Сопротивление материалов (стр. 6 )

Предполагаем, что частота вынужденных колебаний достаточно далека от частоты собственных колебаний и система работает упруго. В этом случае максимальное значение изгибающего момента (изгибающего момента от динамического действия нагрузки) можно найти, используя принцип независимости действия сил,

. (7.3)

Формула (7.3) показывает, что изгибающий момент от динамического действия нагрузки равен сумме момента, вызванного статическим действием амплитуды возмущающей нагрузки , и момента от амплитудного значения силы инерции .( – изгибающий момент от единичной силы, приложенной в сечении, где расположена масса, и направленной по направлению ее возможного движения). Напряжения в конструкции от динамического действия нагрузки меняются пропорционально величине внутренних усилий.

Примечание. В частном, наиболее часто встречающемся случае, когда точка расположения массы и точка приложения динамической нагрузки совпадают, и . Тогда динамические усилия можно определить через статические усилия и динамический коэффициент :

, где .

Пример расчета системы с одной степенью свободы

Условие задачи[22]

Рис. 7.2. Балка с одной степенью свободы под действием возмущающей силы

На балку с сосредоточенной массой действует возмущающая нагрузка (рис. 7.2). Требуется построить эпюру изгибающих моментов от динамического действия нагрузки. Примем следующие исходные данные: кг, жесткость балки кН×м2, ее длина м, отношение частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний , амплитудное значение возмущающей нагрузки кН.

Решение

Найдем частоту свободных колебаний по формуле (7.1). Перемещение ищем методом Максвелла – Мора

.

Для построения эпюры изгибающих моментов приложим в точке, где расположена сосредоточенная масса, единичную силу по направлению возможного перемещения массы. В данном примере сосредоточенная масса может перемещаться только по вертикали и эпюра моментов от единичной силы показана на рис. 7.3, а. Интегрирование формулы Максвелла – Мора по правилу Верещагина дает:

=.

Рис. 7.3. Эпюры изгибающих моментов: а – от единичной силы; б – от амплитудного значения вынуждающей нагрузки F

Обратите внимание на единицы измерения величины . Подставим в формулу (7.1). Вспомним, что 1 кН = 103 Н = 103 кг×м / сек2, после подстановки массы в "кг" получим круговую частоту свободных колебаний в "сек–1":

.

Теперь определим амплитудное значение силы инерции, используя формулу (7.2). Чтобы воспользоваться этой формулой найдем величину – перемещения по направлению движения массы от амплитудного значения силы . В соответствии с методом Максвелла – Мора это перемещение

.

Эпюра от действия амплитудного значения показана на рис. 7.3, б. Перемножая эпюры и по правилу Верещагина найдем

.

Частота вынужденных колебаний согласно условию

.

Тогда амплитудное значение силы инерции по формуле (7.2)

.

Окончательная эпюра изгибающих моментов от динамического действия нагрузки, построенная с учетом формулы (7.3), показана на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Эпюра изгибающих моментов от динамического действия нагрузки

7.2. РАСЧЕТ РАМЫ (БАЛКИ) НА УДАРНУЮ НАГРУЗКУ (ЗАДАЧА № 38)

Основные определения

Влияние ударной нагрузки на напряжения и деформации конструкции оценивается с помощью динамического коэффициента , который можно определить по следующей формуле:

, (7.4)

где h – высота падения груза, – вертикальное перемещение точки приложения груза при статическом его приложении.

Формула (7.4) является достаточно грубой оценкой влияния ударной нагрузки, т. к. она получена с использованием ряда упрощающих задачу допущений. Одним из этих допущений является предположение о том, что материал конструкции в момент удара работает в упругой стадии (подчиняется закону Гука). Зная динамический коэффициент, можно найти динамические (возникающие под действием ударной нагрузки) напряжения в конструкции по формуле

, (7.5)

где – напряжения от статического (медленного) приложения нагрузки. В раз (справедлив закон Гука) увеличиваются и деформации конструкции от ударной нагрузки по сравнению со статическими деформациями.

В процессе вычисления напряжений по (7.5) необходимо следить, чтобы полученные динамические напряжения не превосходили величину предела пропорциональности материала, т. к. в этом случае пользоваться формулой (7.4) нельзя. Если все же динамические напряжения оказались больше предела пропорциональности, необходимо предусмотреть конструктивные меры по увеличению статического перемещения, например, сделать опорные закрепления балки (рамы) податливыми, поставив специальные прокладки. Увеличение приведет к уменьшению динамического коэффициента[23].

Пример расчета рамы на ударную нагрузку

Условие задачи

Рис. 7.5. Рама под действием ударной нагрузки

На раму, показанную на рис. 7.5, падает груз Q с высоты . Вес груза , поперечное сечение рамы – двутавр № 20. Требуется найти максимальные нормальные напряжения в опасном сечении рамы и прогиб в точке удара от ударного действия нагрузки.

Решение

Чтобы определить динамический коэффициент по формуле (7.4), необходимо найти прогиб точки С (точки приложения нагрузки Q) от статического действия нагрузки. Найдем этот прогиб, используя метод Максвелла–Мора и интегрируя формулу Максвелла–Мора с помощью правила Верещагина. Для этого построим эпюры изгибающих моментов от нагрузки Q (рис. 7.6, а) и от единичной силы, соответствующей искомому перемещению (рис. 7.6, б). Перемножим эти эпюры по правилу Верещагина:

.

Подставляя величину жесткости для двутавра № 20, сосчитаем прогиб в "см"

Рис. 7.6. Эпюры изгибающих моментов: а – от веса груза Q; б – от единичной силы

.

Найдем динамический коэффициент по формуле (7.4)

.

Определим максимальные нормальные напряжения в опасном сечении от статического действия нагрузки. В рассматриваемом примере несколько равно опасных сечений с изгибающим моментом . Максимальные статические напряжения равны

.

Динамические напряжения от действия ударной нагрузки увеличатся согласно формуле (7.5) в раз.

.[24]

Во столько же раз увеличится и динамический прогиб:

.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1.  , , Державин материалов. М.: Высш. шк., 1995.

2.  Гастев курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977.

3.  , Шпиро материалов. М.: Высш. шк., 1989.

4.  Сопротивление материалов и основы строительной механики: Метод. указания и схемы заданий к расчетно-проектировочным работам для студентов всех специальностей / СПбГАСУ; Сост: И. А. Куприянов, Н. Б. Левченко; СПб., 1999.

5.  Сопротивление материалов: Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ. Ч. 1. / Н. Б. Левченко, Л. М. Каган-Розенцвейг, И. А. Куприянов, О. Б. Халецкая; СПбГАСУ; СПб., 2001.

6.  Сопротивление материалов: Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ. Ч. 2. / Н. Б. Левченко; СПбГАСУ; СПб., 2001.

Дополнительная

7.  . Сопротивление материалов. М.: Наука, 1970.

8.  Строительная механика. Ред. М.: Высш. шк., 1976.

9.  Иванов машин. М.: Высш. шк., 1998.

СОДЕРЖАНИЕ

Общие указания по выполнению расчетно-проектировочных работ.....................

Используемые обозначения.......................................................................................

5. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ.......................................................................

5.1. Расчет балки, подверженной косому или пространственному изгибу................................................................................................................................

Пример расчета балки при пространственном изгибе (задача № 28)............................................................................................................

5.2. Внецентренное растяжение-сжатие стержней большой жесткости..............................................................................................................................

5.2.1. Определение моментов инерции сложных сечений относительно главных центральных осей (задачи № 29, 30, 31).................................................

Примеры решения задач................................................................................

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии..................................................................................................................

Пример 2. Определение моментов инерции несимметричного сечения.......

5.2.2. Определение грузоподъемности жесткого стержня моносимметричного сечения при внецентренном растяжении-сжатии(задача № 29)...................

5.2.3. Определение грузоподъемности внецентренно сжатых жестких стержней несимметричных сечений (задачи № 30, 31)..........................................

5.3. Общий случай сложного сопротивления.....................................................

Примеры решения задач......................................................................................

5.3.1. Расчет стержня в общем случае сложного сопротивления (задача № 32)...............................................................................................................

5.3.2. Расчет коленчатого вала на изгиб с кручением (задача № 33).............

Пример расчета коленчатого вала....................................................................

6. УСТОЙЧИВОСТЬ................................................................................................

Примеры решения задач.............................................................................................

6.1. Определение грузоподъемности центрально-сжатого стержня (задача № 34)..............................................................................................................

6.2. Подбор сечения центрально-сжатого стержня (задача № 35).....................

Пример 1...............................................................................................................

Пример 2................................................................................................................

6.3. Расчет гибкого сжато-изогнутого стержня (задача № 36)...........................

Пример расчета гибкого сжато-изогнутого стержня..........................................

7. РАСЧЕТ НА ДИНАМИЧЕСКУЮ НАГРУЗКУ...............................................

7.1. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы (задача № 37).............................................................................................................

Пример расчета системы с одной степенью свободы

7.2. Расчет рамы (балки) на ударную нагрузку (задача № 38)...........................

Пример расчета рамы на ударную нагрузку........................................................

Список литературы...............................................................................................

Нина Борисовна Левченко

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Часть 3

Редактор

Корректор

Компьютерная верстка

ЛР № 000 от 24.12.96

Подписано к печати.2002. Формат 60х84 1/16. Бум. офсетная.

Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж 500. Заказ. "С"

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный

университет. Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.

Отпечатано на ризографе. Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.

[1] Сечение может иметь произвольную форму, но должно быть однородным по материалу.

[2] Поскольку касательные напряжения от поперечных сил не учитываем, допустимо строить только эпюры изгибающих моментов.

[3] Эта часть задачи носит академический характер.

[4] Отметим, что для балки прямоугольного сечения отношение является известной величиной.

[5] Эпюру М1 от горизонтальной единичной силы, направленной вдоль оси y, можно не строить, т. к. она такая же, как от вертикальной единичной нагрузки.

[6] При составлении уравнения нейтральной линии не забывайте учитывать знаки изгибающих моментов в рассматриваемом сечении. В данной задаче оба момента положительны.

[7] При внецентренном растяжении-сжатии знак изгибающего момента можно определить и по-другому. А именно, и следует считать координатами точки приложения силы и, следовательно, учитывать их знаки. С учетом знаков надо брать и величины сил, принимая, что растягивающие силы – положительны, а сжимающие – отрицательны. На рис. 5.9 обе координаты точки приложения силы положительны. У сжимающей силы на рис. 5.9 координата , .

[8] Не забывайте правильно подставлять единицы измерения. Множитель перед в данном примере имеет размерность см-2.

[9] Допускается координаты точки в главных осях не вычислять, а только измерять на рисунке.

[10] Вообще говоря, для проверки прочности стержней круглого и прямоугольного сечений нет необходимости в точном определении положения опасных точек, но в учебных целях для понимания используемых формул мы все же найдем положение этих точек.

[11] Касательные напряжения, вызванные действием поперечных сил, в круглом сечении из-за сложности их точного определения в опасных точках и малости их величины допускается не учитывать.

[12] На рис. 5.28, б показано направление оси х, важное для определения знаков поперечных сил, его необходимо сохранять для всех участков. Начало отсчета х для определения внутренних усилий в произвольном сечении стержня удобно помещать в начале каждого участка.

[13] Задача предложена .

[14] В [4] ошибочно предлагается принять [s] = 25 МПа.

[15] Расчетным считаем правый кривошип, т. к. в нем крутящий момент не равен нулю.

[16] Поскольку при изучении курса сопротивления материалов для обеспечения прочности студенты используют расчет по допускаемым напряжениям, то нельзя брать значения коэффициентов продольного изгиба из таблиц, приведенных в современных СНИПах, где используется другой подход к проверке прочности.

[17] Материалу сталь С235 соответствует в таблице сталь Ст.3, стали С275 – Ст.5.

[18] При выполнении расчетно-проектировочной работы студенту предлагается условно принять площадь ослаблений, составляющую 15% от полной площади.

[19] Заметим, что, если в сортаменте выбрать уголок с более толстой полкой, но с примерно такой же площадью, например, уголок 160´12 (Ауг = 37,4 см2), минимальный радиус инерции сечения из двух таких уголков будет imin = 6,23 см и гибкость стержня будет на 13% больше, чем для уголка 180´11.

[20] Для сечений из прокатных профилей добиться желаемой экономичности (подобрать сечение так, чтобы расчетное напряжение отличалось от допускаемого не больше, чем на 5 %) не всегда удается, т. к. размеры сечения имеют дискретные значения.

[21] Как обычно, пренебрегаем горизонтальным перемещением точек оси балки и, считая массу сосредоточенной, ее поворотом.

[22] Задача предложена .

[23] Попытки уменьшить динамические напряжения, увеличив размер сечения, не проносят нужного эффекта, т. к. при увеличении размера сечения увеличивается жесткость, статический прогиб уменьшается, а динамический коэффициент увеличивается.

[24] Видно, что динамические напряжения не превосходят предела пропорциональности sпц = 200 МПа, и материал работает упруго.