Указания, ответы, решения.
2. Пусть средняя линия соединяет середину К стороны АВ и середину М стороны СD. Рассуждая от противного, докажите, что если стороны АВ и СD не параллельны, то SDAКD ¹ SDКBC..
3.. Обозначим буквой О точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD и буквами Е и F основания перпендикуляров, опущенных на диагональ ВD из вершин А и С соответственно (рис.).
| DBCD и DABD имеют согласно условию равные площади и общее основание BD. Это означает, что точки А и С равноудалены от прямой ВD, т. е. АЕ=СF. Прямоугольные треугольники имеют равные острые углы (ÐЕОА=ÐFOC) и равные катеты (АЕ=СF). Значит, эти треугольники равны и, в частности, равны их гипотенузы АО=СО. Точно также доказывается, что ВО=DO, т. е. диагонали точкой пересечения делятся пополам и ÞABCD-параллелограмм. |
4. Покажите, что площадь объединения трех фигур А, В, С равна 
.
Если требование задачи не выполняется, то эта величина будет больше 6.
5. Разрежьте клетчатую бумагу на клетки, сложите все клетки на одну. С помощью таких параллельных переносов на одну выделенную клетку все кусочки фигуры, которые получились в результате ее пересечения со всеми клетками. Возьмите на выделенной клетке точку, не занятую кусочками нашей фигуры, и рассмотрите параллельный перенос, переводящий эту точку, в узел клетки.
| 6. Рассмотрим фигуру, состоящую из всех точек, удаленных от квадратика со стороной 1 на расстояние не больше 1 (рис.). Ясно, что круг радиуса 1, центр которого расположен вне этой фигуры, не пересекается с квадратиком. Площадь такой фигуры равна p+5. Центр нужного круга должен также находиться на расстоянии больше 1 от сторон большого квадрата, т. е. внутри квадрата со стороной 13. Ясно, что 20 фигур площадью p+5 не могут покрыть квадрат со стороной 13, т. к. 20(p+5)<132. Круг с центром в непокрытой точке обладает требуемым свойством. |
7. Приклеим фигуру к клетчатой бумаге произвольным образом, разрежем бумагу по клеткам и сложим их в стопку, перенося их параллельно и не переворачивая. Спроецируем эту стопку на клетку. Проекции частей фигуры не могут покрыть всю клетку, так как их площадь меньше. Вспомним теперь, как была расположена фигура на клетчатой бумаге, и сдвинем клетчатую бумагу параллельно, чтобы ее вершины попали в точки, проецирующиеся в какую-либо непокрытую точку. В результате получим искомое расположение фигуры.
8. Примем площадь стола за единицу. Отметим те 7 журналов, у которых площадь соприкосновения со столом наименьшая. Докажем, что общая площадь соприкосновения остальных 8 журналов со столом не менее 8/15. Если это не так, то найдется журнал, имеющий площадь соприкосновения со столом меньше 1/15. Площадь соприкосновения для 7 отмеченных журналов должна быть больше 7/15, т. е. среди них найдется журнал, для которого площадь соприкосновения со столом больше 1/15, что противоречит выбору 7 отмеченных журналов. Уберем теперь 7 отмеченных журналов, а остальные положим на прежние места. Так как площадь соприкосновения может только увеличиться, они будут закрывать не менее 8/15 площади стола.
Содержание
Площади. Принцип Дирихле для площадей.
