СИМВОЛЫ ЛАНДАУ И НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВА, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ.

МИРОЛЮБОВ В. Н.

(ИРКУТСК, ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Показано, что различные соотношения с символами Ландау можно получать и доказывать на основе свойств определённых функциональных пространств. Для некоторых классов функций найдены фактормножества по отношению асимптотического равенства. Введено отношение ( x → x0), которое означает, что функция ограничена функцией f при x → x0. установлена связь между этим отношением и отношением, выражаемым O большим.

В литературе по методам возмущений и асимптотическим методам часто встречаются разнообразные соотношения с символами Ландау ( о малым и О большим). Хотя отношения между функциями, выражаемыми этими символами, определены [1], нередко этим символам придаётся разный смысл: например, o(f) может означать как одну функцию, так и класс функций. Эта особенность не всегда подчёркивается, и некоторые приводимые соотношения не доказываются, что создаёт определённые трудности в понимании текста.

Очевидно, что свойства пространств, элементы которых связаны с функцией сравнения одним из символов Ландау, индуцируют определённые свойства и на символы. Поэтому представляет интерес найти эти пространства и выявить их свойства, что позволит легче воспринимать и доказывать различные соотношения с символами.

В связи с этим в статье решается следующая задача: функция сравнения f определена на некоторой проколотой окрестности фиксированной точки, требуется найти два функциональных пространства: в одном элементы связаны с f символом O большое, в другом – символом о – малое.

Приводятся примеры, иллюстрирующие, как свойства указанных пространств порождают соотношения с символами. Для множества функций, ограниченных на проколотой окрестности точки, находится фактормножество по отношению асимптотического равенства. По этому же отношению определяется класс эквивалентности f.

Основные определения. В работе рассматриваются функции только одной вещественной переменной.

1) f – функция сравнения, определённая на (x0 ,), где (x0 ,) – проколотая окрестность точки x0, определяемая параметром . Если x0 R, то – упорядоченная пара положительных чисел; если же x0 совпадает с одной из бесконечно удалённых точек, то – положительное число.

2) M(x0,) – множество функций, определённых и ограниченных на (x0,), рассматриваемое вместе с операциями сложения и умножения. Тогда

M(x0,) - коммутативная алгебра с единицей.

3) m(x0,) – множество бесконечно малых функций при x → x0, определённых и

ограниченных на (x0,). Рассматривая это множество также с двумя операциями, находим, что

m(x0,) - подалгебра алгебры M(x0,).

4) E(x0, ) = f ∙ M(x0, ); e(x0, ) = f ∙ m(x0, ).

Ясно, что если E(x0,), а e(x0,), то по определению [1] эти функции связаны с функцией сравнения символом Ландау.

Т. о., имеем:

( E(x0,)) ( = О(f), x → x0 ); (1)

( e(x0,)) ( = о(f), x → x0 ). (2)

2. Примеры вывода и доказательства формул с символами Ландау. Если пока ограничиться только пространством M(x0,), то соотношения (1) и (2) можно усилить:

( = О(f), x → x0) ( E(x0,)); (3)

( = о(f), x → x0 ) ( e(x0,)). (4)

Приведём несколько примеров, показывающих, как свойства пространств E(x0,) и e(x0,), вытекающие из свойств алгебр M(x0,) и m(x0,), порождают определённые формулы с символами Ландау.

Пример 1. Т. к. M(x0,) – векторное пространство, то существует импликация:

( e(x0,)) ( E(x0,)) (( + ) E(x0,)),

и в результате получаем известную формулу:

о(f) + O(f) = O(f), x → x0 .

Пример 2. Пусть e(x0,), а с – постоянная.

Тогда: = , где m(x0,), и c = (c) e(x0,).

Следовательно, с о(f) = o(f), x → x0 .

Пример 3. ( E(x0,)) ((x0,)) (x0,),

что приводит к соотношению:

, x → x0.

В следующих двух примерах проведём рассуждения в «противоположном направлении».

Пример 4. Докажем, что , x → x0.

( = O(f), x → x0) ( =), M(x0,).

Далее: O() = O() = ∙ () = () ∙ f,

где M(x0,). Т. к. M(x0,), то

O() = O(f), x → x0 .

Пример 5. Докажем равенство:

O(o(f)) = o(f), x → x0 .

( = o(f), x → x0) ( = ), где m(x0,).

Тогда: O() = = ∙ () = () ∙ f = = o(f),

здесь M(x0,), а m(x0,).

Класс эквивалентности, связанный с f, и фактормножество M(x0,). Как известно, отношение асимптотического равенства функций является отношением эквивалентности. Найдём класс эквивалентности, порождённый f, и фактормножество M(x0,). Отношение асимптотического равенства обозначим символом ~.

Принимая во внимание, что

(~ f при x → x0) ( = f + o(f), x → x0), (5)

и ограничиваясь только пространством M(x0,), находим:

Cl f = f + e(x0,) = (+ m(x0,)) ∙ f, (6)

где – единица множества M(x0,).

Аналогично, если M(x0,), то

Cl = + ∙ m(x0,) = (+ m(x0,)) ∙ . (7)

Заметим, что Cl = {}.

Пусть M'(x0,) – подмножество M(x0,), состоящее из функций, любые две из которых не являются асимптотически равными.

Тогда, обозначив посредством M(x0,) |~ фактормножество пространства M(x0,), имеем:

M(x0,) |~ = { Cl | M'(x0, )}, (8)

а само множество можно представить так:

M(x0,) = Cl . (9)

4. Подмножество M"(x0,) и его фактормножество. Рассмотрим множество функций:

M"(x0,) = { M(x0,) | (x) R\O} U {}. (10)

Утверждение:

( (x) = r) ( ~ при x → x0), (11)

здесь - постоянная функция: (x) = r, где r R\O.

Доказательство. Пусть (x) = r.

Тогда (x) = r + (x) = (1 + (x)/r)r, где m(x0,).

Т. к. (1 + (x)/r) = 1, то ~ при x → x0 .

Пусть теперь ~ при x → x0. Тогда (x) = (x) r, причём (x) = 1.

Следовательно, (x) = r.

Учитывая (11), находим:

Cl ={ M"(x0,) | (x) = r} = + m(x0,). (12)

К тому же выражению для Cl можно прийти, используя общую формулу (7).

Поскольку в M"(x0,) входят все постоянные функции, то

M"(x0,) |~ = {Cl | r R } (13)

и

M"(x0,) = Cl . (14)

5. Обобщение. В этом пункте будем считать, что функция сравнения f определена на

(x0,).Очевидно, что множество E(x0, ) = f ∙ M(x0,) не исчерпывает всех функций, связанных с функцией f символом Ландау.

Если, например, функция определена и ограничена на (x0, ) (x0, ), а в точке x1 (x0, ) \ (x0, ) имеет вертикальную асимптоту, то M(x0,), но

функция = ∙ f, входящая в пространство f ∙ M(x0, ), находится в отношении O(f) с функцией сравнения.

Следовательно, чтобы расширить множество E(x0, ), рассмотрим фильтр из всех проколотых окрестностей, входящих в (x0, ), и с каждой окрестностью (x0,) свяжем пространство M(x0, ).

Таким образом, получаем два семейства пространств:

(M(x0, )) и (m(x0, )) , (15)

где ω – множество значений параметра, соответствующих всем элементам фильтра.

Введём, далее, следующие классы функций:

ℳ(x0, ) = M( x0, ); μ ( x0, ) = m( x0, ); (16)

ε(x0, ) = f ∙ ℳ(x0, ) = E(x0, ); (17)

ε(x0, ) = f ∙ (x0, ) = e (x0,). (18)

Тогда:

( = O(f), x → x0) ( ε(x0, )); (19)

( = o (f), x → x0) ( ε (x0, )). (20)

Если в ℳ(x0, ) определить операции сложения и умножения функций на пересечении соответствующих проколотых окрестностей, то ℳ(x0, ) можно рассматривать как коммутативную алгебру с единицей. Поэтому (как показано в пункте 2) можно легко получать и доказывать различные соотношения с символами Ландау.

6. Отношение f, x → x0 . Напомним второе определение отношения, выражаемого символом О большое, которое равносильно использованному выше [2]:

( = O(f), x → x0): = c>0 ( ). (21)

В этом случае одни авторы говорят, что функция ограничена по сравнению с функцией f на ; а другие – что функция одного порядка с f , следовательно, постоянный коэффициент не учитывается.

При больших значениях с такая формулировка не отражает соотношения между функциями, на что обратили внимание, например, в [3,4].

В связи с этим целесообразно ввести отношение ( f, x → x0), которое означает, что функция ограничена функцией f при, x → x0 .

Определение:

( f, x → x0): = ( ). (22)

Ясно, что

( = O(f), x → x0) > 0 ( cf, x → x0)). (23)

ЛИТЕРАТУРА

Зорич анализ. Ч. I. М.: МЦНМО, 2001. Глава III, §2. Кудрявцев математического анализа. Т.1. М.: Дрофа, 2003. §8. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. с.24. , , Маневич математика и синергетика. М.: УРСС, 2004. с.109.