Методические рекомендации дисциплины ОПД. Р.10 Многомерные статистические методы (стр. 2 )

4.1. Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу (практические занятия и лабораторные работы).

Практическое занятие №1. Методы исчисления устойчивых (робастных) оценок: Пуанкаре, Винзора, Хубера.

Решение задач

По статистическим наблюдениям

проверить на «засорение», используя:

критерий Граббса

критерий Титьена-Мура

рассчитать:

среднюю арифметическую простую

среднюю по Пуанкаре

среднюю по Винзору

сравнить полученные результаты

сделать выводы

Практическое занятие №2. Множественный корреляционный анализ.

1)Решение задач

По представленным данным

оценить параметры генеральной совокупности, которая предполагается нормально распределенной;

проверить значимость частных коэффициентов корреляции, построить интервальную оценку

найти точечную оценку множественного коэффициента корреляции и проверить его значимость

сделать выводы

2)Выполнение тестов

Практическое занятие №3. Множественная линейная регрессия.

1)Решение задач

По статистическим данным

рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции

построить линейную регрессионную модель

проверить значимость коэффициентов регрессии

вычислить множественный коэффициент детерминации

откорректировать модель (если требуется)

проверить значимость полученного уравнения регрессии

сделать выводы

2)Выполнение тестов

Практическое занятие №4. Нелинейные регрессионные модели.

1)Решение задач

По представленным выборочным данным

найти вектор оценок коэффициентов регрессии, представленной

показательной функцией

логарифмической функцией

гиперболой

параболой

сравнить полученные результаты

Практическое занятие №5. Компонентный анализ.

1)Решение задач

По представленным выборочным данным

провести компонентный анализ:

рассчитать выборочные характеристики

нормировать данные

составить и решить характеристическое уравнение

рассчитать матрицы собственных значений и собственных векторов

рассчитать матрицы факторных нагрузок и значений главных компонент

построить уравнение регрессии на главных компонентах

найти вектор оценок коэффициентов регрессии

проверить значимость полученного уравнения регрессии

проверить значимость коэффициентов регрессии

сделать выводы

2)Выполнение тестов

Практическое занятие №6. Факторный анализ.

1)Решение задач

По матрице парных коэффициентов корреляции

вычислить редуцированную корреляционную матрицу методом

наибольшего элемента по строке (столбцу);

среднего коэффициента корреляции;

триад;

первого центроидного фактора

сравнить полученные результаты

вычислить первый и второй главные факторы

сделать выводы

2)Выполнение тестов

Практическое занятие №7. Кластерный анализ.

1)Решение задач

По представленным данным

провести классификацию объектов по иерархическому агломеративному алгоитму с использованием

обычного евклидова расстояния

взвешенного евклидова расстояния

Хемминогова расстояния

принципа «ближайшего соседа»

принципа центра тяжести

принципа Варда

сравнить полученные результаты

построить дендрограммы

сделать выводы

2)Выполнение тестов

Практическое занятие №8. Дискриминантный анализ.

1)Решение задач

По данным двух обучающих выборок

определить, к какому классу относятся новые объекты

По данным трех обучающих выборок

определить, к какому классу относятся новые объекты

2)Выполнение тестов

Практическое занятие №9. Канонические корреляции.

1)Решение задач

По двум группам статистических данных

вычислить первую пару канонических величин и каноническую корреляцию

оценить значимость канонических корреляций

Практическое занятие №10. Интегральный показатель качества жизни.

1)Решение задач

По статистическим данным Мурманской области

построить интегральный показатель качества жизни населения в годах

определить тенденцию

сделать выводы

Лабораторная работа №1. Методы исчисления устойчивых оценок.

По статистическим наблюдениям в ППП Maple

проверить на «засорение», используя:

критерий Смирнова-Граббса

критерий Граббса

критерий Титьена-Мура

критерий одновременного обнаружения экстремальных наблюдений

рассчитать:

среднюю арифметическую простую

среднюю по Пуанкаре

среднюю по Винзору

сравнить полученные результаты

сделать выводы

Лабораторная работа №2. Множественный корреляционный анализ.

По представленным данным в ППП Maple

оценить параметры генеральной совокупности, которая предполагается нормально распределенной;

проверить значимость частных коэффициентов корреляции, построить интервальную оценку

найти точечную оценку множественного коэффициента корреляции и проверить его значимость

сделать выводы

Лабораторная работа №3. Множественная линейная регрессия.

По статистическим данным в ППП Maple

рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции

построить регрессионную модель

проверить значимость коэффициентов регрессии

вычислить множественный коэффициент детерминации

откорректировать модель (если требуется)

проверить значимость полученного уравнения регрессии

сделать выводы

Лабораторная работа №4. Нелинейные регрессионные модели.

По представленным выборочным данным в ППП Maple

найти вектор оценок коэффициентов регрессии, представленной

нелинейной функцией, определить вид функции

сравнить полученные результаты

Лабораторная работа №5. Компонентный анализ.

По представленным выборочным данным в ППП Maple

провести компонентный анализ:

рассчитать выборочные характеристики

нормировать данные

составить и решить характеристическое уравнение

рассчитать матрицы собственных значений и собственных векторов

рассчитать матрицы факторных нагрузок и значений главных компонент

построить уравнение регрессии на главных компонентах

найти вектор оценок коэффициентов регрессии

проверить значимость полученного уравнения регрессии

проверить значимость коэффициентов регрессии

сделать выводы

Лабораторная работа №6. Факторный анализ.

По матрице парных коэффициентов корреляции в ППП Maple и Statistica

вычислить редуцированную корреляционную матрицу методом

наибольшего элемента по строке (столбцу);

среднего коэффициента корреляции;

триад;

первого центроидного фактора

сравнить полученные результаты

вычислить первый и второй главные факторы

сделать выводы

Лабораторная работа №7. Кластерный анализ.

По представленным данным ППП Statistica

провести классификацию объектов по иерархическому агломеративному алгоитму с использованием

обычного евклидова расстояния

взвешенного евклидова расстояния

Хемминогова расстояния

принципа «ближайшего соседа»

принципа центра тяжести

принципа Варда

сравнить полученные результаты

построить дендрограммы

сделать выводы

Лабораторная работа №8. Дискриминантный анализ.

По данным двух обучающих выборок ППП Maple и Statistica

определить, к какому классу относятся новые объекты

По данным трех обучающих выборок

определить, к какому классу относятся новые объекты

Лабораторная работа №9. Канонические корреляции.

По двум группам статистических данных ППП Maple и Statistica

вычислить первую пару канонических величин и каноническую корреляцию

оценить значимость канонических корреляций

Лабораторная работа №10. Интегральный показатель качества жизни.

По статистическим данным Мурманской области ППП Maple

построить интегральный показатель качества жизни населения в годах

определить тенденцию

сделать выводы

5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.

5.1. Рекомендуемая литература:

Основная литература

1.  Дубров статистические методы: для экономистов и менеджеров. Учеб. Для студ. спец. вузов/ , , И – М.: Финансы и статистика, 2003 гриф

2.  Глинский, анализ : учеб. пособие для студ. вузов экон. профиля / , . - 3-е изд., перераб. и доп. - М. : ИНФРА-М;Новосибирск:Сибирское соглашение, 2002. [Гриф]

3.  Медик, статистика в медицине: учеб. пособие для студ. вузов/ , .- М..: Финансы и статистика, 2007. гриф.

4.  Экономико-статистический анализ: учеб. пособие для студ. экон. спец. вузов/ , , – М.: Юнити-Дана, 2002 гриф

Дополнительная литература

, , Староверов многомерных наблюдений. М., Статистика, 1974. , , Мешалкин статистика: Методы исследования зависимостей. М., Финансы и статистика, 1983, т.1. , , Мешалкин статистика. Классификация и снижение размерности. М., Финансы и статистика, 1985, т.2. Дубров A. M., Мхитарян B. C., Трошин статистический анализ в экономических исследованиях. М., МЭСИ, 1988. Факторный анализ. М., Статистика, 1980. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М. Наука. 1976. Корнилов зависимостей с помощью пакетов программ статистического анализа для ЕС ЭВМ. М., МЭСИ, 1988. Мандель анализ. М., Финансы и статистика, 1988. Носко для начинающих. М. ИЭПП. 20с. , Титаренко методы оценивания. М., Статистика, 1980. , Макаров данных на компьютере. М. Инфра-М. 2003. – 544 с. Современный факторный анализ. М., Статистика, 1972.

6. Примерные зачетные тестовые задания.

1. Известно, что при фиксированном значении х3 между величинами х1 и х2 существует положительная связь. Какое значение может принять частный коэффициент корреляции r12/3

а) -0,8; б) 0; в) 0,4; г) 1,3.

2. По результатам п=20 наблюдений получен частный коэффициент корреляции

r12(3) = 0,8 . Определите, чему при уровне значимости α=0,05 равна разность между наблюдаемым (r12(3)) и критическим (rkp) значениями коэффициентов корреляции:

а) -0,513; б) 0,344; в) 0,700; г) 0,133.

3. Известно, что х3 усиливает связь между величинами х1 и х2. По результатам наблюдений получен частный коэффициент корреляции r12(3) = -0,45. Какое значение может принять парный коэффициент корреляции r12:

а) 0,4; б) 0,2; в) -0,8; г) 1,2.

4. По результатам п=10 наблюдений рассчитан частный коэффициент корреляции r12(3) = 0,83 и с доверительной вероятностью γ=0,95 найдена интервальная оценка

0,37≤ r12(3)≤0,96. Какое значение принимает верхняя граница доверительного интервала

а) 0,94; б) 0,98; в) 0,39; г) 0,27.

5. По результатам п=20 наблюдений рассчитан r13(2) = 0,62 и найден при γ =0,95 доверительный интервал 0,23≤ r12(3)≤0,83.

Какое значение примет нижняя граница доверительного интервала для п=10 если γ и r13(2) остались неизменными:

а) 0,45; б) 0,20; в) 0,32; г) 0,89.

6. Множественный коэффициент корреляции R1(2,3) = 0,8. Определите, какой процент дисперсии величины x1 объясняется влиянием х2 и х3

а) 28%; б) 32%; в) 64%; г) 80%.

7. По результатам 20 наблюдений найден множественный коэффициент корреляции R1(2;3) =0,8. Проверьте значимость множественного коэффициента корреляции, т. е. гипотезу

Но: R1(2;3) =0 при α =0,05 и определите разность между наблюдаемым Fнабл и критическим Fkp значениями статистики критерия:

а) 2,8; б) -13,6; в) 9,4; г) 11,5.

8. Какое значение может принимать коэффициент детерминации:

а) -0,5; б) -0,2; в) 0,4; г) 1,2.

9. Какое значение может принять множественный коэффициент корреляции:

а) -0,5; б) -1; в) 0; г) 1,2.

10. По результатам n=25 наблюдений получен парный коэффициент корреляции r12 = 0,6. Известно, что х3 занижает связь между х1 и х2. Какое значение может принять частный коэффициент корреляции r12(3):

а) -0,5; б) -0,6; в) 0,5; г) 0,8.

11. Какие требования в модели регрессионного анализа предъявляются к распределению ошибок наблюдения εi, а именно к их математическому ожиданию Мεi, и дисперсии Dεi:

a)Mεi =l;Dεi,=σ2;

б) Мεi =0; D εi =0;

в) Мεi,=0; Dεi = σ 2;

г)Mεi =l;Dεi =0.

12. Что минимизируется согласно методу наименьших квадратов:

а) б) в) г)

13. Дана ковариационная матрица вектора

Чему равна оценка дисперсии элемента вектора , т. е.

а) 5,52; б) 0,04; в) 0,01; г) 2,21.

14. При исследовании зависимости себестоимости продукции y от объема выпуска x1 и производительности труда х2 по данным n=20 предприятий получено уравнение регрессии: у - 2,88 - 0,72x1-l,51x2 и среднеквадратические отклонения коэффициентов регрессии: sb1 = 0,052 и sb2 = 0,5. Можно ли при уровне значимости α=0,05 утверждать, что значимы коэффициенты регрессии:

а) ; б) ; в) оба значимы; г) оба не значимы.

15. По данным теста 14 определите с доверительной вероятностью γ=0,99 на какую величину максимально может измениться себестоимость продукции у, если объем производства x1 увеличить на единицу:

а) -0,6; б) 0,72; в) -1,5; г) -0,83.

16. Уравнению регрессии у= 2,88 - 0,72x1 -1,51x2 соответствует множественный коэффициент корреляции Ry (, 2) = 0,84 . Какая доля вариации результативного показателя у (в %) объясняется входящими в уравнение регрессии переменными х1 и х2

а) 70,6; б) 16,0; в) 84,0; г) 29,4.

17. По данным n=15 фирм исследована зависимость прибыли y от числа работающих x вида у = + х. Была получена оценка остаточной дисперсии = 2,2 и обратная матрица:

Определите чему равна дисперсия оценки коэффициента регрессии

а) 1,500; б) 0,110; в) 0,682; г) 0,242.

18. По данным n=25 регионов получена регрессионная модель объема реализации медикаментов на одного жителя y в зависимости от доли городского населения х1 и числа фармацевтов х2 на 10 тыс. жителей: y = 11,7 + 0,06 х1 +0,42 х2 и среднеквадратические отклонения коэффициентов регрессии = 0,04 и = 0,14. Начиная с какого уровня значимости α можно утверждать, что у зависит от доли городского населения x1:

а) 0,3; б) 0,2; в) 0,1; г) 0,05.

19. По данным теста 18 определите, чему равна при доверительной вероятности γ=0,95 верхняя граница интервальной оценки коэффициента регрессии при х2

а) 0,13; б) 0,2; в) 0,65; г) 0,71.

20. Финансовая устойчивость предприятия характеризуется p=8 показателями. В результате расчетов получены собственные значения трех первых главных компонент: λ1=4,0; λ2=1,6 и λ3=0,8. Чему равен относительный вклад 2-х первых главных компонент (в %):

а) 30; б) 70; в) 60; г) 80.

21. Дана матрица факторных нагрузок: . Чему равен относительный вклад второй главной компоненты f2 в суммарную дисперсию (в %):

а) 74; б) 37; в) 4; г) 23.

22. В каких пределах меняются элементы матрицы факторных нагрузок А:

а)(-1;0); б) (0,1); в) (-1, 1); г)(0;2).

23. Дана матрица факторных нагрузок

Чему равен парный коэффициент корреляции между переменной х3 и второй главной компонентой z2

а) 0,12; б) 0,96; в) -0,24; г) 0,19.

24. Дана матрица факторных нагрузок

Чему равен коэффициент корреляции между переменными х(1) и х(2):

а) 0,75; б) 1,25; в) 0,25; г) -0,25.

25. При исследовании взаимосвязи двух показателей х(1)и х(2) получен коэффициент корреляции r12=0,9. Чему равно собственное значение λ1, соответствующее первой главной компоненте:

а) 0,1; 6)1,9; в) 1,8; г) 0,2.

26. Деятельность п предприятий региона характеризуется четырьмя показателями. При проведении компонентного анализа по матрице R получены собственные значения, одно из которых оказалось пропущенным: 1,2; 1,4 и 0,6. Чему равно собственное значение λ3 соответствующее третьей главной компоненте:

а) 2,5; б) 1,2; в) 0,6; г) 0,8.

27. В кластер S1 входят 4 объекта, расстояние от которых до объекта №5 составляет соответственно: 2, 5, 6, 7. Чему равно расстояние от объекта №5 до кластера S1, если исходить из принципа «ближайшего соседа»:

а) 2; б) 5; в) 6; г) 7.

28. Определить по данным теста 1 расстояние от объекта 5 до кластера Si, исходя из принципа «дальнего соседа»:

а) 2; 6)5; в) 6; г) 7.

29. Чему равно по данным теста 27 расстояние от объекта S1, исходя из принципа «средней связи»:

а) 2; б) 5; в) 6; г) 7.

30. Расстояние между пятью объектами (n=5) характеризуется матрицей расстояний:

Чему равно расстояние между кластерами S1,2 и S3,4,5, в которые входят соответственно объекты (1,2) и (3,4,5), если исходить из принципа средней связи:

а) 4,45; б) 3,37; в) 4,89; г) 2,86

31. Данные о четырех фирмах, деятельность которых характеризуется показателями х(1) и х(2), представлены в таблице

i	1	2	3	4
х(1)	1	7	1	9
х(2)	5	9	3	7

Чему равно расстояние ρE(1,2) между 1-ми 2-м объектами, если в качестве метрики принять обычное евклидово расстояние:

а) 3,78; 6)9,34; в) 7,21; г) 5,19.

7. Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену).

Предмет и метод многомерного статистического анализа. Роль многомерных методов статистического анализа в социально-экономических исследования. Многомерное нормальное распределение. Свойства. Робастное оценивание при наличии ассимметрии распределения экономических показателей. Методы исчисления устойчивых (робастных) оценок: Пуанкаре, Винзора, Хубера. Виды коэффициентов корреляции. Проверка значимости и построение доверительных областей. Оценку вектора коэффициентов уравнения регрессии и остаточной дисперсии с помощью метода наименьших квадратов. Линейная множественная регрессионная модель. Предпосылки регрессионного анализа. Кластерный анализ как метод многомерной классификации. Методы определения расстояний между объектами исследования. Определение расстояния между кластерами в кластерном анализе. Характеристики близости объектов и показателей в кластерном анализе. Функционалы качества разбиения. Иерархические кластер-процедуры. Метод k - средних. Метод параллельных кластер-процедур. Сущность метода дискриминантного анализа. Обучающие выборки. Линейный дискриминантный анализ при наличии k-выборок. Оценка качества дискриминантной функции и информативности отдельных признаков. Метод главных компонент в ряду методов многомерной классификации. Регрессия на главные компоненты. Математическая модель метода главных компонент. Алгоритм метода. Получение матрицы весовых коэффициентов, собственные значения и собственные векторы. Квадратичные формы и главные компоненты. Главные компоненты двумерного и трехмерного пространства. Линейная модель факторного анализа. Факторное отображение и факторная структура. Преобразование матрицы парных коэффициентов корреляции в факторном анализе. Методы расчета общностей. Метод главных факторов. Получение первого главного фактора. Методы вращения факторной структуры. Модель метода канонических корреляций. Канонические корреляции и канонические величины генеральной совокупности и их оценивание. Построение интегрального показателя качества сложной системы на примере социальной системы.

8. Практикум по решению задач.

Примеры решения задач.

Задача №1

На основе данных средней производительности труда (выработка на одного работающего) 10 предприятий подотрасли. Проверить наличие грубых ошибок.

Выработка рабочих

№ предприятия	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Выработка	12	11	13	12	14	12	18	15	14	13

Решение

1. Составим вариационный ряд:

11,12,12,12,13,13,14,14,15,18. Наибольшее значение равно x(10=18.

2. Вычислим среднее значение: =13,4.

3. Определим оценку среднего квадратического отклонения:

s=1,91.

4. Наибольшее значение

5. По табл.8 для N=10 определим Са= С0.05 =2,294.

6. Проверим гипотезу Но

С0.05<Т(10), т. е. 2,294<2,41.

Следовательно, гипотеза об однородности ряда отвергается. Значение выработки на одного работающего на предприятии № 7 является нетипичным, Это значение можно считать грубой ошибкой при уровне значимости=0,05.

Задача №2

Деятельность п = 8 карьеров характеризуется себестоимостью 1т. песка (X1), сменной добычей песка (Х2) и фондоотдачей (Х3). Значения показателей представлены в таблице.

X1 (тыс. руб.)	30	20	40	35	45	25	50	30
Х2 (тыс. руб.)	20	30	50	70	80	20	90	25
Х3	20	25	20	15	10	30	10	20

Требуется:

1. Оценить параметры генеральной совокупности, которая предполагается нормально распределенной;

2. При =0.05 проверить значимость частных коэффициентов корреляции . При =0.95 построить интервальную оценку для .