Прикладные методы теории случайных функций:
Учебное пособие. 3-е изд., стер.
ISBN 1168-9
Год выпуска 2011
Тираж 1000 экз.
Формат 14 ´ 21 см
Переплет: твердый
Страниц 464
Цена 669,90 руб.
В пособии изложены основные положения теории случайных функций, находящие применение в различных приложениях. Дается корреляционная теория случайных процессов, а также основы теории марковских процессов. Большое внимание уделено определению вероятностных характеристик динамических систем, на вход которых поступают случайные функции с известными характеристиками. Исследуются системы, характеризуемые дифференциальными уравнениями в частных производных. Излагаются наиболее рациональные практические приемы обработки реализаций случайных процессов. Содержание иллюстрируется большим числом примеров.
Учебное пособие предназначено для студентов математических и физических специальностей.
Предисловие
Предлагаемая книга ставит перед собой задачу помочь широкому кругу инженеров и научных работников, использующих методы теории вероятностей, овладеть прикладными методами теории случайных функций.
Поэтому целый ряд вопросов, интересных с общетеоретической точки зрения, оставлен без внимания, а математическая строгость изложения учтена только в той мере, в какой это необходимо для сознательного применения теории к различным прикладным задачам. По этой же причине в книге используется только тот математический аппарат, который изучается в общем курсе высшей математики высших технических учебных заведений.
Общий курс теории вероятностей предполагается известным читателю, однако для удобства чтения в начале книги приводится общая сводка формул теории вероятностей, используемых в дальнейшем.
Для облегчения усвоения содержания книги все основные положения теории иллюстрируются примерами, которые могут представлять и самостоятельный интерес в различных прикладных задачах (в книге рассмотрено около 100 примеров).
Таким образом, целевая направленность книги не отличается от целевой направленности первого издания «Прикладных методов теории случайных функций», выпущенного в свет в 1961 году «Судпромгизом». При переработке книги, помимо устранения всех замеченных недостатков и погрешностей, ее содержание было существенно дополнено.
Во-первых, в книгу введено рассмотрение ряда новых вопросов. Добавлена глава о марковских процессах, глава о нелинейных задачах теории случайных функций, существенно дополнена глава об экспериментальных методах определения вероятностных характеристик случайных функций. В других главах также внесено рассмотрение ряда новых вопросов: расширен параграф о случайных полях, рассмотрены некоторые нестационарные задачи теории оптимальных линейных систем, рассмотрены системы с непрерывно распределенными параметрами и др. Во-вторых, подбор примеров, число которых во втором издании значительно увеличено, производился так, чтобы по возможности охватить широкий круг задач, связанных с теорией автоматического регулирования, оценкой точности различных динамических систем и тому подобными задачами, возникающими в технике. Для того чтобы содержание примеров сделать интересным для широкого круга инженерно-технических работников, примеры, как правило, не формулируются как решение узкой задачи специального раздела техники (электроники, радиотехники и т. д.). Формулировка примеров в большинстве случаев имеет достаточно общий характер, а их прикладное содержание определяется существом решаемой задачи и методами ее решения.
Книга не содержит библиографии по теории случайных функций, а в списке литературы, приложенном в конце книги указаны только источники, обращение к которым поможет читателю получить более подробные сведения по отдельным вопросам прикладной теории случайных функций, не получившим в книге достаточно подробного освещения.
Исходя из основного назначения книги, в список литературы сознательно не включены книги по теории случайных функций, написанные для математиков и трактующие этот раздел теории вероятностей как абстрактную математическую дисциплину. Также сведены к минимуму ссылки на оригинальные работы, хотя в списке и указаны источники, содержащие достаточно подробную библиографию по теории случайных функций.
Первые четыре главы книги посвящены в основном вопросам корреляционной теории случайных процессов. Особое внимание при этом уделено методам спектральной теории, поскольку они находят особенно широкое применение в технике, в частности, при исследовании линейных систем автоматического регулирования.
Определение оптимальных динамических систем, рассмотренное в четвертой главе, производится также в рамках корреляционной теории, т. е. рассматриваются только линейные системы, а в качестве критерия оптимальности принято требование обращения в минимум дисперсии ошибки системы.
Глава пятая посвящена рассмотрению основных вопросов теории марковских процессов, представляющих существенный интерес для приложений, поскольку ряд интересных для практики вопросов, не поддающихся простому решению для случайных процессов общего вида, легко могут быть решены, если предположить, что процесс является марковским. С другой стороны, для того чтобы считать процесс марковским, достаточно допустить, что процесс является нормальным и имеет дробнорациопальную спектральную плотность, т. е. не требуется дополнительных допущений сравнительно с теми, которые обычно делаются в технике. Поэтому теория марковских процессов, существенно упрощая решение ряда задач, может найти широкое применение в приложениях.
В шестой главе рассматриваются методы исследования нелинейных динамических систем, а в седьмой главе изложены основные вопросы статистики случайных процессов. Рассматривается получение вероятностных характеристик оценок, исследуется вопрос о применении критериев согласия к статистическим законам распределения ординат случайных процессов.
Наконец, в последней, восьмой, главе кратко рассмотрены вопросы, которые также представляют интерес для приложений, но более подробное рассмотрение которых оказалось невозможным в данной книге: случайные последовательности, случайные поля, системы с распределенными параметрами и др.
Предлагаемая книга может оказаться полезной как инженерно-техническим работникам, сталкивающимся с необходимостью исследования случайных процессов при решении различных практических и теоретических задач, так и студентам старших курсов втузов ряда специальностей.
Автор выражает благодарность всем лицам, приславшим свои замечания по первому изданию книги и особенно благодарен сотрудникам Лаборатории статистических методов исследования МГУ, давшим ряд замечаний по рукописи второго издания, которые автор стремился учесть при окончательном редактировании текста книги.
Прикладные методы теории случайных функций:
Учебное пособие. 3-е изд., стер.
Оглавление
Предисловие.......... 6
Глава I. Общие свойства случайных функций .......... 9
§ 1. Теория случайных функций как раздел теории вероятностей .......... 9
§ 2. Основные обозначения и формулы теории вероятностей.......... 10
§ 3. Законы распределения и моменты случайной функции.......... 18
§ 4. Типичные задачи, решаемые с помощью теории случайных функций .......... 26
§ 5. Свойства корреляционной функции.......... 29
§ 6. Дифференцирование и интегрирование случайных функций.......... 34
§ 7. Действие линейного оператора на случайную функцию.......... 46
§ 8. Система случайных функций. Взаимная корреляционная функция .......... 59
§ 9. Задачи о выбросах: среднее число выбросов случайной функции за данный уровень, средняя длительность выброса.......... 65
Глава II. Спектральная теория стационарных случайных функций.......... 82
§ 10. Спектральное разложение стационарных случайных функций .......... 82
§ 11. Примеры вычисления спектральной плотности стационарного случайного процесса.......... 96
§ 12. Спектральная плотность линейной комбинации стационарной случайной функции и ее производных. Стационарное решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.......
§ 13. Примеры нахождения спектральных плотностей и корреляционных функций в более сложных случаях......
§ 14. Определение корреляционной функции решения неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при нестационарной правой части.......
§ 15. Линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами.......
§ 16. Вероятностные характеристики решений системы линейных уравнений.......
Глава 111. .Метод огибающих.......
§ 17. Идея метода огибающих и вывод общих формул.......
§ 18. Применение метода огибающих в случае узкополосного спектра .......
Г лава IV Определение оптимальных линейных динамических систем.......
§ 19. Постановка задачи определения оптимальных динамических систем .......
§ 20. Общее решение задачи определения оптимальной динамической системы, осуществляющей операцию сглаживания, экстраполирования и дифференцирования.......
§ 21. Расчетные формулы для определения оптимальной передаточной функции динамической системы в случае дробно-рациональных спектральных плотностей сигнала и помехи.......
§ 22. Расчетные формулы для оптимальной передаточной функции динамической системы с запаздыванием......
§ 23. Оптимальное сглаживание, упреждение и дифференцирование при конечном времени наблюдения.......
§ 24. Примеры нахождения оптимальных динамических систем при конечном времени наблюдения.......
§ 25. Простейшие нестационарные задачи.......
§ 26. Оптимальные многоканальные динамические системы.......
Глава V. Основы теории марковских процессов .......
§ 27. Определение и общие свойства марковских процессов.......
§ 28. Уравнения Колмогорова.......
§ 29. Решение уравнений Колмогорова для простейших случаев .......
§ 30. Определение вероятности достижения границ и закона распределения времени пребывания случайной функции вне заданной области .......
§ 31. Многомерные марковские процессы.......
§ 32. Замена реальных процессов марковскими.......
Глава VI. Нелинейные методы теории случайных функций.......
§ 33. Особенности исследования нелинейных динамических систем 306
§ 34. Определение закона распределения случайной функции на выходе линейной части системы.......
§ 35. Приводимые нелинейные системы.......
§ 36. Примеры приводимых нелинейных систем.......
§ 37. Нелинейные системы с обратной связью.......
§ 38. Метод статистической линеаризации.......
§ 39. Применение теории марковских процессов к исследованию нелинейных систем.......
Глава VII. Экспериментальные методы определения характеристик случайных функций.......
§ 40. Общие принципы нахождения оценок. Оценка математического ожидания.......
§ 41. Оценка корреляционной функции.......
§ 42. Оценка спектральной плотности.......
§ 43. Оценка закона распределения ординаты стационарно: и процесса .......
Глава VIII. Некоторые дополнительные вопросы теории случайных функций.......
§ 44. Случайные последовательности.......
§ 45. Случайные функции нескольких переменных (случайные поля) .......
§ 46. Вычисление вероятностных характеристик динамических систем с непрерывно распределенными параметрами.......
§ 47. Канонические разложения случайных функций.......
