Задания II тура

Задания II тура

7. Анчурия и Швамбрания — две соседние страны. Однажды они не поладили в каких-то мелочах, из-за чего правительство Анчурии снизило курс швамбранского доллара до уровня анчурийских 90 центов. В ответ на это правительство Швамбрании предприняло симметричные меры — приравняло анчурийский доллар к 90 своих швамбранских центов.

Об этом узнал мистер Эврик и с анчурийским долларом в кармане отправился в Анчурию. Купил себе мороженное за 10 центов, а сдачу (90 анчурийских центов) попросил выдать швамбранским долларом. С этим долларом он пошел в Швамбранию, купил мороженное за 10 центов, а сдачу (90 швамбранских центов) взял анчурийским долларом. Затем повторил эту же операцию много раз, попеременно посещая то Анчурию, то Швамбранию.

Кто платит за все порции мороженного?

А. Буткевич

8. В некотором многозначном натуральном числе среди любых двух последовательных цифр имеется хотя бы одна двойка, среди любых трех последовательных цифр — хотя бы одна тройка, среди любых четырех последовательных цифр — хотя бы одна четверка. Каково наибольшее количество цифр может иметь это число?

И. Акулич

9. Положительные числа e, v, r, i, k, a таковы, что , Докажите, что

Евклид

10. Укажите, как из книжки, состоящей из трех листов (рис. 1), вырезать ленту Мёбиуса[1].

Рис. 1

Фольклор

11. Какое наименьшее количество квадратных корней из двоек необходимо взять в «многоэтажной» степени

чтобы значение этого выражения оказалось большим, чем 2011?

(В таких выражениях порядок выполнения операций определяется сверху вниз, например, ).

Л. Штейнгарц

12. На стороне АС равнобедренного треугольника АВС (АС = СВ) взята произвольная точка Р, а на стороне АВ — точка Q так, что ÐPQA = ÐCQB (рис. 2). Докажите, что площади треугольников ACQ и PBQ равны.

В. Произволов

[1] О ленте Мебиуса рассказано в одноименной статье журнале «Математика для школьников» № 2-2011 на стр. 29.