C-ИНТЕГРИРУЕМЫЕ И S-ИНТЕГРИРУЕМЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ПАРЫ ЛАКСА И ВСЁ ТАКОЕ.
Новосибирский государственный технический университет
ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для описания физических явлений, протекающих в пространстве и времени, широко используются линейные и нелинейные эволюционные уравнения. Эти уравнения, в зависимости от физической модели, могут быть разностными, обыкновенными дифференциальными, дифференциально-разностными, дифференциальными уравнениями в частных производных и т. д. В данной статье мы ограничимся рассмотрением эволюционных дифференциальных уравнений в частных производных, которые в случае
1+1 – измерений имеют вид:
u t = F ( u, u x, u xx, … ) (1)
или
u tt = F ( u, u x, u xx, … ) (2)
здесь u t : = ¶u /¶ t , u x : = ¶u / ¶ x и т. д.
Для эволюционных уравнений можно поставить и решать задачу Коши. Так для уравнения (1) постановка задачи Коши выглядит следующим образом :
дано u ( x, t = 0 ) = f(x) , найти u( x, t ) при t > 0 ;
а для уравнений типа (2) задача Коши ставится так :
даны u ( x, t = 0 ) = f 1 ( x ) , u t ( x, t = 0 ) = f 2 ( x ) , найти u ( x, t ) при t > 0.
Отсюда и происходит название – эволюционные уравнения : по начальным данным при t = 0 ищется решение в более поздний момент времени t > 0.Помимо задачи Коши можно решать так называемые краевые задачи и искать также классы точных (частных) решений указанных уравнений.
Приведём несколько примеров линейных и нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в частных производных. Для простоты ограничимся случаем 1+1--измерений (одна временная и одна пространственная координаты).
Линейные эволюционные дифференциальные уравнения :
· Волновое уравнение
u tt - u xx =
· Уравнение теплопроводности
u t - u xx =
· Нестационарное уравнение Шредингера для свободной частицы
i u t + u xx =
· Нестационарное уравнение Шредингера для частицы в потенциальном
силовом поле V (x ) :
i u t + u xx + V (x) u =
В общем случае линейное дифференциальное уравнение будем записывать в виде :
L ( u ) = 0 , (5)
где L – некоторый линейный дифференциальный оператор, составленный из производных ¶ t, ¶ x , ¶ xx , …, здесь и ниже ¶ t := ¶ / ¶ t, ¶ x = ¶ / ¶ x и т. д.
Для линейных уравнений справедлив линейный принцип суперпозиции: любая линейная комбинация двух произвольных решений линейного уравнения (7) также является решением этого уравнения. Перечисленные выше линейные эволюционные уравнения являются фундаментальными уравнениями математической физики, он универсальны и играют очень важную роль при описании широкого круга физических явлений.
Нелинейные эволюционные дифференциальные уравнения :
· Уравнение Бюргерса
u t - u xx - 2 u u x =
· Уравнение Кортевега де Фриза (КдФ)
u t + u xxx + 6 u u x =
· Модифицированное уравнение Кортевега де Фриза (мКдФ)
u t + u xxx + 6 u u x =
· Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ)
i u t + u xx ± 2 êu ô u =
· Уравнение синус-Гордон (СГ)
u tt - u xx - sin u =
Отметим, что для решений нелинейных эволюционных уравнений линейный принцип суперпозиции не
справедлив. Перечисленные выше нелинейные эволюционные уравнения (8)--(12) также достаточно универсальны и используются для описания различных физических явлений: от гидродинамики и физики плазмы, нелинейной оптики и физики твёрдого тела до теории поля и гравитации.
В течение последних тридцати лет был развит новый метод интегрирования некоторых нелинейных эволюционных уравнений математической физики – метод обратной задачи (МОЗ). Особенно большое развитие МОЗ получил для 1 + 1– мерных уравнений. В настоящее время МОЗ развивается и успешно применяется для интегрирования уравнений и в 2 + 1 – измерениях : уравнений с одной временной (t) и двумя пространственными (x, y) переменными. Среди точных решений нелинейных эволюционных уравнений, интегрируемых МОЗ, были найдены солитоны – точные локализованные решения, обладающие замечательными свойствами:
а) при распространении в пространстве сохраняют свою форму ;
б) упруго взаимодействуют друг с другом.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ КАК УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ
ЛИНЕЙНЫХ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ
Решающим для развития МОЗ явилось представление нелинейных уравнений в виде условия совместности некоторых линейных вспомогательных задач. Например, уравнение Бюргерса (8), которое
является нелинейным обобщением уравнения теплопроводности u t - u xx = 0 , можно представить в виде условия совместности следующих двух линейных вспомогательных задач:
L1 Y = Y x - u (x, t) Y = 0 , (13a)
L 2 Y = Yt - ( u + u x ) Y = b)
Действительно, из (13) имеем для смешанных производных Y xt и Y tx следующие выражения:
Y xt = u t Y + u Y t = ( u t + u ( u + u x ) ) Y,
(14)
Y tx = ( 2u u x + u xx ) Y + ( u + u x ) u Y.
Условие совместности линейных задач (13) , очевидно, эквивалентно условию равенства смешанных производных:
Y xt = Y tx Û u t - u xx - 2 u u x = 0 , (15)
то есть эквивалентно тому, что функция u(x, t) удовлетворяет уравнению Бюргерса (8) .
Идея представления нелинейных уравнений в виде условия совместности линейных вспомога - тельных задач не нова, она пронизывает, например, всю классическую дифференциальную геометрию, где многие нелинейные уравнения теории кривых и поверхностей ещё в прошлом веке представляли как условия совместности некоторых линейных задач.
Американский математик П. Лакс придал условию совместности линейных задач удобную операторную форму, представив условие совместности в виде условия коммутативности линейных диф-
ференциальных операторов L 1 и L 2 вспомогательных линейных задач:
[ L1 , L 2 ] = 0 , (16)
где [ L 1 , L 2 ] = L 1 L 2 - L 2 L 1 -- называется коммутатором операторов L1 и L 2 . При вычислении коммутаторов от операторов очень полезны следующие легко проверяемые тождества:
[A, aB + bC] = a[A, B] + b[A, C] , [aA + bB, C] = a[A, C] + b[B, C] ;
(17)
[A, BC] = B[A, C] + [A, B]C , [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B.
Согласно правилам (17) имеем из (16) , используя линейные вспомогательные задачи (13) для
Уравнения Бюргерса
[ L 1 , L 2 ] = [ ¶ x - u , ¶ t - u - u x ] = - [¶ x , u ] - [ ¶ x, u x ] - [ u, ¶ t ] =
(18)
= - u [ ¶ x, u ] - [ ¶ x, u ] u - u xx + u t = u t - u xx - 2 u u x = 0 ,
то есть равенство нулю коммутатора операторов L 1 и L 2 означает, что функция u(x, t) удовлетворяет
уравнению Бюргерса (8). Использование лаксовой абстрактной формы (16) условий совместности оказалось очень полезным и удобным для многих вопросов, связанных с интегрируемыми методом об-
ратной задачи нелинейными уравнениями.
Начало методу обратной задачи (МОЗ) , как новому методу интегрирования нелинейных эволюционных уравнений, было положено в 1967 году в замечательной работе американских учёных Гарднера, Грина, Крускала и Миуры (ГГКМ).В этой работе нелинейное уравнение КдФ (9) было представлено в виде условия совместности двух линейных вспомогательных задач, первая из которых –
одномерное стационарное уравнение Шрёдингера с потенциалом u(x, t) , зависящим от времени как параметра :
L 1 Y( x, t ) = ( - ¶ x + u ( x, t ) - E ) Y ( x, t ) =
Потенциал u(x, t) в линейной задаче (19) ( спектральной задаче Шрёдингера ) был отождествлён авторами ГГКМ с решением уравнения КдФ (9) .
Вторая линейная вспомогательная задача должна задавать эволюцию во времени для u(x, t) , Y(x, t) , и была она выбрана в следующей форме :
L 2 Y( x, t ) = ( ¶ t - a 3 ¶ x - a 1 ¶ x - a 0 ) Y( x, t ) =
Затем в работе ГГКМ использовалось условие совместности линейных вспомогательных задач (19) и
(20) в виде равенства смешанных производных Y xt и Y tx , вычисленных из (19) и (20) различными способами. Удобнее, однако, использовать лаксову абстрактную форму условия совместности линейных задач : равенство нулю коммутатора (16) линейных операторов L 1 и L 2 этих задач. Вычисления с использованием свойств коммутаторов (17), аналогичные проведённым выше в случае уравнения Бюргерса (8) приводят к следующему оператору L 2 второй линейной вспомогательной задачи для уравнения КдФ:
L 2 = ¶ t + 4 ¶ x - 6 u ¶x - 3 u x + a 00 , (21)
где a 00 произвольная константа.
Аналогично были найдены пары Лакса и для других нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений (10) – (12). Так, например, для уранения НУШ пара Лакса -- операторы L 1 и L 2 линейных вспомогательных задач была определена в работе русских учёных – Захарова и Шабата в 1972 году, это был второй после уравнения КдФ случай, в котором удалось найти пару Лакса, после чего стало ясно, что подход работы ГГКМ – метод обратной задачи (МОЗ) – применим и к другим нелинейным уравнениям.
C-ИНТЕГРИРУЕМЫЕ И S-ИНТЕГРИРУЕМЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Ещё в 1950 году американские учёные Хопф и Коул установили, что уравнение Бюргерса (8) линеаризуется с помощью некоторой замены зависимой переменной. Эта замена как раз и задаётся первой вспомогательной линейной задачей (13) :
U Þ Y = exp ( ò d x u ( x, t ) ) , u = Y x / Y . (22)
Формулы (22) представляют собой прямое и обратное преобразования Хопфа-Коула. С помощью преобразования (22) уравнение Бюргерса (8) линеаризуется ; в самом деле, имеем, используя (22) :
u xx = ( Yx / Y ) xx , 2uu x ( Y x / Y ) x, u t = ( Y x / Y ) t = ( Y t / Y ) x,
(23)
Þ ( Y t / Y ) x = ( Y x / Y ) xx + ( Y x / Y ) x Þ Y t / Y = ( Y x / Y ) x + Y x / Y Þ Y t = Y xx.
Таким образом, в результате применения преобразования Хопфа-Коула получается уравнение теплопроводности. Отметим, что совместное использование преобразования Хопфа-Коула и уравнения Бюргерса приводит ко второй линейной вспомогательной задаче (13б); действительно из (13а) и (22) следует :
Y t = Y ( ò d x u t ( x, t ) ) = Y ò d x ( u x + u ) x = ( u + u x ) Y, (24)
то есть получается вторая линейная вспомогательная задача (13б) .
С помощью преобразования Хопфа-Коула задача Коши для уравнения Бюргерса решается по следующей схеме :
u ® Y = exp ( ò dx u (x, 0 ) )
u(x,0) Y(x,0)
(1)
(2) Y t = Y xx
 |
u = Y x / Y
u (x, t) Y(x, t)
(3)
На первом этапе выполняется преобразование Хопфа-Коула к новой зависимой переменной Y(x,0) при
t = 0. Затем на втором этапе решается задача Коши для уравнения теплопроводности Y t = Yxx, наконец, на последнем, третьем, этапе обратным преобразованием Хопфа-Коула находится решение уравнения Бюргерса при t > 0.
Открытие преобразования Хопфа-Коула произвело в своё время на учёных, занимающихся теплопроводностью и гидродинамикой, сильное впечатление. Возникло естественное желание отыскать
линеаризующие преобразования и для других нелинейных уравнений, представляющих физический интерес, но это оказалось непростой задачей. К настоящему времени установлено много интересных примеров нелинейных уравнений, линеаризующихся некоторыми заменами зависимых и независимых переменных ; такие уравнения получили название : C-интегрируемые -- от английского слова change – заменять.
Однако многие физически интересные нелинейные уравнения с помощью замен, аналогичных замене Хопфа-Коула, линеаризовать не удаётся. Для уравнений, интегрируемых методом обратной задачи (МОЗ) , был установлен новый тип линеаризации, основанный на спектральной теории линейных операторов, на методах обратных задач спектральной теории.
Как показали ГГКМ в своих работах, используя линейные вспомогательные задачи (19) и (21) , задачу Коши для уравнения КдФ (9) можно решать по схеме :
прямая задача рассеяния
u(x,0) ( S( t = 0 ) )
(1)
линейный закон эволюции
(25)
 |
обратная задача рассеяния
u(x, t) ( S( t ) )
(3)
На первом этапе (1) осуществляется отображение потенциала u(x,0) спектральной задачи Шредингера в набор так называемых данных рассеяния S(t = 0 ) ( или данных обратной задачи ) в начальный момент времени t = 0 . Это отображение ещё называют прямым спектральным преобразованием (Direct Spectral Transform ) . На первом этапе, в случае уравнения КдФ, фактически решается стационарное уравнение Шредингера : по потенциалу u(x,0) ищутся данные рассеяния, то есть решается прямая задача рассеяния для уравнения Шредингера.
Для данных обратной задачи ( или данных рассеяния ) имеет место простой линейный закон эволюции во времени. На втором этапе (2) по S (t = 0) простым интегрированием находится набор данных обратной задачи в момент времени t > 0 . Данные рассеяния ещё называют и данными обратной задачи, так как они задаются таким образом, что по ним возможно восстановление рассеивающего потенциала.
На последнем этапе (3) приведённой схемы решаются линейные интегральные уравнения обратной задачи или осуществляется обратное спектральное преобразование, Inverse Spectral Transform (IST) ( англоязычное название метода обратной задачи ) : по данным обратной задачи S(t) находится потенциал u(x, t) , то есть решение уравнения КдФ в момент времени t > 0 .Вся схема (25) получила название : метод обратной задачи (МОЗ) , от наименования её последнего, наиболее существенного и трудоёмкого этапа. Отметим также, что уравнения обратной задачи из третьего этапа, безотносительно к решению задачи Коши, позволяют находить широкие классы точных решений нелинейного уравнения КдФ (9).
Приведённая в (25) схема, как оказалось, работает и в случае других нелинейных уравнений, интегрируемых МОЗ. Все этапы семы сводятся к решению некоторых линейных задач : на первом этапе решается прямая спектральная задача для первой вспомогательной задачи, на втором этапе интегрируются уравнения линейного закона эволюции для данных обратной задачи, на третьем этапе решаются линейные интегральные уравнения обратной спектральной задачи для первой вспомогательной линейной задачи.
Можно сказать, что метод обратной задачи осуществляет в указанном смысле линеаризацию нелинейных эволюционных уравнений , интегрируемых МОЗ. В отличие от C – интегрируемых нелинейных уравнений, линеаризующихся подходящими заменами зависимых и независимых переменных, нелинейные уравнения, интегрируемые МОЗ, называют S-интегрируемыми (от английского слова Spectral – спектральный ) , так как схема (25) использует спектральную теорию линейных операторов.
И, наконец, ещё одно замечание терминологического характера. Часто говорят о методе обратной задачи в более узком смысле, как методе нахождения коэффициентов (потенциалов) линейных дифференциальных операторов по данным рассеяния. Метод обратной задачи в этом конкретном смысле применяется, например, в геофизике, томографии, атомной и ядерной физике, физике элементарных частиц, как метод, позволяющий по характеристикам рассеянных на изучаемом объекте волн (данным рассеяния или данным обратной задачи ) восстанавливать рассеивающие потенциалы, то есть изучать внутреннее строение Земли, внутренних органов человека, строение атомов, ядер и элементарных частиц.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной статье на конкретных примерах известных уравнений Бюргерса и Кортевега де Фриза была рассмотрена простая, но очень важная идея представления нелинейных эволюционных уравнений
в виде условия совместности некоторых вспомогательных линейных задач. Эта идея не нова, она широко использовалась в математике ещё в 19 веке. Использование вспомогательных линейных задач приводит к эффективной линеаризации нелинейных уравнений, причём, линеаризация бывает двух типов. Первый тип соответствует C – интегрируемым нелинейным уравнениям, для которых некоторая
замена зависимых и независимых переменных приводит нелинейное уравнение к эквивалентному линейному уравнению. Второй тип линеаризации более сложный, он соответствует S – интегрируемым
нелинейным уравнениям, вспомогательные линейные задачи используются при этом как средство интегрирования нелинейного уравнения с помощью спектральной теории линейных операторов. На использовании линейных вспомогательных задач основаны все современные подходы в мощном методе математической физики -- методе обратной задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1., , Теория солитонов. Метод обратной задачи. / Под ред. .—М.; Наука, 1980.
2. , Солитоны и метод обратной задачи.—М.; Наука, 1987.
3. , Эйлбек Дж., Гиббон Дж. , Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения.--М.;Мир,1988.
4.Лем Дж. Л.. Введение в теорию солитонов. –М.; Мир, 1983.
5.Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов : Сб. науч. тр./Отв. ред. ,
, —Киев; Наук. думка, 1990.
* * *
Владислав Георгиевич Дубровский, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной и теоретической физики Новосибирского государственного технического университета. Область научных интересов: теория солитонов и метод обратной задачи. Автор 35 научных работ.
АННОТАЦИЯ
Линейные вспомогательные задачи являются эффективным средством интегрирования нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений. Нелинейные уравнения часто можно представить в виде условия совместности некоторых линейных вспомогательных задач. Возможны два типа линеаризации нелинейных уравнений с использованием линейных вспомогательных задач, соответственно этому нелинейные уравнения подразделяются на C - интегрируемые и S - интегрируемые
Текст аннотации на английском языке
Linear auxiliary problems are effective tool for integration of nonlinear evolution equations. Nonlinear equations arise often as compatibility conditions of linear auxiliary problems . There are exist two types of linearization of nonlinear equations by the use of linear auxiliary problems. Nonlinear equations can be devided correspondingly on two classes : C - integrable and S – integrable.
Название статьи и фамилия автора на английском языке
C-INTEGRABLE AND S- INTEGRABLE NONLINEAR EVOLUTION EQUATIONS,
LAX PAIRS AND ALL THAT
V. G. Dubrovsky
