Метод наименьших квадратов (стр. 2 )

Решая систему, находим

Следовательно, уравнение искомой прямой

Вычислим теперь для исходных значений расчетные значения и занесем полученные результаты в таблицу (столбец )

Найдем и занесем результаты в таблицу (столбец ).

Вычислим сумму квадратов отклонений

.

2. Индивидуальные задания

Задание 1 (для студентов экономических специальностей)

Вариант	З а д а н и е
1	В таблице приведены данные численности занятого населения (х, млн.) и валового выпуска продукции (у, у. е.). хi 80 82 83 84 85 86 88 89 90 91 уi 32 34 35 36 36 37 38 40 39 40 В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии методом наименьших квадратов. Спрогнозировать валовой выпуск продукции в случае, если занятое население увеличится на 10% по сравнению с последними данными (90 млн.)
2	В таблице приведены данные об уровне безработицы (х) и уровне преступности (у) в некотором населенном пункте. хi 0,5 1,2 2 3,1 4 5,2 5,9 6,1 6,2 6,3 уi 4,25 4,32 4,4 4,51 4,6 4,72 4,79 4,9 5,0 5,2 В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии методом наименьших квадратов. Спрогнозировать уровень преступности в случае, когда безработица отсутствует.
3	В таблице приведены данные о динамике темпов прироста курса акций (y, в %) за определенный период (t – одна неделя). ti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 уi 10,2 8,3 5,4 4,1 2,2 0 -1,6 -3,9 -5,9 -7,8 В предположении, что между t и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии методом наименьших квадратов. Сделать выводы о возможной динамике темпов прироста на 12 неделе.
4	Торговое предприятие имеет сеть, состоящую из 10 магазинов, информация о деятельности которых: годовой товарооборот (у, млн. руб.) и торговая площадь (х, тыс. м2) представлена в таблице. хi 0,24 0,41 0,55 0,58 0,78 0,94 0,98 1,21 1,28 1,32 уi 19,8 38,1 41,0 43,1 56,3 68,5 75,0 89,1 91,1 91,3 В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии методом наименьших квадратов. Спрогнозировать годовой товарооборот в случае, если торговая площадь составит ровно 1 тыс. м2.
5	Показатели по объему производства (х, у. е.) и затратам (у, тыс. руб.), взятые из отчетной ведомости предприятия за 10 месяцев, приведены в таблице. хi 2,32 2,33 2,38 2,41 2,44 2,48 2,51 2,55 2,58 2,60 уi 427 430 440 444 448 455 460 462 465 466 Полагая, что зависимость между х и у задается формулой , где b – постоянные затраты в тыс. руб., k – переменные затраты на 1 условную единицу продукции, определить параметры k и b методом наименьших квадратов. Рассчитать возможные затраты на производство в случае, если объем производства достигнет 3 у. е.
6	В таблице приведена динамика валового выпуска (у, у. е.) за последние 10 лет (x – год) хi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 уi 178 182 190 199 200 213 220 231 235 242 Предполагая линейную зависимость валового выпуска от времени, определить параметры линейной регрессии , используя метод наименьших квадратов. Получить прогноз валового выпуска на следующий год.
7	Показатели стоимости основных производственных фондов (х, млн. руб.) и среднесуточной производительности (у, тонны) приведены в таблице. хi 2,1 2,3 2,4 2,9 4,1 4,7 5,5 7,2 10,2 14,3 уi 27 29 30 35 36 44 47 55 63 73 Предполагая линейную зависимость у от х, определить параметры линейной регрессии , используя метод наименьших квадратов. Получить прогноз среднесуточной производительности при стоимости основных производственных фондов 16 млн. руб.
8	В таблице приведены данные о количестве пропусков занятий (х) студентом в течение учебного семестра и результатах (у, %) написания экзаменационного теста. хi 1 3 5 6 8 10 12 14 15 16 уi 85 75 70 60 50 40 20 10 10 5 Предполагая наличие линейной зависимости между х и у определить параметры линейной регрессии , используя метод наименьших квадратов. Получить прогноз результатов теста при отсутствии пропусков.
9	В таблице приведены данные об объемах производства (x, у. е.) некоторой компании в течение 10 месяцев и соответствующей операционной прибылью (y,тыс. руб.). хi 500 520 523 530 550 555 560 562 565 570 уi 61 66,8 67 69 74 76,7 78 79 79,3 81 В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии методом наименьших квадратов. Сделать выводы о возможной месячной прибыли, если объем производства достигнет 600 у. е.
10	В таблице приведены данные об уровне безработицы (х) и уровне преступности (у) в некотором населенном пункте. хi 0,6 1,3 2,2 3,3 4,2 5,3 6,0 6,3 6,4 6,5 уi 4,2 4,27 4,32 4,47 4,53 4,68 4,85 5,01 5,15 5,22 В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии методом наименьших квадратов. Спрогнозировать уровень преступности в случае, когда безработица отсутствует.
11	В таблице приведены данные численности занятого населения (х, млн.) и валового выпуска продукции (у, у. е.). хi 70 73 74 75 76 77 79 80 81 83 уi 219 241 250 264 265 272 281 291 309 320 В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии методом наименьших квадратов. Спрогнозировать валовой выпуск продукции в случае, если занятое население увеличится на 10% по сравнению с начальными данными (80 млн.)
12	Показатели по объему производства (х, у. е.) и затратам (у, тыс. руб.), взятые из отчетной ведомости предприятия за 10 месяцев, приведены в таблице. хi 4,25 4,3 4,4 4,42 4,45 4,5 4,53 4,55 4,6 4,62 уi 530 540 553 554 557 560 565 568 571 572 Полагая, что зависимость между х и у задается формулой , где b – постоянные затраты в тыс. руб., k – переменные затраты на 1 условную единицу продукции, определить параметры k и b методом наименьших квадратов. Рассчитать возможные затраты на производство в случае, если объем производства достигнет 3 у. е.
13	В таблице приведена сведения об объеме спроса (у, у. е.) на некоторую продукцию и цены на эту продукцию (х, тыс. руб.). хi 10 10,6 11 12 12,5 12,8 13 13,2 13,3 13,7 уi 68 64 59 52 45 42 38 37 35 34 Предполагая линейную зависимость объема спроса от цены на продукцию, определить параметры линейной регрессии , используя метод наименьших квадратов. Получить прогноз объема спроса в случае, если цена на продукцию достигнет 14 тыс. руб.
14	Показатели стоимости основных производственных фондов (х, млн. руб.) и среднесуточной производительности (у, тонны) приведены в таблице. хi 2,6 2,8 2,9 3,4 4,6 5,2 6,1 7,7 10,6 14,0 уi 19 18 20 23 26 31 37 45 53 68 Предполагая линейную зависимость у от х, определить параметры линейной регрессии , используя метод наименьших квадратов. Получить прогноз среднесуточной производительности при стоимости основных производственных фондов 2 млн. руб.
15	Торговое предприятие имеет сеть, состоящую из 10 магазинов, информация о деятельности которых: годовой товарооборот (у, млн. руб.) и торговая площадь (х, тыс. м2) представлена в таблице. хi 0,25 0,42 0,57 0,59 0,79 0,95 0,99 1,23 1,29 1,33 уi 21,9 40,1 43,2 44,3 58,3 70,6 77,2 91,2 93,2 93,4 В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии методом наименьших квадратов. Спрогнозировать годовой товарооборот в случае, если торговая площадь составит ровно 1 тыс. м2.

Задание 2 (для студентов экономических специальностей)