ВЫБОР ЛИНЕЙНОЙ БАЗИСНОЙ ФУНКЦИИ В МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
, научный руководитель, кандидат тех. наук, доцент
Вологодский государственный технический университет
Г. Вологда
Решение полевых задач численными методами осуществляется путем триангуляции расчетной области на конечные элементы (КЭ). При границах сложной конфигурации это приводит к появлению КЭ разнообразных форм. Редукция дифференциального уравнения в частных производных к системе алгебраических уравнений относительно узловых переменных jj дает решение исходной задачи.
Если для линейных остроугольных и прямоугольных треугольников любое из трех возможных частных решений вида 
равноценно, то использование тупоугольных шаблонов практика прикладных расчетов не рекомендует [1,2], объясняя это большой погрешностью. Однако, именно такие шаблоны чаще всего получаются при аппроксимации криволинейных границ.
В локальной системе координат, связанной со короткой стороной треугольника, линейную базисную функцию КЭ запишем в виде:
где обозначено 
.
Однако значение 
и координата с1 лежат вне контура треугольника и не являются элементами линейной оболочки КЭ. Следовательно, через эти величины не может быть сформулирована финитная базисная функция симплекс-элемента. Данный выбор частного решения не может быть принят, так как приводит к недопустимой погрешности в дальнейшем решении. Можно сказать, что выбранная аппроксимация, удовлетворяя исходному уравнению для 
и граничным условиям, не является решением задачи о распределении полевой функции на КЭ.
Ситуация легко разрешима если воспользоваться частным решением в локальной системе координат, связанной с самой длинной стороной.
В указанной ситуации в осях (h, x) финитная функция выглядит следующим образом:
;
В последнем случае все величины, входящие в определение базисной функции, принадлежат линейной оболочке параметров треугольника.
Окончательно рекомендации по возможности использования тупоугольных фрагментов в методе конечных элементов можно сформулировать следующим образом:
· для тупоугольных КЭ базисная функция должна быть выбрана в локальной системе координат, связанной с самой длинной из сторон КЭ;
· необходимые градиенты, следует вычислять именно из указанной базисной функции (n – направление нормали к соответствующей стороне КЭ, указанной нижним индексом);
· в качестве, точек относительно которых следует вычислять матрицу жесткости, можно использовать либо центр тяжести КЭ, либо центр окружности, вписанной в КЭ [3], которые лежат внутри контура КЭ. ВЫВОДЫ
Возможность применения тупоугольных линейных КЭ упрощает стратегию автоматического разбиения области поля на КЭ. Использование матрицы жесткости, вычисленной либо относительно центра тяжести треугольника, либо центра окружности, вписанной в треугольник, дает универсальный результат относительно линейной пробной функции, который позволит в процессе реализации метода конечных элементов снять любые ограничения по форме КЭ. Распространение аналогичного подхода к трехмерным полям для КЭ типа тетраидр предполагается.
ЛИТЕРАТУРА
1. Марчук, в проекционно-сеточные методы/ , . - М.: Наука, 19c.
2. Ильин, и технологии конечных элементов/ . - Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 20с.
3. Булавин, систем. Синтез параметрических разностных схем и метод интегральных тождеств: учебное пособие /. – Вологда: ВоГТУ, 2012. – 74 с.
