УДК 517.977
Е. В. ЕЛАЕВ
(ПМ – ПУ, СПбГУ, г. Санкт-Петербург)
О расчете допусков в ускорителе заряженных частиц.
В работе предлагается методика поиска и определения допусков на параметры ускоряющей структуры. Основываясь на аналитическом представлении функционала качества, находятся допуски, в пределах которых структура обеспечивает требуемые характеристики пучков заряженных частиц. Проводится статистический анализ полученных результатов.
Введение
При проектировании любой технической системы возникает необходимость в расчете допусков на те или иные параметры системы [1-5]. В работе рассматривается расчет допусков на геометрические параметры ускорителя с трубками дрейфа. В докладе исследуются функционалы, характеризующие динамику пучка ускоряемых частиц. На основе аналитического представления вариации рассматриваемых функционалов производится расчет допусков на параметры структуры, при этом качество функционирования системы в пределах поля допусков должно удовлетворять заранее заданному критерию. В работах , [5] и других авторов были разработаны методы расчета допусков на параметры технических систем. Проблемам расчета допусков в ускоряющих и фокусирующих структурах посвящены работы и его учеников [1,3,4,7]. В этих работах были разработаны методы расчета допусков на основе аналитического представления вариации различных функционалов.
Методика нахождения допусков.
Постановка задачи. В докладе рассматривается задача нахождения допусков на геометрические параметры ускорителя с трубками дрейфа. Для аппроксимации напряженности поля на оси ускорителя воспользуемся моделью квадратной волны, при этом амплитуда напряженности поля постоянна в зазорах и равна нулю в трубках дрейфа. Уравнения, описывающие динамику пучка частиц, имеют следующий вид [4]:
| (1) |
| (2) |
| (3) |
| (4) |
,
где 
– приведенная энергия;
– фаза частицы; 
– приведенная продольная координата; 
– длина волны ускоряющего поля; 
– приведенный радиус пучка; 
– расходимость пучка; 
– безразмерная кусочно-постоянная функция, определяющая напряженность поля вдоль оси 
|
Здесь 
– точки разбиения промежутка такие, что 
, 
– фиксированное неотрицательное целое число. Уравнения (1), (2) описывают продольное движение заряженных частиц, а (3), (4) – соответственно радиальное. Допуски будем определять на параметры , которые являются координатами трубок дрейфа.
Введем в рассмотрение функционалы качества 
, характеризующие качество функционирования системы в зависимости от параметра 
| (5) |
|
Здесь 
– сечение пучка траекторий, соответствующих управляющим параметрам 
и 
; 
, 
– средние энергия и фаза. Функционал 
характеризует продольное движение заряженных частиц, функционал 
– радиальное.
Известны номинальные значения параметров 
). Требуется по заданному 
определить допуски 
, где 
, такие, что
при 
, 
, и провести статистический анализ полученных значений допусков.
Определение допусков. При расчете допусков методами теории чувствительности предполагается, что отклонения значений параметров от номинальных малы и что изменения параметров в пределах поля допуска являются линейными. Тогда полное приращение функционала качества 
можно заменить его вариацией [5]
| (6) |
.Для определения допусков будем использовать принцип равных влияний [5], который предполагает, что изменение каждого входного параметра на выходную величину влияет одинаковым образом. В этом случае формула для расчета допусков будет иметь следующий вид:
| (7) |
Для нахождения допусков при используется следующее представление коэффициентов чувствительности [4]:
| (8) |
Величины 
, 
, 
, 
, 
находим, решая следующую сопряженную систему дифференциальных уравнений:
| (9) |
с конечными условиями
| (10) |
При этом учитывается импульсное воздействие на элементы сопряженной системы в точках разрыва управления 
[4] .
Результаты. Был проведен расчет допусков на параметры системы 
, 
в пределах которых отклонение функционала качества 
, не превысит 5%. Так же были найдены допуски, при которых значение функционала изменится не более чем на 5%.
Для того чтобы получить единую систему допусков, в пределах которой отклонение функционалов качества 
и, характеризующих как продольное, так и радиальное движение не будет превосходить 5%, примем допуск на каждый параметр структуры, равным наименьшему из полученных допусков (см. рис. 1).
Рис. 1. Значения допусков, при которых отклонение функционалов качества и не превысит 5%.
Метод статистического анализа. Оценим поведение ускоряющей и фокусирующей структуры в пределах поля допусков, определяемых из аналитических формул для градиента исследуемых функционалов (см. рис. 1). Пусть 
– случайная величина, распределенная по нормальному закону с квадратичным отклонением 
и математическим ожиданием 
. Далее не будем учитывать взаимную корреляцию случайных величин 
, считая их независимыми. Напомним, что 
являются расчетными параметрами системы.
Воспользуемся правилом трех сигм для определения допусков. Пусть
, где 
определяется формулой (7). Смоделируем для каждой случайной величины 
ее нормальное распределение с математическим ожиданием 
и квадратичным отклонением , .
Статистическое моделирование реализуем следующим образом:
· генерируем значения случайных величин 
;
· моделируем динамику движения пучка заряженных частиц с новыми значениями управляющих параметров и находим соответствующее этой динамике значение фукнционала качества , который также полагаем случайной величиной;
· после реализации 
, таких опытов (при моделирование осуществлялось =500 опытов) получаем выборку 
значений для функционала и находим квадратичное отклонение
| (11) |
где 
– математическое ожидание.
В случае, если найденное таким образом квадратичное отклонение 
меньше изначально заданного отклонения функционала 
, то допуски 
можно увеличить до того момента, пока и не будут сопоставимы, если же больше , то соответственно допуски можно уменьшить.
Статистический анализ полученных результатов. Статистический анализ показал, что поле допусков, найденное ранее по аналитическим формулам, можно увеличить. А именно, при увеличении в 3,7 раза отклонение функционала качества для радиального движения составит 4,79%. Соответственно, при расширении поля допусков продольного движения в 3,2 раза отклонение функционала качества составит 4,67%. Полученные отклонения функционалов качества при таких допусках сопоставимы с первоначально заданным отклонением в 5%.
Таким образом, статистический анализ позволил увеличить допуски на параметры системы, при которых функционалы качества не превышают заранее заданных величин (см. рис.2). Следует отметить, что аналитический подход к определению допусков, позволил нам определить форму поля допусков, приведенных на рис.1.
Рис. 2. Значение допусков, после статистического анализа.
Заключение
В работе была исследована методика определения допусков, соединяющая в себе как поиск допусков с использованием аналитического представления вариации функционала, так и статистический анализ полученных значений допусков, на примере радиального и продольного движения заряженных частиц в ускорителе с трубками дрейфа.
В работе представлены алгоритмы данной методики. В среде MATLAB написана программа, реализующая данные алгоритмы. Был проведен расчет допусков и их статистический анализ. В результате расчетов была получена распределенная система допусков на параметры ускорителя.
Следует отметить, что для различных ускоряющих и фокусирующих структур, для различных задач физики пучков анализ поля допусков является актуальной и важной задачей. В работах [6-10] были получены аналитические выражения для вариации функционала как для непрерывных, так и для дискретных систем, с учетом плотности распределения частиц и их взаимодействия. Эти вариации можно использовать для различных задач расчета допусков в ускорителе.
Работа проводилась при поддержке СПбГУ, тема НИР 9.38.673.2013.
Литература
1. Алишеров, А. А., Овсянников, Д. А., Папкович, В. Г., Расчет допусков в ускоряющих структурах// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Техника физич. Эксперимента. 1983. Вып 3(15)
2. Власов, А. Д. Теория линейных ускорителей. М.: Атомиздат, 19с.
3. Дуркин, А. П., Коваленко, А.А., Овсянников, Д. А. К теории расчета допусков на параметры фокусирующих систем// Журн. технич физики 1991. Т.61,вып.7. С.181-186.
4. Овсянников, Д. А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. - Л.: Изд-во ЛГУ, 19с.
5. Розенвассер, Е. Н., Юсупов, Р. М. Чувствительность систем управления. М.: Наука, 19с.
6. Kotina E. D., Discrete optimization problem in beam dynamics.//Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. 2006. T. 558. №1. С. 292-294.
7. Ovsyannikov D. A. [etc.]. About computational tolerance problem in accelerating structures, Proc. of the first international workshop BDO | St. Petersburg, (1994).
8. Ovsyannikov D. A. [etc.]. Optimization of matching section of an accelerator with a spatially uniform quadrupole focusing// Technical Physics, 20, pp. .
9. Ovsyannikov D. A. [etc.]. On the beam dynamics optimization problem//
International Journal of Modern Physics A,, 2009 . pp. 941-951. Cited 1 time.
10. Ovsyannikov D. A. [etc.]. Beam dynamics optimization: Models, methods and applications
Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment, 2006, , pp. 11-19. Cited 4 times.
Текст доклада согласован с научным руководителем.
, профессор факультета прикладной математики – процессов управления СПбГУ.
Научный руководитель д. ф.-м. н., проф., .
