АНАЛИТИКО-СИНТЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД
В ОБУЧЕНИИ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Омский государственный педагогический университет, г. Омск

Среди всех методов решения задач в школьном курсе математики основную нагрузку несет синтетический метод, ибо он является составной частью решения любым другим методом.

Анализ и синтез практически неотделимы друг от друга и составляют единый аналитико-синтетический метод, но мы их рассмотрим в отдельности друг от друга, чтобы наиболее выпукло показать особенности каждого метода.

Рассмотрим суть синтетического и аналитического методов на примере задач на доказательство.

Доказательство математического предложения хМ: А(х)В(х) называется синтетическим, если оно осуществляется по следующей логической схеме: (A(x) AT)B1(x)B2(x)...Bn(x)B(x),
где Т - определенная совокупность предложений той математической теории, в рамках которой доказывается данное предложение и которой принадлежат В1(х), B2(x), ..., Bn(x), составляющих доказательство, а также суждения А(х) и В(х).

Таким образом, при синтетическом методе доказательства теоремы цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от условия теоремы к ее заключению.

К достоинствам синтетического метода следует отнести: сжатость, краткость, исчерпывающая полнота, логическая безупречность образца рассуждений. В методическом отношении синтетический метод имеет и свои недостатки: для учащихся остается неясным, как можно обнаружить такое доказательство, почему в рассуждениях поступают так, а не иначе; не аргументируется, почему нужны те или иные дополнительные построения; школьники не представляют, в каком направлении должны протекать рассуждения, так как этому методу свойственна большая неопределенность и многозначность при выборе пути доказательства теоремы. Перечисленные недостатки отрицательно сказываются на развитии у учащихся продуктивного, творческого мышления.

При аналитическом доказательстве теоремы хМ: А(х)В(х) цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Различают два вида аналитического метода: восходящий анализ (анализ Паппа), нисходящий анализ (анализ Евклида).

Восходящим анализом (совершенным анализом) называется такая разновидность аналитического метода, при которой, отправляясь от заключения, подбирают для него достаточное условие - такое суждение В1(х), что B1(x)B(x), затем подбирают достаточное условие B2(x) для B1(x), такое чтобы В2(х)B1(x) было истинным, и так далее до тех пор, пока не получат такое достаточное условие Вп(х) для Вп-1(х), что Вп(х)Вп-1(х) и Вп(х) выполняется (истинно). При этом используются как условие А(х) доказываемого предложения, так и некоторая совокупность Т связанных с А(х) и В(х) предложений данной теории, истинность которых уже была установлена.

Сущность метода восходящего анализа состоит в том, что рассуждения строятся по схеме: для того, чтобы В(х) было верно, достаточно, чтобы было верно С(х) и т. д.

Нисходящим анализом (несовершенным анализом) называют такую разновидность аналитического метода, при которой, отправляясь от заключения В(х) доказываемого предложения А(х)В(х), рассуждения ведут путем последовательного получения логических следствий: В(х)В1(х)В2(х)...Вп(х),
где Вп(х) есть предложение, истинное значение которого нам точно известно. При выведении следствий из В(х) временно допускают, что оно истинно.

При нисходящем анализе рассуждения также, как и при восходящем анализе, ведут от заключения теоремы, но подбирают уже не достаточные, а необходимые условия.

При использовании нисходящего анализа возможны два основных случая.

1. Следствие Вп(х), полученное из В(х), истинно. В этом случае об истинности доказываемого предложения А(х)В(х) ничего нельзя сказать, так как из ложного предложения может следовать и истинное. Например, из ложного предложения (а-b = b-а, а ≠ b) следует истинное предложение (( a- b)2 = (b-а)2).

Но в том случае, когда применение нисходящего анализа к доказательству теоремы хМ: А(х)В(х) приводит к следствию Вп(х), которое истинно, целесообразно попытаться обратить этот аналитический процесс рассуждений в синтетическое доказательство:

(Вп(х)А(х))Вп-1(х) ...В1(х)В(х).

В таком случае нисходящий анализ позволил нам отыскать путь синтетического доказательства.

2. Cледствие Вп(х), полученное из В(х), ложно, тогда всегда ложно и само В(х).

Этот случай нисходящего анализа используется и для доказательства от противного. Так, чтобы доказать истинность предложения А(х)В(х), преобразуют его в предложение А(х), и к доказательству последнего применяют метод нисходящего анализа. Если следствие Вп(х) окажется ложным, то этим будет доказана ложность предложения А(x), а это, в свою очередь, доказывает истинность А(х) В(х).

Примечание

1.  Методика обучения учащихся доказательству математических предложений: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 20с.

2.  Обучение учащихся доказательству теорем: учебное пособие. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 20с.