Методические указания к выполнению работы по астрономо-гравиметрическому нивелированию

Методические указания к выполнению работы

по астрономо-гравиметрическому нивелированию

Астрономо-геодезические уклонения отвеса в некоторой точке "К" можно представить в виде суммы трёх слагаемых

где - уклонение отвеса, обусловленное влиянием аномалий силы тяжести области ; - уклонение отвеса, обуслов­ленное влиянием аномалий силы тяжести области ; -угол в точке К между референц-эллипсоидом, принятым при обработке триангуляции, и общим земным эллипсоидом, относительно которого определены гравиметрические составляющие уклонения отвеса.

Принимая во внимание условие выбора областей и и то, что угол мал и изменяется от точки к точке плавно, разность между астрономо-геодезическим и гравиметрическим уклонением отве­са для любого пункта “К”, расположенного внутри области , мож­но определять методом линейного интерполирования. Прибавляя к по­лученным разностям гравиметрическое уклонение отве­са, обусловленное влиянием аномалий силы тяжести области , получим в любом пункте "К", так называемые, интерполированные укло­нения отвеса, которые можно использовать для изучения фигуре квазигеоида.

[4] разработан метод астрономо-гравиметрического нивелирования, основанный на непосредственном определении разности высот квазигеоида между пунктами А и В с известными астрономо-геодезическими уклонениями отвеса путём вычисления инте­грала вида:

где ( К, ) - интерполированное уклонение отвеса в текущей точке "К", лежащей на линии АВ; dl - элемент длины линии АВ.

Вычисление интеграла основано на использовании аcтрономо-геодезических уклонений отвеса в пунктах А и В и аномалий силы тяжести в области . После преобразований [6] получена следующая формула для вычисления превышений квазигеоида между астрономо-геодезическими пунктами методом астрономо-гравиметрического нивелирования:

где - превышение квазигеоида, полученное методом астрономо-гравиметрического нивелирования;

- высоты квазигеоида в пунктах А и В, обусловленные аномалиями силы тяжести области ;, -влияние аномалий силы тяжести области S на уклонения отвеса в пунктах А и В; , - составляющие астрономо-геодезических уклонений отвеса в пунктах А и В; 2l - расстояние между пунктами А и В.

где , - cоставляющие астрономо-геодезического уклонения отвеса в плоскостях меридиана и первого вертикала; А - ази­мут линии нивелирования.

Первый член формулы (3)

(4)

определяет превышение квазигеоида между астрономо-геодезическими пунктами А и В из астрономического нивелирования. Второй член - учитывает нелинейность изменения составляющих астрономо-геодезического уклонения отвеса от пункта к пункту и называется гравиметрической поправкой.

Гравиметрическая поправка

(5)

может быть вычислена двумя способами.

Первый способ состоит в том, что по формулам Молоденского или Стокса и Венинг Мейнеса определяют гравиметрические высоты и составляющие уклонений отвеса. Второй способ основан на примене­ния специальных палеток, позволяющих определять непосредственно саму гравиметрическую поправку методом численного интегрирования аномалий силы тяжести.

При вычислении астрономо-гравиметрического нивелирования рас­стояния между астрономо-геодезическими пунктами достигает 70-100 км, при этом распределение силы тяжести должно быть изве­стным вдоль линии нивелирования в радиусе 4l –6l.

Исследования, выполненные [5] , показали, что с учетом сферичности Земли, расстояния между астропунктами можно значительно увеличить. Ошибка гравиметрической поправки ,

обусловленная неучтенными аномалиями силы тяжести области ,

при 2 l = 1000 км не превосходит 0"I.

Для практического определения гравиметрических поправок при­меняется второй способ, основанный на использовании специальных палеток, построенных [4] , [12] , [I0] , Фан-Цзюнем [II], [7], [2] и другими, в системах криволинейных или прямоугольных координат.

Широкое применение нашла палетка, построенная в 1937 году, в системе биполярных криволинейных координат. Для точек палетки, положение которых определяется зна­чениями полуосей эллипса и гиперболы, проходящих через эту точ­ку, вычислены коэффициенты Аn влияния аномалий силы тяжести в I мгл на превышение квазигеоида между пунктами А и В.

Гравиметрические поправки с использованием эллиптической па­летки определяются по формуле:

, (6)

где горизонтальные градиенты аномалий силы тяжести в центральных зонах палетки, расположенных вблизи астрономо-геодезических пунктов А и В; - значение аномалий си­лы тяжести в точках палетки, для которых определены коэффициенте Аn .

[I2] была перевычислена эллиптическая палетка с некоторым изменением размеров центральных зон. В этом случае гравиметрические поправки в результаты астрономиче­ского нивелирования с использованием палетки вы­числяются по формуле:

. (7)

Здесь , - аномалии силы тяжести в точках палетки ао, bo, расположенных вблизи астропунктов А и В.

В 1958 году Фан-Цзюнем [II] построена палетка в прямоуголь­ной системе координат. Вся область интегрирования разбита координатными линиями на прямоугольники, в каждом из которых, аномалии силы тяжести считаются постоянными.

Коэффициенты Аn влияния аномалий силы тяжести на превы­шение квазигеоида между астрономо-геодезическими пунктами А и В вычислены по формуле:

(8)

Гравиметрические поправки с использованием прямоугольной палетки Фан-Цзюня определяются по формуле:

(9)

Для удобства вычислений гравиметрических поправок коэффициен­ты Аn выбраны равными-100»х 10-5 для прямоугольников вблизи астропунктов и 10»х 10-5 «для остальных прямоугольников. В зависимости от выбранных коэффициентов рассчитаны размеры прямоугольников, на которые разбивается область интегрирования.

Не приведена прямоугольная палетка Фан-Цзюня, на которой
сплошными линиями показаны прямоугольники с коэффициентами
Аn = 100»х10-5, а пунктирными – с Аn =10» х 10-5.

В 1952 году рассчитал палетку с разбивкой области интегрирования на квадраты ее сторонами 0,8l ; 0,4l ; 0,2l. Коэффициенты Аn этой палетки вычислены по фор­муле:

(10)

4

xi, yi – прямоугольные координаты углов квадратов палет­и, выраженные в единицах половины расстояния между астропунктами.

Гравиметрические поправки с использованием палетки вычисляются по формуле:

, (11)

где - влияние аномалий силы тяжеСТИ центральной зоны на превышение квазигеоида между пунктами А и В.

определяется с помощью круговой палетки.

В прямоугольной системе координат [10] построена прямоугольная палетка. Область интегрирования на этой палетке разбита координатными линиями на прямоугольники одинако­вых размеров за исключением центральной полосы, расположенной вдоль оси x.

Коэффициенты Аn для прямоугольников палетки вычислены по формуле (10), для центральной полосы, ввиду больших ошибок при определении углов близких к 0 или 180°, вычисления выполнены по формуле: (12)

(12)

где xj, yj - прямоугольные координаты вершин прямоугольников в масштабе половины расстояния между астропунктами А в В.

Гравиметрические поправки с использованием прямоугольной па­летки определятся по формуле:

. (13)

Наиболее удобной из палеток, построенных в системе прямоуго­льных координат, является квадратная палетка ЦНИИГАиК, рассчитанная в 1954 году [2] . Вся область интегрирования разбита на квадраты со сторонами: 0,4l ; 0,2l; 0,I l;0,05l. Размеры квадратов увеличиваются с удалением их от астрономо-геодезических пунктов. Влияние центральных зон, расположен­ных вокруг астропунктов, учитывается с помощью дополнительной палетки.

Для каждого квадрата палетки по формуле (10) вычислены коэффициенты Аn .

Гравиметрические поправки с использованием квадратной палетки ЦНИИГАиК определяются по формуле:

(13)

где - значения аномалий силы тяжести для точек ”a” и “b” палетки.

Превышения квазигеоида между двумя астропунктами методом аст-рономо-гравиметрического нивелирования с использованием квадрат­ной палетки ЦНИИГАиК определяется по формуле:

(14)

С 1969 года для вычисления превышений квазигеоида с исполь­зованием ЭВМ применяется новый способ, предложенный [13]. При применении этого способа аномалии силы тяжести учитываются в области радиуса 3l-4l вокруг каждого астропункта с помощью круговой палетки. Рабочая формула для вычисления превыше­ний квазигеоиада между двумя астропунктами имеет вид:

, (15)

где - разности слагаемых астрономо-геодезических и гравиметрических уклонений отвеса в плоскостях меридиана и пер­вого вертикала для пунктов А и В ; - разности широт и долгот астропунктов А и В.

, (16)

где S - функция Стокса в текущей точке, - функция Стокса на границе круговой области интегрирования.

В следущих параграфах подробно изложена методика выполнения задания по астрономо-гравиметрическому нивелированию с использованием квадратной палетки ЦНИИГАиК.

Общий порядок выполнения астрономо-гравиметрического

нивелирования

Выполнение астрономо-гравиметрического нивелирования заклю­чается в последовательном вычислении превышений между соседними астропунктами по результатам астрономического нивелирования (пер­вый член формулы (14) и гравиметрической поправки по гравиметри­ческим картам (второй член формулы (14).

Составляющие астрономо-геодезических уклонений отвеса в пло­скостях меридиана и первого вертикала вычисляются по разностям астрономических ( j, ) и геодезических ( B, L ) координат пунктов по формулам:

;

Длины линий и их азимуты определяются из решения обратной геодезической задачи по формулам со средними аргументами или любым другим формулам, обеспечивающим получение длины линии нивелирования с точностью до 0,1 м и азамута – до I”.

При выполнении численного интегрирования следует иметь ввиду, что аномалии силы тяжести зависят от рельефа местности. В горных и холмистых районах изоаномалы до некоторойстепени повторяют ход горизонталей. Карты аномалий силы тяжести в свободном воздухе в горах бывают очень сложными, а интерполирование по ним неточным. Поэтому аномалии силы тяжести в свободном воздухе определяются методом косвенной интерполяции, разработанным [6], [8].

Редукция Буге учитывает влияние на силу тяжести притяжения плоского бесконечного слоя , толщина которого равна нормальной высоте пункта, D-средняя плотность земной коры в исследуемом районе, - гравитационная постоянная

Аномалия Буге определяется по формуле:

Аномалия в свободном воздухе

Таким образом, с помощью палетки вычисление гравиметрических поправок в результаты астрономического нивелирования необходимо выполнять по двум картам: гравиметрической в аномалиях Буге и топографической. Для этого, сначала квадратная палетка ЦНИИГАиК, соответствующая длине линии нивелирования в масштабе карты, накладывается на гравиметрическую карту аномалий Буге так, чтобы точка А палетки совпала с началом линии нивелирования. Для квадратов палетки, расположенной вокруг палетки, расположенных вокруг точки А оцениваются значения аномалий Буге, которые записываются в ведомости для вычисления гравиметрических поправок. Последовательность выборки указана цифрами на палетке.

В ведомостях приняты следующие обозначения: в столбцы с обозначениями В+, В - записываются значения аномалий силы тяжести Буге , снятых с карты для точек и квадратов палетки, расположенных выше линии нивелирования АВ и имеющих знаки коэффициентов Аn плюс (В+) или минус (В-), в столбцы с обозначениями Н+, Н- записываются значения для квадратов и точек палетки, расположенных ниже линии нивелирования АВ и имею­щих знаки коэффициентов Аn плюс (Н+) или минус (Н-). Затем, совмещая точку В с концом линии нивелирования (расстояниее АВ палетки может отличаться от длины линии нивелирования в масшта­бе карты не более 10% длины), оцениваются значения аномалий Бу­ге для квадратов палетки, расположенных вокруг точка В. Запись значений аномалий производится аналогично порядку, рассмотренному при совмещении точки А.

Значения аномалий Буге для квадратов и точек и центральных зон вокруг астропунктов А в В оцениваются по палетке путем наложения её на гравиметрическую карту съёмка сгущения вокруг астропунктов. Значения аномалий Буге для квадратов палетки записываются в ведомость вычисления гравиметрических по­правок в раздел "центральная зона" аналогично предыдущем запи­сям, значения аномалий Буге для точек и палетки и значения аномалий в пунктах А и В записываются в столбцы с обо­значениями А, В, А, А, ,. Например, обозначение Aпоказывает, что аномалия Буге выбра­на для точки а центральное зоны, расположенной вблизи астропункта А. Последовательность выборки с карты - показана цифрами на палетке.

Гравиметрические поправка, обусловленные влиянием аномалий Буге на превышение квазигеоида между астропунктами, определяют­ся по формуле:

. (17)

Таким же путем, но уже по гипсометрической карте, определяются гравиметрические поправки, обусловленные влиянием рельефа, окружающего линию астрономо-гравиметрического нивелирования.

Гравиметрические поправки, обусловленные влиянием рельефа, окружающего линию нивелирования, вычисляются по формуле:

, (18)

где Нn - средняя высота квадрата с номером " n "; Нa, Нb - высоты, снятые с карты для точек а и b палетки.

Значение коэффициента 0,1119 получено при D=2.67г/см3, f=6.664.10 –8 см3/сек гр.

Окончательно, гравиметрическая поправка определится как сум­ма двух поправок:

. (19)

Высоты квазигеоида определяются суммированием уравненных пре­вышений, вычисленных по формуле (10), начиная от некоторого исхо­дного пункта.

Основные источники ошибок астрономо-гравиметрического нивели­рования исследованы [6], [I] , [9] и др.

получены следующие формулы для оценки точности астрономо-гравиметрического нивелирования:

(20)

Случайные ошибки в превышение квазигеоида обусловле­ны ошибками определения астрономических и геодезических координат

(21)

где (22)

- влияние ошибок геодезических координат на превышение квазигеоида; - случайные ошибки определения геодезиче­ских координат;

(23)

- влияние ошибок астрономических координат на превышение

квазигеоида; , - случайные ошибки определения астрономических координат.

Случайные ошибки в превышении квазигеоида обусловлены ошибками определения гравиметрических уклонений отвеса:

(24)

где - ошибки гравиметрического вывода уклонений отвеса, обусловленные ошибками интерполяции аномалий силы тяжести и ог­раничения области интегрирования.

Ошибки можно определить, исходя из густоты гравимет­рических съемок, по формуле [9] :

, (25)

где - ошибка интерполяции, вычисленная по формулам:

dgs =0,11 при S > 20 км,

dgs =0,11 S при S < 20 км, (26)

K - коэффициент, зависящий от рельефа местности (для равнинных районов можно принять K =1, для всхолмленных - К = 2-3, для горных - K = 4).