«Синтез линейных электрических цепей» (стр. 1 )

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)»

филиал «Взлет»

кафедра РЭВС ЛА

«СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ»

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

по курсу

«ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ»

Рекомендовано к использованию

на заседании кафедры А-21

( протокол от 16 сентября 2010 г.)

Ахтубинск – 2013

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов радиотехнических специальностей при изучении ими курса «Основы теории цепей».

Пособие состоит из двух частей. В теоретической части излагаются основные принципы синтеза и анализа линейных электрических цепей, как двухполюсников, так и четырёхполюсников, даются основные понятия и определения по данному разделу курса, даны примеры по использованию расчётных выражений.

Во второй части даны руководства по проведению лабораторных работ по синтезу и анализу линейных электрических цепей (фильтров). Первая лабораторная работа направлена на отработку у студентов навыков синтеза низкочастотных фильтров Баттерворта и Чебышёва I рода, вторая лабораторная работа – на выработку умения выполнять синтез и анализ электрических частотных фильтров различного назначения.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1 Характеристики электрических цепей

1.1 Характеристики двухполюсников

Характеристиками двухполюсника являются комплексные сопротивление и проводимость, полные сопротивление и проводимость, операторные сопротивление и проводимость.

Комплексным сопротивлением двухполюсника называется отношение комплексных амплитуд напряжения на двухполюснике и тока через него:

, (1.1)

где Um и Im – амплитуды синусоидально-изменяющих напряжения и тока соответственно; φU и φI – начальные фазы напряжения и тока, Z(w) и φz(ω) – модуль и аргумент комплексного сопротивления соответственно, являющиеся функциями частоты напряжения (тока).

Модуль комплексного сопротивления называется полным сопротивлением двухполюсника, показывающим отношение амплитуд напряжения и тока

.

Выражение (1.1) можно представить в алгебраической форме:

, (1.2)

где r и x – активная и реактивная составляющие комплексного сопротивления соответственно.

Из (1.1) и (1.2) следует:

,

,

.

Комплексной проводимостью двухполюсника называется отношение комплексных амплитуд тока через двухполюсник и напряжения на нем:

, (1.3)

где Y(ω) и φY(ω) – модуль и аргумент комплексной проводимости соответственно.

Модуль комплексной проводимости называется полной проводимостью двухполюсника, показывающей отношение амплитуд тока и напряжения:

.

Выражение (1.3) можно представить в алгебраической форме:

(1.4)

где g и b – активная и реактивная составляющие комплексной проводимости соответственно.

Из (1.3) и (1.4) следует:

В соответствии с (1.1) и (1.3) комплексные и полные сопротивления и проводимости двухполюсника являются взаимно-обратными величинами:

Причем

Комплексные сопротивление и проводимость двухполюсника являются аналитическими функциями частоты. Их можно только рассчитать. Полные сопротивления и проводимость являются действительными функциями, их можно не только рассчитать, но и измерить. Заменой аргумента jω, где j= - мнимая единица, на оператор p, т. е. ω на - jp, можно получить операторные сопротивление Z(p) и проводимость Y(p), тоже являющиеся аналитическими функциями, в данном случае оператора p.

1.2  Характеристики четырехполюсников

Наиболее важными характеристиками четырехполюсника являются комплексные частотные характеристики (КЧХ), амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), фазочастотные характеристики (ФЧХ), комплексные входные сопротивление и проводимость, импульсная характеристика, переходная характеристика, операторная передаточная функция.

КЧХ называется отношение комплексной амплитуды реакции к комплексной амплитуде воздействия в установившемся режиме:

.

Так как в качестве воздействия четырехполюсника могут выступать входные ток I1 или напряжение U1, а в качестве реакции – выходные ток I2 или напряжение U2, то существует четыре вида КЧХ четырехполюсника (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Виды комплексных частотных характеристик

Вид воздействия	Вид реакции
Напряжение U2	Ток I2
Выражение	Размер-ность	Выражение	Размер-ность
Напряжение U1		Безраз-мерная		Симменс (размер-ность проводи-мости)
Ток I1		Ом (раз-мерность сопротивления)		Безраз-мерная

КЧХ может быть представлена как в показательной, так и в алгебраической форме:

(1.5)

АЧХ A(ω) называется частотная зависимость отношения амплитуды гармонической (синусоидально изменяющейся) реакции Ym к амплитуде гармонического воздействия Хm в установившемся режиме:

АЧХ находится как модуль КЧХ, но ее можно также измерить, т. е. она является действительной функцией.

ФЧХ φ(ω) называется частотная зависимость разности начальных фаз гармонических реакций и воздействия:

,

где φy(ω) и φх – соответственно начальные фазы реакции и воздействия.

ФЧХ находится как аргумент КЧХ, но ее также, как и АЧХ, можно измерить, т. е. она является действительной функцией.

Комплексные входные сопротивление и проводимость определяются как отношения комплексных амплитуд входных напряжения и тока :

, .

Если выходные контакты четырехполюсника разомкнуты (выходной ток равен нулю), то в этом случае входное сопротивление называется сопротивлением холостого хода четырехполюсника:

.

Если выходные контакты четырехполюсника замкнуты накоротко (выходное напряжение равно нулю), то в этом случае входное сопротивление называется сопротивлением короткого замыкания четырехполюсника:

Среднее геометрическое сопротивлений холостого хода и короткого замыкания называется характеристическим сопротивлением четырёхполюсника

. (1.6)

При нагрузке симметричного четырехполюсника, равной характеристическому сопротивлению, входное сопротивление четырехполюсника будет также равно характеристическому сопротивлению. Такая нагрузка называется согласованной.

При изменении АЧХ в широких пределах их удобнее представлять в логарифмическом масштабе, но логарифмировать можно только безразмерные АЧХ, т. е. АЧХ по напряжению или току.

Логарифмической АЧХ называется величина, выражаемая как

Логарифмическая АЧХ имеет размерность «децибел» (дБ). В пассивных цепях, когда ≤ 1, логарифмическая АЧХ называется ослаблением и обозначается α(ω)

.

Логарифмическое представление КЧХ дает рабочую постоянную передачи:

,

где действительная часть есть затухание, а мнимая – ФЧХ.

При синтезе цепей используется понятие нормированная АЧХ , представляющая собой отношение текущего значения А(ω) к максимальному значению:

.

Нормированная АЧХ является безразмерной величиной, ее максимум равен единице.

Импульсной характеристикой h(t) называется реакция y(t) цепи на единичный импульс (δ-функцию) при нулевых начальных условиях (рис. 1.1).

а) б)

Рис. 1.1 Реакция цепи при воздействии δ-функции (а) и произвольной функции (б)

Единичный импульс (δ-функция) определяется следующим образом:

,

причем площадь под δ-функцией равна 1.

Импульсная характеристика является основной характеристикой цепи, поскольку она позволяет определить реакцию y(t) цепи на любое воздействие x(t), а не только гармоническое:

.

Переходной характеристикой g(t) цепи называется реакция y(t) цепи на единичный скачок 1(t) (функцию Хэвисайда). Переходная характеристика при нулевых начальных условиях связана с импульсной соотношением:

.

Единичный скачок 1(t) связан с δ-функцией соотношением:

.

Значения 1(t) определяются как

.

Реакция y(t) цепи при нулевых начальных условиях определяется выражениями

или

,

называемыми интегралами Дюамеля.

Передаточной функцией (операторной передаточной функцией) Н(р) называется отношение L-изображения Y(p) реакции y(t) к L-изображению X(p) воздействия х(t) при нулевых начальных условиях:

L-изображение F(p) какой-либо функции f(t), называемой оригиналом, находится по преобразованию Лапласа:

Обратное преобразование Лапласа позволяет найти оригинал по известному L-изображению:

Передаточная функция четырёхполюсника является L-изображением импульсной характеристики, т. е.

(1.7)

Передаточная функция связана с L-изображением G(p) переходной характеристики g(t) выражениями

(1.8)

Передаточная функция H(p) может быть получена из КЧХ формальным образом, а именно простой заменой в КЧХ переменной jω на оператор p (точнее частоты ω на выражение - jp). КЧХ также может быть получена из передаточной функции Н(р) заменой оператора р на jω.

Также как и КЧХ, передаточная функция бывает четырех видов: операторное передаточное сопротивление

,

операторная передаточная проводимость

передаточная функция по току

передаточная функция по напряжению

где – U1(p), U2(p), I1(p), I2(p) – L-изображения входных и выходных напряжений и токов U1(t), U2(t), i1(t), i2(t) соответственно.

Передаточные функции по напряжению и по току также называют операторные передаточные коэффициенты по напряжению и по току соответственно.

2 Задача синтеза электрических цепей и этапы её решения

2.1 Постановка задачи синтеза электрической цепи

При проектировании разнообразных радиотехнических устройств требуется решать задачи синтеза конкретных электрических цепей, обладающих желаемыми характеристиками и конструктивными параметрами, т. е. первое, удовлетворяющих заданным частотным или временным характеристикам и второе, должны быть реализованными с использованием некоторого набора элементов. Набор элементов, из которых строятся электрические цепи, называется элементным базисом (элементной базой).

Первая часть задачи синтеза решается подбором функции F(x), достаточно близкой к желаемой характеристике ξ(х). В качестве ξ(х) может выступать любая характеристика цепи АЧХ A(ω), квадрат АЧХ А2(ω), ФЧХ φ(ω), ослабление α(ω), импульсная характеристика h(t), переходная характеристика g(t), входное сопротивление Z(ω), передаточная функция H(p). Соответственно в качестве аргумента х могут выступать: частота ω, квадрат частоты ω2, нормированная частота (ωc – какая-либо характеристическая частота цепи), время t, оператор р и т. п.

Процесс подбора или приближения функции F(x) называется аппроксимацией, желаемая характеристика ξ(х) – аппроксимируемой функцией, функцию F(x) – аппроксимирующей.

Задача аппроксимации является сложной математической задачей. Ее общее решение выходит далее за рамки дисциплины «Основы теории цепей».

После решения задачи аппроксимации получается некоторая функция, далее необходимо решать вторую задачу синтеза - реализации в виде конкретной электрической цепи.

2.2 Этапы решения синтеза электрической цепи

Задача реализации выполняется в три этапа:

1. Переход от полученной функции к передаточной Н(р), независимо от того, в какой области (частотной или временной) решалась задача аппроксимации.

2. Оценка физической реализуемости передаточной функции Н(р).

3. Выбор метода реализации.

Переход к передаточной функции происходит в соответствии с алгоритмами, изложенными в п. 1.2., в частности с выражениями (1.7) и (1.8).

Передаточная функция выражается в виде дробно-рациональной функции:

(2.1)

Условия физической реализации функции (2.1) следующие.

1. Все коэффициенты функции (2.1) вещественные и положительные.

2. Степень полинома числителя не должна превышать степень полинома знаменателя.

3. Полином знаменателя должен быть полиномом Гурвица.

Полином Гурвица обладает следующими свойствами:

1. Полином Гурвица степени m может быть представлен в виде произведений полиномов первой и второй степени с вещественными положительными коэффициентами:

.

2. Ни один из коэффициентов bm, bm-1,..., b1, b0 полинома Гурвица не равен нулю и все они положительные (точнее, все они того же знака, что и bm).

3. При замене оператора р на jω у получившегося из полинома Гурвица комплексного числа (комплексного полинома) аргумент монотонно возрастает от 0 до при изменении частоты ω от 0 до ∞.

4.  Нули вещественной и мнимой частей комплексного полинома Гурвица (при замене p на jω) являются простыми, вещественными (расположены на частотной оси) и чередуются, т. е. между любыми двумя нулями полинома расположен нуль полинома и наоборот.

3 Методы реализации пассивных двухполюсников

3.1 Реактансные функции

Сопротивление Z(p) и проводимость Y(p) реактивных двухполюсников являются реактансными функциями.

Реактансные функции относятся к положительным вещественным функциям, являющимися дробно-рациональными функциями типа (2.1) и обладающими следующими свойствами.

1. Все коэффициенты вещественны и неотрицательны.

2. Наибольшие и наименьшие степени числителя и знаменателя отличаются не больше, чем на единицу.

3. Значения функции вещественны при вещественных значениях переменной.

4. Ни один из полюсов (нулей знаменателя) не располагается в правой полуплоскости.

5. Полюсы, расположенные на мнимой оси, простые (некратные).

6. Вещественная часть функции (при замене оператора р на jω) – положительна.

Реактансные функции Z(р) формируются из полиномов Гурвица υ(р)

или ,

где k – некий положительный коэффициент.

Реактансные функции имеют особые свойства, отличающие их от остальных положительных вещественных функций.

1. Нули и полюсы расположены только на мнимой оси.

2. Нули и полюсы чередуются, при этом, как в начале координат (р = 0 или ω = 0), так и на бесконечности (р = ±j∞ или ω = ±∞) реактансная функция имеет либо нуль, либо полюс.

3. Значения реактансной функции с ростом частоты на всех интервалах растут в алгебраическом смысле.

4. Любая реактансная функция может быть представлена в виде разложения на сумму простых дробей вида

(3.1)

где m – число полюсов функции (кроме р=0 и р = ±j∞), деленное на два, причём все коэффициенты разложения являются вещественными числами. В этом разложении слагаемое соответствует полюсу при р = ±j∞, слагаемое - полюсу при р = 0, а слагаемые под знаком суммирования – соответствуют парам полюсов при р = ±jωi (при их наличии).

Значения коэффициентов разложения А∞ , А0 , Аi находятся по формулам

5. Сумма любого числа реактансных функций также реактансная функция.

3.2 Методы Фостера реализации реактансных функций

Первая форма Фостера связана с реализацией функции сопротивления. Сопротивление Z(p) представляется в виде (3.1). Тогда слагаемые в (3.1) можно трактовать следующим образом: - операторная индуктивность (L= А∞), полюс при р = ∞; - операторная емкость (), полюс при р = 0; - операторное сопротивление параллельного контура ( ), два чисто мнимых полюса при р = ±jωi.

Поскольку сопротивления суммируются при последовательном соединении, то выражение (3.1) соответствует двухполюснику, состоящему из последовательно соединенных индуктивности L=A0, конденсатора и m параллельных контуров с и (рис. 3.1.)

Рис. 3.1 Схема реактивного двухполюсника, реализующего реактансную функцию (3.1) по первой форме Фостера

Если какие-либо коэффициенты в выражении (3.1) равны нулю, значит, соответствующий элемент отсутствует (рис. 3.2).

а)

б)

в)

г) д) е)

Рис. 3.2 Схемы двухполюсников, реализованных по первой форме Фостера: А∞ = 0 (а), А0 = 0 (б), А∞ = 0 и А0 = 0 (в), все Аi = 0 (г), А0 = 0 и все Аi = 0 (д), А∞ = 0 и все Аi = 0 (е)

Пример 3.1 Построить реактивный двухполюсник, сопротивление которого задано реактансной функцией

Решение: Для указанной реактансной функции определяются нули (p = ± j103, p = ± j2·103, p = ± j80,5·103, т. е. ω = 103,, ω = 2·103, ω = 80,5·103) и полюсы (р = 0, p = ± j20,5·103, p = ± j60,5·103, p = ± j∞, т. е. ω = 0, ω = 20,5·103, ω = 60,5·103, ω = ∞). Можно отметить, что нули и полюсы чередуются. Также следует отметить, что все коэффициенты в заданном выражении вещественны и положительны. Таким образом, данное выражение соответствует первым двум свойствам реактансных функций. Несложно отметить и его соответствие другим двум свойствам. В соответствии с количеством полюсов Z(p) имеется четыре слагаемых

.

Далее определяются коэффициенты разложения, и, следовательно, значения реактивных элементов.

Схема, соответствующая заданному выражению Z(p), имеет следующий вид (рис. 3.3).

Рис. 3.3 Схема реализации реактивного двухполюсника к примеру 3.1

Вторая форма Фостера связана с реализацией проводимости искомого двухполюсника. Выражение для проводимости аналогично (3.1)

, (3.2)

где m – число полюсов функции (кроме р = 0 и р = ±jω), деленное на два.

Двухполюсник, чья проводимость описывается выражением (3.2), представляет собой параллельное соединение конденсатора (), индуктивности () и m последовательных контуров ().

В зависимости от значений коэффициентов в (3.2) могут быть различные варианты реализации двухполюсника (рис. 3.4).

а) б)

в) г)

д) е) ж)

Рис. 3.4 Схемы двухполюсников, реализующих вторую форму Фостера, нет нулевых коэффициентов (а), А∞ = 0 (б), А0 = 0 (в), А∞ = 0 и А0 = 0 (г), все Аi = 0 (д), А0 = 0 и все Аi = 0 (е), А∞ = 0 и все Аi = 0 (ж)

Пример 3.2 Найти реактивный двухполюсник, проводимость которого обратна сопротивлению Z(p) (пример 3.1).

.

Решение. Нули и полюса функций Y(p) и Z(p) поменялись местами. Тогда

.

Соответственно номиналы элементов

Схема двухполюсника имеет вид (рис. 3.5).

Рис. 3.5 Схема двухполюсника к примеру 3.2

3.3 Метод Кауэра реализации реактансных функций

Метод Кауэра предполагает разложение реактансной функции в цепную дробь. Первая форма Кауэра – это реализация функции сопротивления с полюсом при р = j∞ , вторая - сопротивления с полюсом при р = 0.

Метод Кауэра основан на том, что любая сравнительно сложная дробь (числитель или знаменатель выше первого порядка) может быть представлена в виде суммы двух более простых реактансных функций. Так, реактансная функция вида (3.1), имеющая полюс при р = j∞ может быть представлена суммой

, (3.3)

где А∞ > 0, а Z1(p) – некая реактансная функция, имеющая в точке р = j∞ нуль (Z1(p) не может иметь в точке р = j∞ полюс вследствие определения коэффициента А∞).

Выражение (3.3) можно представить как

, (3.4)

где L = А∞ номинал индуктивности, последовательно соединенной с двухполюсником, имеющим сопротивление Z1(p), образуя таким образом двухполюсник, имеющий сопротивление Z(p) (рис. 3.6).

Рис. 3.6 Двухполюсник Z(p) как последовательное соединение индуктивности L и двухполюсника Z1(p)

Тогда встает вопрос реализации двухполюсника, имеющего сопротивление Z1(p) или проводимость

Поскольку в точке р = j∞ у функции Z1(p) не полюс, а нуль, то функция Y1(p) в этой точке наоборот не имеет нуля, а имеет полюс, т. е.

или

, (3.5)

где С1 – находится как соответствующий коэффициент А∞ в разложении Y1(p), а Y2(p) – некая реактансная функция, имеющая не полюс, а ноль в точке р = j∞. Тогда

Выражение (3.5) описывает параллельное соединение емкости С1 и двухполюсника с проводимостью Y2(p) (рис. 3.7).

Реализация как сопротивление функции причем функция Z2(p) имеет в точке р = j∞ полюс, аналогична реализации как сопротивление функции Z(p), но порядок Z2(p) ниже порядка Z(p), и т. д., до тех пор пока не образуется функция первого порядка, реализуемая как индуктивность или емкость.

Рис. 3.7 Двухполюсник Y1(p) как параллельное соединение емкости С1 и двухполюсника Y2(p)

Таким образом, Z(p) последовательно раскладывается в виде выражений типа (3.4) и (3.5)

,

образуя поочередно последовательно-параллельное соединение или лестничный двухполюсник (рис. 3.8.).

Рис. 3.8 Реализация функции Z(p) в виде лестничного двухполюсника

Разложение реактансной функции в цепную дробь сводится к последовательному делению:

- полинома числителя на полином знаменателя,

- полинома знаменателя на остаток от первого деления,