Московский государственный институт
Электроники и математики
(технический университет)
Кафедра
«Информационно-коммуникационные технологии»
Домашняя работа
по дисциплине
«Основы теории управления»
Выполнил:
Студент группы С – 54
Проверил:
Москва 2010 г.
Содержание
1.Аннотация. 3
2.Техническое задание. 4
Анализ технического задания. 4
3.Алгоритм решения. 5
Разделение многомерной системы на две системы: по входу и по выходу. 5
Поиск передаточной функции системы (эквивалентного звена) с помощью эквивалентных преобразований. 5
Критерий Гурвица. 6
Критерий Найквиста. 6
4.Анализ устойчивости по управлению.. 8
Вычисление передаточной функции по управлению.. 8
Преобразование схемы к эквивалентному звену: 8
Поиск параметра (критерий Гурвица) 10
Проверка геометрическим критерием Найквиста. 11
Частотные характеристики. 12
Амплитудно-фазовая частотная характеристика. 12
Амплитудно-частотная характеристика. 12
Вещественно-частотная характеристика. 12
Мнимо-частотная характеристика. 13
Фазо-частотная характеристика. 13
5.Анализ устойчивости по возмущению.. 14
Вычисление передаточной функции по возмущению.. 14
Преобразование схемы к эквивалентному звену. 14
Поиск параметра (критерий Гурвица) 15
Проверка геометрическим критерием Найквиста. 16
Частотные характеристики. 17
Амплитудно-фазовая частотная характеристика. 17
Амплитудно-частотная характеристика. 17
Вещественно-частотная характеристика. 17
Мнимо-частотная характеристика. 18
Фазо-частотная характеристика. 18
6.Заключение. 19
Использованная литература. 20
Приложение 1. Исходный код. 21
1. Аннотация
В работе проведен анализ устойчивости многомерной системы. Анализ производился с помощью алгебраического (Гурвица) и геометрического (Найквиста) критериев.
2. Техническое задание
Для заданной модели определить коэффициент усиления звена k системы с тем, что система будет:
- устойчивой;
- неустойчивой.
Построить частотные и временные характеристики.
Анализ устойчивости проводить алгебраически (критерий Гурвица) и геометрически (критерий Найквиста) критерии.
Анализ технического задания
Анализируемая система является многомерной, линейной, непрерывной, стационарной, детерминированной системой управления с сосредоточенными параметрами и аналоговыми сигналами.
В процессе решения возникает проблема вычисления корней полиномов высокой степени, а также вычисления определителей матриц высокого порядка. С целью ускорения таких вычислений в работе применено средство автоматизированного вычисления Maple 11.
3. Алгоритм решения
Разделение многомерной системы на две системы: по входу и по выходу
Реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.
где, х - вектор состояний, с - скаляр, L- линейный оператор.
Поиск передаточной функции системы (эквивалентного звена) с помощью эквивалентных преобразований
В структурных схемах системы реализуются только операции умножения и суммирования передаточной функции и звеньев.
Поскольку эти операции коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны, то задача построения структурной схемы системы может решаться неоднозначно, т. е. можно получить несколько вариантов графического представления. Но после соответствующих преобразований оказывающихся эквивалентными.
A = <M,Ω>
Л = {∙, +} f: W2 ─> W
М = {W}i =1,n f = W×W
Множество возможных преобразований строится на основе двух основных свойств звеньев (сложение и умножение)
· Совокупность последовательно соединенных n однородных звеньев можно заменить одним звеном, передаточная функция которого равна произведению передаточных функций исходных звеньев.
Действительно, т. к. y1= W1(p)V1, … , y= Wn(p)yn-1, то исключив из этой системы y1…yn-1 получим y = W1(p)*W2(p)*…*Wn(p)*V
· Совокупность параллельно соединенных однородных звеньев можно заменить одним звеном, передаточная функция которого есть сумма передаточных функций звеньев.
y1 = W1(p)*V, y2 = W2(p)*V, … , yn = Wn(p)*V
Сложив эти n уравнений имеем:
Алгебраический метод подразумевает под собой поиск корней характеристического уравнения и проверку принадлежности их к левой полуплоскости комплексных чисел.
Критерий Гурвица
Пусть 
— передаточная функция системы, а
— характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином 
в виде
Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица Δ по алгоритму:
1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от 
до 
2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше 
ставятся нули.
Тогда согласно критерию Гурвица:
Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.
Критерий Найквиста
Этот критерий позволяет по годографу амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы судить об устойчивости ее в замкнутом состоянии. Предполагая, что степень полинома частотной характеристики разомкнутой системы 
в числителе меньше, чем степень полинома знаменателя частотной характеристики разомкнутой системы, а также, что указанные полиномы не имеют общих корней с неотрицательной вещественной частью. Критерий Найквиста формулируется следующим образом:
Система неустойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая m корней с положительной вещественной частью будет устойчива в замкнутом состоянии если амплитудно-фазовая характеристика 
охватывает точку (-1, 
) в направлении против хода часовой стрелки 
раз.
4. Анализ устойчивости по управлению
Вычисление передаточной функции по управлению
Схема, управляемая входом X(p)
Преобразование схемы к эквивалентному звену:
Откуда найдем эквивалентное звено заменой участков схемы с обратными связями на эквивалентные звенья (для краткости, в формуле произведены замены вида w1(p) → w1):
Подставляя значения wi получаем:
В числителе:
В знаменателе:
Поиск параметра (критерий Гурвица)
Коэффициенты знаменателя:
Составляем матрицу Гурвица:
Все диагональные миноры матрицы H должны быть больше 0 одновременно:
Таким образом, по критерию Гурвица при 
система устойчива по управлению.
Проверка алгебраическим методом
Теперь необходимо проверить решение алгебраическим методом:
Проверим алгебраическим методом устойчивость системы при
При k = -1 система не устойчива по управлению.
При k = 10 система устойчива по управлению.
При k = 30 система не устойчива по управлению.
Проверка геометрическим критерием Найквиста
k=10;
ω =0..∞ ω=0..30
ω =0..5 ω=0..2
Как видно из графиков система устойчива по критерию Найквиста.
Частотные характеристики
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
Амплитудно-частотная характеристика
Вещественно-частотная характеристика
Мнимо-частотная характеристика
Фазо-частотная характеристика
5. Анализ устойчивости по возмущению
Вычисление передаточной функции по возмущению
Преобразование схемы к эквивалентному звену
Откуда найдем эквивалентное звено заменой участков схемы с обратными связями на эквивалентные звенья (для краткости, в формуле произведены замены вида w1(p) → w1):
Подставляя значения wi получаем:
В числителе:
В знаменателе:
Поиск параметра (критерий Гурвица)
Коэффициенты знаменателя:
Составляем матрицу Гурвица:
Все диагональные миноры матрицы H должны быть больше 0 одновременно:
Данная система имеет решение 
а значит по критерию Гурвица устойчива.
Проверка геометрическим критерием Найквиста
k=10;
ω =0..∞ ω=0..30
ω =0..10 ω=0..2
Как видно из графиков система устойчива по критерию Найквиста.
Частотные характеристики
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
Амплитудно-частотная характеристика
Вещественно-частотная характеристика
Мнимо-частотная характеристика
Фазо-частотная характеристика
6. Заключение
В данной работе был проведен анализ устойчивости многомерной системы и по результатам анализа вычислено, что система является неустойчивой при любом значении коэффициента обратной связи k. Анализ производился алгебраическим методом, а именно, с помощью алгебраического (Гурвица) и геометрического (Найквиста) критериев. Критерии позволяют оптимизировать анализ устойчивости системы. Математические пакеты позволяют во много раз ускорить вычисления требуемых величин.
Использованная литература
1. Лекции ОТУ,
2. Справочная информация о Maple
Приложение 1. Исходный код.
> p:='p'; k:='k'; w1:=0.75*p;
> w2:=0.2*p/(0.015*p+1);
> w3:=0.002*p+1;
> w4:=0.009*p^2+0.002*p+1;
> w5:=0.04/(0.07*p^2+0.01*p+1);
> w6:=k;
> w7:=0.3/(0.6*p+1);
> w8:=k/p^2;
> w9:=0.3*(0.3*p+1);
> we1 := ((w1+w4)*(w5+w2*w3))/( 1+(w1*w7*w9+w8)*(w5+w2*w3)); we1 := normal(we1, expanded);
> we2 := w6/(1+(w1*w7*w9+w8)*(w2*w3+w5)); we2 := normal(we2, expanded);
> q1:=denom(we2);
> p:='p';
with(PolynomialTools):koef:=CoefficientList(q1,p);
> a0:=koef[9];
a1:=koef[8];
a2:=koef[7];
a3:=koef[6];
a4:=koef[5];
a5:=koef[4];
a6:=koef[3];
a7:=koef[2];
a8:=koef[1];
> H:=<<a1|a3|a5|a7|0|0|0|0>,<a0|a2|a4|a6|a8|0|0|0>,<0|a1|a3|a5|a7|0|0|0>,<0|a0|a2|a4|a6|a8|0|0>,<0|0|a1|a3|a5|a7|0|0>,<0|0|a0|a2|a4|a6|a8|0>,<0|0|0|a1|a3|a5|a7|0>,<0|0|0|a0|a2|a4|a6|a8>>;
> with(linalg):Delta7:=H;
with(linalg):Delta6:=minor(Delta7,7,7);
with(linalg):Delta5:=minor(Delta6,6,6);
with(linalg):Delta4:=minor(Delta5,5,5);
with(linalg):Delta3:=minor(Delta4,4,4);
with(linalg):Delta2:=minor(Delta3,3,3);
with(linalg):Delta1:=minor(Delta2,2,2);
d7:=det(Delta7);
d6:=det(Delta6);
d5:=det(Delta5);
d4:=det(Delta4);
d3:=det(Delta3);
d2:=det(Delta2);
d1:=det(Delta1);
solve({d1 > 0}, k);
solve({d2 > 0}, k);
solve({d3 > 0}, k);
solve({d4 > 0}, k);
solve({d5> 0}, k);
solve({d6> 0}, k);
solve({d7> 0}, k);
> solve({d7>0,d6>0,d5>0,d4>0,d3>0,d2>0,d1>0},k);
> k:=10; p:=I*w; we2; q1;
we2;
phase1:=arctan(Im(we2)/Re(we2));
> plot([Re(we2), Im(we2), w=0..infinity]);
