго порядка. Вынужденные колебания. Синусо - идальная внешняя сила. Резонанс. Амплитудные кривые.

10

Линейные системы с постоянными коэффициентами.

11

Матричная экспонента. Структура решений системы с постоянными коэффициентами. Оценка матричной экспоненты. Поведение решений при больших временах.

12

Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения первого порядка и для системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка.

13

Существование и единственность решения. Зависимость решений от начальных условий и параметров.

14

Линейные неоднородные системы

15

Краевые задачи

16

Фазовая плоскость линейной двумерной автономной системы. Классификация особых точек.

17

Особые точки. Фазовая плоскость.

18

Устойчивость решений линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Критерий Рауса - Гурвица.

19

Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

20

Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости.

21

Метод малого параметра

22

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

6.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

а) основная литература:

1.  Федорюк дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1980, 352с.

2.  Филиппов задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1987.

б)дополнительная литература:

1.Понтрягин дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1974, 331с.

2., , Свешников уравнения. – М.: Наука, 1985, 231с.

3.Эльсгольц уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1965, 424с.

4. Арнольд дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1984.

5.Смирнов высшей математики. Т. 2.- М.: Наука, 1974.

6.Куликов  и упражнения по курсу Дифференциальные, интегральные 

уравнения  и элементы вариационного  исчисления: метод. указания / 

Яросл.  гос. ун-т им. П. Г. Демидова. Ярославль: 2008. - 42 с.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы

Математические программы: Matlab, Matcad, Mathematica.