Методики решения задач линейных цепей постоянного тока (стр. 1 )

Российский Государственный Университет нефти и газа имени

Кафедра «Теоретической электротехники и электрификации нефтяной и газовой промышленности»

ФЕДОРИШИН В. В., РЕПИНА Ю. В.

МЕТОДИКИП РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Под редакцией профессора

Москва

2004

Введение

Данная методическая работа является пособием для студентов всех специальностей университета, изучающих предметы «Электротехника» или «Теоретическая электротехника». Использование данного методического пособия поможет студентам освоить материал по расчету цепей постоянного тока.

При решении задач постоянного тока в методической работе приняты следующие допущения:

1.  Сопротивлениями соединительных проводников в расчетах пренебрегаем (RПРОВОД=0).

2.  В примерах №1-12 все источники электродвижущей силы (ЭДС) Е являются идеальными, т. е. их внутреннее сопротивление равно нулю (RВН = 0) и обозначаются на электрических схемах следующим образом:

 

RВН

С

В

Е

А

В примерах №13-14 источники электродвижущей силы (ЭДС) Е являются реальными, т. е. их внутреннее сопротивление не равно нулю (RВН ? 0) и обозначаются на электрических схемах следующим образом:

 

В реальности точка С не есть точка соединения ЭДС Е и RВН, а является искусственно созданной точкой для проведения расчетов.

1.  РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА МЕТОДОМ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРИЕМНИКОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если n-ое количество приемников (резисторов) можно заменить на одно эквивалентное и при этом в незатронутых преобразованиями участках электрической цепи токи и напряжения остаются неизменными по величине и направлению, то такие преобразования называются ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ.

a.  Эквивалентное преобразование последовательно соединенных резисторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательным соединением резисторов называется такое соединение, при котором ток, протекающий через них один и тот же.

Для того чтобы через последовательно соединенные приемники протекал один и тот же ток необходимо, чтобы в местах их соединения отсутствовали электрические узлы. (См. рис. 1)

Примечание. Электрическим узлом называется место соединения трех и более ветвей (проводников).

Пример №1.

Дано: ЭДС Е = 220 В, R1 = 20 Ом, R2 = 40 Ом, R3 = 50 Ом. (Рис. 1).

Определить: сопротивление резистора RЭКВ и силу тока I в цепи.

U

 

a

b

a

I

 

I

Uad

E

Uad

E

I

d

d

R3

Рис. 1а. Рис. 1б.

Решение.

Обозначим места соединения элементов электрической цепи точками
a, b, c, d (см. рис. 1а), а их потенциалы соответственно ja, jb, jc, jd.

Выясним, являются ли точки a, b, c, d электрическими узлами или нет. Как видно из рис. 1а эти точки являются местами соединения лишь двух проводников, а именно выхода одного элемента с входом другого (например, точка а есть место соединения выхода источника ЭДС Е с входом резистора R1). Следовательно, в электрической цепи узлов нет, поэтому все резисторы включены последовательно и через них протекает один и тот же ток I.

Выберем направление неизвестного тока I произвольным образом (как показано на рис. 1а).

Последовательное соединение резисторов R1, R2, R3 можно заменить на один эквивалентный им резистор RЭКВ, сопротивление которого определяется по формуле:

Доказательство данной формулы базируется на втором законе Кирхгофа, который составляется для замкнутого контура исходной схемы и формулируется следующим образом:

где - алгебраическая сумма ЭДС Е в замкнутом контуре, слагаемое этой суммы берется со знаком «+», если направления ЭДС источника и произвольно выбранного обхода контура совпадают между собой, в противном случае берется знак «-»,

- алгебраическая сумма падений напряжений в том же самом контуре, слагаемое этой суммы берется со знаком «+», если направления напряжения и произвольно выбранного обхода контура совпадают между собой, в противном случае берется знак «-».

Выбрав произвольным образом обход контура, запишем для схемы 1а второй закон Кирхгофа следующим образом:

где .

Следовательно для рассматриваемого примера №1:

После преобразования исходная электрическая схема (рис. 1а) трансформируется в эквивалентную (рис.1б). Силу тока I, протекающую в цепи, вычисляем согласно закону Ома:

1.2. Эквивалентное преобразование параллельно соединенных резисторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параллельным соединением резисторов называется такое соединение, при котором напряжение на их зажимах (местах соединений) одно и тоже.

Для того чтобы на зажимах резисторов было одно и тоже напряжение необходимо, чтобы они имели один общий вход (узел а) и один общий выход (узел b). (См. рис. 2а).

Пример №2.

Дано: Е = 60 В, R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом. (Рис. 2)

Определить: Сопротивление резистора RЭКВ и токи I, I1, I2 в цепи.

 

d

a

I

Uad

E

d

c

b

a

I2

I1

Uad

E

Ubc

I

Рис. 2а. Рис.2б.

Решение.

Обозначим места соединения элементов электрической цепи точками
a, b, c, d (см. рис. 2а), а их потенциалы соответственно ja, jb, jc, jd.

Выясним, являются ли точки a, b, c, d электрическими узлами или нет. Как видно из рис. 2а точки b и c – места соединения трех ветвей (например, точка b – место соединения выхода источника ЭДС Е и входов резистров
R1, R2), следовательно, данные точки являются электрическими узлами. Точки a и d узлами не являются (см. пример №1). Поскольку входы резисторов R1, R2 объединены общим узлом b, а выходы объединены общим узлом c, то эти резисторы соединены параллельно, а напряжение Ubc на них одно и тоже.

Выберем направление неизвестных токов I, I1, I2 произвольным образом (как показано на рис. 2а).

Параллельное соединение резисторов можно заменить на один эквивалентный им резистор RЭКВ, сопротивление которого определяется по формуле:

либо

Доказательство данных формул базируется на первом законе Кирхгофа, который формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Будем считать, что в данной формуле токи, втекающие в узел, берутся со знаком «+», а вытекающие со знаком «-».

Составим первый закон Кирхгофа для узла b (рис. 2а):

где либо

Следовательно, для примера №1:

После преобразования исходная электрическая схема (рис. 2а) трансформируется в эквивалентную (рис. 2б). Силу тока I, протекающую в цепи (рис. 2б), вычисляем согласно закону Ома:

При расчетах любых электрических цепей постоянного тока сопротивление соединительных проводов RПР можно считать практически равным нулю (в нашем случае RПРab = RПРdc = 0), поэтому

Uab = jа - jb = RПРab?I = 0?I=0, а jа = jb, ? jа - jd = jb - jc, т. е. Uad = Ubc

Udc = jd - jc = RПРdc?I = 0?I=0, а jd = jс,

Поскольку сопротивления R1, R2 включены параллельно, то падение напряжения на них одно и тоже и равно Ubc, которое можно определить по формуле: .

Рассчитаем токи в параллельных ветвях:

, .

Токи I1 и I2 можно определить другим способом:

,

.

Результат расчета проверяется по первому закону Кирхгофа. В нашем случае:

Пример №3.

Дано: Е = 60 В, R1 = 20 Ом, R2 = 40 Ом, R3 = 50 Ом. (Рис. 3)

Определить: Сопротивление резистора RЭКВ и токи I, I1, I2, I3 в цепи.

Решение.

Обозначим места соединения элементов электрической цепи точками
a, b, c, d (см. рис. 3а), а их потенциалы соответственно ja, jb, jc, jd.

U

d

a

I

Uad

E

I3

a

I

I1

E

I2

b

R3

Ubc

Uad

d

c

Рис. 3а. Рис.3б.

Выясним, являются ли точки a, b, c, d электрическими узлами или нет. Как видно из рис. 3а точки b и c – места соединения четырех ветвей (например, точка b – место соединения выхода источника ЭДС Е и входов резистров R1, R2, R3), следовательно, данные точки являются электрическими узлами. Точки a и d узлами не являются. Поскольку входы резисторов R1, R2, R3 объединены общим узлом b, а выходы объединены общим узлом c, то эти резисторы соединены параллельно, а напряжение Ubc на них одно и тоже.

Выберем направление неизвестных токов I, I1, I2, I3 произвольным образом (как показано на рис. 3а).

По аналогии с примером №2 можно показать, что параллельное соединение трех резисторов можно заменить на один эквивалентный им резистор RЭКВ, сопротивление которого определяется по формулам:

либо

После преобразования исходная электрическая схема (рис. 3а) трансформируется в эквивалентную (рис. 3б). Силу тока I, протекающую в цепи (рис. 2б), вычислим согласно Закону Ома:

Поскольку сопротивления R1, R2, R3 включены параллельно, то падение напряжения на них одно и тоже и равно Ubc, которое определим по формуле: .

Рассчитаем токи в параллельных ветвях:

, , .

Результат расчета проверяем по первому закону Кирхгофа:

1.3. Эквивалентное преобразование смешанного соединения резисторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если в электрической цепи имеются и последовательно, и параллельно соединенные резисторы, то такое соединение называется смешанным.

Пример №4.

Дано: Е = 220 В, R1 = 8 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 15 Ом, R4 = 5 Ом. (Рис. 4)

Определить: Сопротивление резистора RЭКВ и токи I, I1, I2 в цепи.

Решение.

Обозначим места соединения элементов электрической цепи точками
a, b, c, d, f (см. рис. 4а), а их потенциалы соответственно ja, jb, jc, jd, jf.

Как видно из рис. 4а точки b и f – места соединения трех ветвей, следовательно, данные точки являются электрическими узлами. Точки
a, с и d узлами не являются.

a

I1 d

d

f

b

a

I34

I2

Uad

E

Ucf

Ubc

R4

R3

f

Ubf

I1

d

c

b

a

I34

I2

Рис. 4а. Рис. 4б

RЭКВ

 

a

Uad

Uad

E

E

I

I

f

Рис. 4в. Рис. 4г

Выберем направление неизвестных токов I1, I2, I34 произвольным образом (как показано на рис. 4а).

Последовательно соединенные резисторы с сопротивлениями R3 и R4 заменяем на резистор с эквивалентным сопротивлением R34 по формуле:

R34 = R3 + R4 = 15+5=20 Ом.

Исходную схему (рис. 4а) преобразуем в эквивалентную (рис. 4б).

Параллельно соединенные резисторы с сопротивлениями R2 и R34 заменяем на резистор с эквивалентным сопротивлением R234 по формуле:

Преобразованную схему (рис. 4б) заменяем на эквивалентную (рис. 4в).

Из рис. 4в видно, что резисторы с сопротивлениями R1 и R234 соединены последовательно, поэтому им эквивалентное сопротивление вычисляем по формуле:

RЭКВ = R1 + R234 = 8+12=20 Ом.

Таким образом, после проведенных выше преобразований исходная схема (рис. 4а) трансформируется в эквивалентную (рис. 4г).