«Разнообразные способы решения иррациональных уравнений и неравенств»

Автор: ,

учитель математики МОУ гимназии № 2 г. Волгограда

Программа элективного курса

«Разнообразные способы решения иррациональных

уравнений и неравенств»

длякласса (17 часов)

Пояснительная записка

На уроках в общеобразовательных 10-11 классах учащиеся только знакомятся с основными простейшими методами решения уравнений и неравенств. Для решения сложных задач, накопления нестандартных методов и приемов решения не хватает времени. А того объема упражнений, которые обычно предлагаются в учебниках по алгебре и началам анализа для 10-11 классов, и вовсе недостаточно для формирования умения решать уравнения и неравенства. С этой точки зрения тема элективного курса «Разнообразные способы решения иррациональных уравнений и неравенств» весьма актуальна. Ее рассмотрение обобщает опыт изучения в школьном курсе разнообразных способов решения уравнений и неравенств, а также компенсирует достаточно ограниченные возможности базового курса.

Предметом настоящего элективного курса является практика решения более сложных уравнений и неравенств. На спецкурсе добавляются новые, интересные способы и приемы решения (использование свойств функции, метод ОДЗ и др.) Изучение этих новых методов на занятиях должны помочь ученику впоследствии увидеть «идеи» при поиске способа решения конкурсных задач. Также на занятиях у учащихся есть возможность получить навыки самостоятельной работы в плане отбора, поиска и решения нестандартных заданий. Таким образом, делая выборку нестандартных уравнений и неравенств, ребята получают навыки работы с математической литературой.

Программа рассчитана на 17 часов классных занятий и может проводиться в течение одного учебного полугодия.

Цель программы элективного курса - подготовка к сдаче ЕГЭ по математике, расширение и углубление знаний учащихся по предмету, повышение уровня математической подготовки выпускников средней школы.

Развивающие и познавательные цели элективного курса:

·  дальнейшее формирование интереса к предмету;

·  повышение математической культуры учащихся;

·  дальнейшее развитие навыков самостоятельной работы

·  развитие творческих способностей школьников (ведь если ученик с успехом разбирает и решает трудные задачи, то с определенной уверенностью можно предположить, что у него имеются определенные математические способности).

Задачи данной программы состоят в том, чтобы научить учащихся:

1.  Применять различные методы и приемы решения данного класса уравнений и неравенств.

2.  Применять разнообразные способы решения одного и того же уравнения (неравенства).

3.  Применять уже обозначенные методы и приемы на практике.

4.  Решать более сложные задания, наиболее встречаемых в вузовской практике.

 Методы проведения занятий в форме: лекций; семинаров, посвящённых разрешению проблемных ситуаций; мини - групповых занятий; обсуждения индивидуальных и коллективных исследований и т. д.

Ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с учителем выполняют различные задания в соответствии со своими познавательными приоритетами и возможностями, на занятиях обсуждаются результаты этой работы, заслушиваются рефераты, творческие работы, проекты, презентации (по выбору ученика).

Ожидаемый результат.

К концу работы по программе элективного курса учащиеся должны четко знать основные способы решения уравнений и неравенств, уметь быстро определить метод решения данного уравнения и неравенства; а в случаях, если способов решения несколько, найти альтернативный вариант. Также итогом совместной работы учителя и учеников должна явиться «копилка» интересных уравнений и неравенств. И результатом этой работы может служить самостоятельная подготовка отдельных сообщений по предложенным темам на заключительном семинаре.

Тематический план элективного курса профильного обучения

«Разнообразные способы решения иррациональных

уравнений и неравенств» 17 часов.

Название раздела	№	Название темы	Всего часов	Теория	Практика
Решение иррациональных уравнений.	1	Сведения иррациональных уравнений к эквивалентной системе уравнений и неравенств.	1	0,5	0,5
2	Решение иррациональных уравнений методом уединения радикала.	1	0,5	0,5
3	Решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной.	1	0,5	0,5
4	Сведения иррациональных уравнений к эквивалентным системам рациональных уравнений.	1	0,5	0,5
5	Умножение обеих частей уравнения на функцию.	1	0,5	0,5
6	Метод ОДЗ. Использование свойств функции.	1	0,5	0,5
7	Использование графиков функций при решении иррациональных уравнений.	1		1
8	Практикум 1 «Решение иррациональных уравнений»	1		1
Решение иррациональных неравенств.	9-10	Основной метод решения иррациональных неравенств	2	1	1
11-12	Решение иррациональных неравенств методом введения новой переменной.	2	1	1
13-15	Решение иррациональных неравенств с использованием свойств входящих в них функций	3	1	2
16	Практикум 2 «Решение иррациональных неравенств»	1		1
	17	Итоговое занятие	1		1

Содержание занятий

Занятие 1.

Сведения иррациональных уравнений

к эквивалентной системе уравнений и неравенств (1ч)

Аккуратное возведение в четную степень уравнения вида состоит в переходе к равносильной ему системе:

Неравенство в этой системе выражает условие, при котором уравнение можно возводить в четную степень, отсекает посторонние решения и позволяет обходиться без проверки.

Школьники довольно часто добавляют к этой системе неравенство . Однако этого делать не нужно и даже опасно, поскольку условие автоматически выполняется для корней уравнения , в правой части которого стоит неотрицательное выражение.

Полезно запомнить схему решения еще одного вида иррациональных уравнений . Такое уравнение равносильно каждой из двух систем

Поскольку после возведения в четную степень получаем уравнение-следствие . Мы должны, решив его, выяснить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ исходного уравнения, то есть выполняется ли неравенство (или ). На практике из этих систем выбирают для решения ту, в которой неравенство проще.

Например, практическое задание:

Решить уравнение: а) б).

Занятие 2.

Решение иррациональных уравнений методом уединения радикала (1ч)

При решении иррациональных уравнений полезно перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень «уединить радикал», то есть представить уравнение в виде . Тогда после возведения обеих частей уравнения в n-ую степень радикал справа исчезнет.

Например, практическое задание:

Решить уравнение .

Занятие 3.

Решение иррациональных уравнений

методом введения новой переменной (1ч)

Метод «замены» обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.

Например, практическое задание:

Решить уравнение .

Занятие 4.

Сведения иррациональных уравнений

к эквивалентным системам рациональных уравнений (1ч)

Уравнения вида (здесь a, b, c, d – некоторые числа, m, n – натуральные числа) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных: и , где и последующего перехода к эквивалентной системе рациональных уравнений.

Например, практическое задание:

Решить уравнение .

Занятие 5.

Умножение обеих частей уравнения на функцию (1ч)

Обе части иррациональное уравнение нужно умножить на удачно подобранную функцию. Конечно, при умножении обеих частей уравнения на некоторую функцию могут появиться посторонние решения, ими могут оказаться нули самой этой функции. Поэтому предлагаемый метод требует обязательного исследования получающихся значений.

Например, практическое задание: Решить уравнение .

Занятие 6.

Метод ОДЗ. Использование свойств функции (1ч)

Исследование области определения функций, входящих в иррациональное уравнение (метод ОДЗ). Исследование множества значений функций, входящих в уравнение (метод оценки). Комбинированное применение метода ОДЗ и метода оценки.

Использование свойств монотонности функции.

Основные правила для реализации этого метода. Если уравнение имеет вид где возрастает (убывает), или где и «встречно монотонны», т. е. возрастает, а убывает и наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.

Например, практическое задание:

Решить уравнение: а) ; б) .

Занятие 7.

Использование графиков функций

при решении иррациональных уравнений (1ч)

При решении уравнений или неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей в одной и той же системе координат. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

Обратить внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение из графика, ответ еще надо обосновать.

Например, практическое задание: Решить уравнение .

Занятие 8.

Практикум 1 «Решение иррациональных уравнений» (1ч)

Уравнения, при решении которых необходимо комплексное применение знаний по всем изученным методам решения.

Занятие 9-10.

Основный метод решения иррациональных неравенств(2ч)

Классическая схема решения иррациональных неравенств вида

  и . Решение более сложных иррациональных неравенств, содержащих несколько корней. Решение неравенств вида  

 и , где - алгебраическое или дробно - рациональное неравенство.  

Например, практическое задание: Решить неравенство .

Занятие 11-12.

Решение иррациональных неравенств

методом введения новой переменной (2ч)

Для решения иррациональных неравенств, так же как и для решения иррациональных уравнений, с успехом может применяться метод введения новой переменной. Необходимо заменить иррациональную функцию, входящую в неравенство, новой переменной таким образом, что относительно этой переменной неравенство становится рациональным.

Например, практическое задание: Решить неравенство .

Занятие 13.

Решение иррациональных неравенств

с использованием свойств входящих в них функций (1ч)

Использование монотонности функции

Пусть на промежутке задана возрастающая функция и требуется решить неравенство (или ). Если – корень уравнения , причем , то решения данного неравенства – весь промежуток (соответственно промежуток ). Единственность корня следует из монотонности . Понятно, что если требуется решить нестрогое неравенство, то при том же рассуждении в ответ войдет и число , а если функция задана на замкнутом или полуоткрытомпромежутке, то в ответ войдут соответствующие концы промежутка.

Например, практическое задание: Решить неравенство .

Занятие 14.

Решение иррациональных неравенств

с использованием свойств входящих в них функций (1ч)

Решим неравенство с использованием ОДЗ.

Решение. ОДЗ этого неравенства есть все из промежутка . Разобьем это множество на два промежутка и .

Для из промежутка имеем , . Следовательно, на этом промежутке, и поэтому исходное неравенство не имеет решений на этом промежутке.

Пусть принадлежит промежутку , тогда и . Следовательно, для таких , и, значит, на этом промежутке исходное неравенство также не имеет решений.

Ответ: Корней нет.

Например, практическое задание: Решить неравенство .

Занятие 15.

Решение иррациональных неравенств

с использованием свойств входящих в них функций (1ч)

Решим неравенствос использованием графиков функций

Решение. ОДЗ этого неравенства есть все из промежутка . Эскизы графиков функций и представлены на рисунке 3. Из рисунка следует, что для все из ОДЗ данное неравенство справедливо.

Докажем это. Для каждого из промежутка имеем , а для каждого такого имеем . Значит, для каждого имеем . Следовательно, решениями исходного неравенства будут все из промежутка .

Ответ:

Занятие 16.

Практикум 2 «Решение иррациональных неравенств» (1ч)

Неравенства, при решении которых необходимо комплексное применение знаний по всем изученным методам решения.

Занятие 17. Итоговое занятие (1ч)

Семинар « Нестандартные уравнения и неравенства».

Литература

1.  30 уроков репетитора по математике |по материалам вступительных экзаменов в ВУЗы|. Учебное пособие. – Н. Новгород; издательство «Век», 1997.

2.  Авдонин 2000: Предварительное тестирование (по материалам предварительного тестирования перед вступительными испытаниями 2000г. в ННГУ). – Н. Новгород, 2000.

3.  Башмаков и неравенства. |- М.: Наука, 1976.

4.  , , За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. Геометрия. Книга для учащихся 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1996.

5.  , , Шварцбурд изучение курса алгебры и математического анализа: Методические рекомендации и дидактические материалы: пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1990.

6.  Зильберберг –9. Для углубленного изучения математики. Учебное пособие. – Псков: Издательство псковского областного института усовершенствования учителей, 1993.

7.  , , и др. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа. – М.: Просвещение, 1995.

8.  Курош уравнения произвольных степеней. –М.: Наука, 1983.

9.  , Мордкович по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия – М.: Просвещение, 1991.

10.  Никольская курс по математике. – М.: Просвещение, 1991.

11.  и др. Уравнения и неравенства: Нестандартные методы решений. Учебно-методологическое пособие 10-11 кл. – М.: Дрофа, 2001.

12.  Шарыгин курс по математике. Решение задач. – М.: Просвещение, 1989.

13.  , Голубев курс по математике. Решение задач. – М.: просвещение, 1991.

14.  Шахмейстер . Пособие для школьников, абитуриентов и учителей /под ред. . – С.-Петербург, Москва. 2005.

15.  Шахмейстер уравнения и неравенства. Пособие для школьников, абитуриентов и учителей /под ред. . – С.-Петербург, Москва. 2005.