«Новые» признаки равенства треугольников

Международная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку»

«Новые» признаки равенства треугольников

Математика

Авторы: ,

9б класс МБОУ «Брянский городской
лицей №2 имени »

Руководитель: учитель математики

БГЛ №2

Брянск 2013

Оглавление:

1.  Введение

2.  Создание каталога базовых задач на построение с помощью циркуля и линейки

3.  Сопоставление изученных признаков равенства треугольников и задач на построение треугольников. Отыскание нового метода доказательства признаков равенства треугольников

4.  Доказательство новых признаков равенства треугольников

5.  Обобщение полученных результатов

6.  Применение новых признаков равенства треугольников при решении задач

7.  Заключение

I.  Введение

«Если две стороны и угол между ними одного треугольника…..». Заученные, как таблица умножения, признаки равенства треугольников. Сотни раз мы цитировали и применяли их при решении задач. Казалось бы, что может быть проще? Мы знаем об этом все!

Однако до сих пор остались вопросы, ответы на которые не дают нам покоя. Метод наложения, используемый для доказательства первого признака равенства, показался нам несколько искусственным. Не потому ли мы никогда не использовали его в решении задач? Почему так мало признаков равенства треугольников? В 8 классе строили треугольники по все тем же двум сторонам и углу между ними. Случайность? Но в математике нет случайных совпадений.

Возможно, обнаружив связь между решением задач на построение треугольников и признаками равенства, мы получим новый метод доказательства ПРТ. «Вооружившись» им мы сможем доказать другие признаки равенства треугольников. Мы уверены, что их гораздо больше, чем 3!

Чтобы убедиться в том, что ответы на эти вопросы волнуют не только нас, мы провели социологический опрос среди учащихся и учителей лицея (см. приложение 3).

Наши предположения подтвердились. Большинство учеников знают только 3 признака равенства треугольников. Метод наложения не пользуется большой популярностью. Задачи на построение также не кажутся интересной темой в геометрии. А этап исследования многие вообще считают лишним.

Таким образом, целью нашего исследования стало отыскание более понятного нам метода доказательства признаков равенства треугольников и новых признаков равенства треугольников.

Крайне важно было дополнить перечень простейших задач на построение, изученных в седьмом классе, другими элементарными построениями, которые мы проходили в курсе восьмого и девятого класса. Всего получилось 12 базовых построений (см. приложение 1). В ходе дальнейшего исследования мы будем неоднократно обращаться к этому перечню.

Нужно отметить, что все задачи мы решали по алгоритму: дано-построить-анализ-построение-доказать-доказательство-исследование. Для простых задач и задач, решение которых известно, этап анализа мы опускали.

Больше всего внимание уделялось последнему этапу – исследованию, именно он дал нам возможность отыскать новый метод доказательства.

Чертежи было решено выполнять в программе Paint, поэтому возникла необходимость заранее научиться работать в ней.

II. Создание каталога базовых задач на построение с помощью циркуля и линейки

Большая часть нашей работы заключается в решении задач на построение треугольников, поэтому на первом этапе работы мы составили список простейших построений. Это позволило сделать решение задач более коротким и красивым.

Все задачи мы решали по плану: дано – построить – построение – доказать – доказательство - исследование. Особое значение уделялось этапу исследования.

Базовые задачи на построение решались в различных разделах геометрии 7 и 8 класса. Мы их собрали в единый каталог.

1)  Построение отрезка, равного данному;

2)  Построение угла, равного данному;

3)  Построение биссектрисы угла;

4)  Построение середины отрезка;

5)  Построение перпендикуляра через точку лежащую/не лежащую на данной прямой;

6)  Построение прямой, параллельной данной;

7)  Построение третьего угла, по двум известным;

8)  Построение касательной к окружности, через точку не лежащую на данной окружности;

9)  Деление отрезка в заданном отношении;

10)  Деление отрезка в заданном отношении отрезков;

11)  Деление отрезка на n равных отрезков.

Подробное решение этих задач представлено в приложении 1.

III. Сопоставление изученных признаков равенства треугольников и задач на построение треугольников. Отыскание нового метода доказательства признаков равенства треугольников.

Для поиска нового метода доказательства ПРТ мы сопоставили условие первого ПРТ с условием одной из задач на построение. Они оказались одинаковыми и мы предположили, что это не случайно и решение задачи на построение приведет нас к нахождению нового метода доказательства.

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Вывод: В силу единственности построения, все треугольники, у которых две стороны и угол между ними соответственно равны заданным элементам, равны.

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Вывод: В силу единственности построения, все треугольники, у которых сторона и прилежащие к ней углы соответственно равны заданным элементам, равны.

Построение треугольника по трем сторонам

Вывод: В силу единственности построения, все треугольники, у которых три стороны соответственно равны заданным элементам, равны.

Итак, если треугольник, построенный по заданным элементам единственный, то треугольники, элементы которых соответственно равны заданным, равны построенному.

Таким образом, если по трем элементам треугольник построен единственный, то соответственное равенство этих элементов у двух треугольников означает, что треугольники равны.

IV. Поиск новых признаков равенства, используя новый метод доказательства ПРТ.

Теперь «новый» метод был, как говорится, у нас в кармане. Открытым оставался один вопрос: сколько существует признаков равенства треугольников?

Используя новый метод доказательства, мы принялись решать задачи на построение треугольников. Наборы элементов выбирались не случайно, мы использовали пособие , содержащие только условие задач на построение треугольников. Задачи мы решали самостоятельно.

Большинство задач мы брали из книги «Это должен знать каждый матшкольник», где представлены только условия, а задачи решались самостоятельно [2].

Вот одна из задач, решение которой привело нас к новому ПРТ.

ПРТ, доказанный в решении этой задачи, звучит так: «Если две стороны и медиана, проведенная к третьей, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей, другого треугольника, то эти треугольники равны.»

Но не все задачи решались так просто. Например, задача на построение по двум сторонам и углу, прилежащему к одной из сторон, нового признака равенства не дала. Однако стоило нам немного изменить условие, и был получен еще один ПРТ. Решение этой задачи было особенно важно для нас, потому что ее условие мы придумывали сами.

Построение треугольника по двум сторонам и углу, прилежащему к одной из этих сторон

После решения этой задачи, мы обратились к интернет - ресурсам и узнали, что это утверждение иногда называют 4 признаком равенства треугольников. Его доказательство приведено профессором МГУ , на сайте «Математика в школе», создателем которого является факультет педагогического образования МГУ имени . Это доказательство принципиально отличается от предложенного нами [3]. Полное доказательство вы найдете http://www. school. *****///.

V. Обобщение полученных результатов

Итак, мы нашли новый метод доказательства ПРТ. Если по трем элементам треугольник построен единственный, то соответственное равенство этих элементов у двух треугольников означает, что треугольники равны.

Этот метод позволил создать новые признаки равенства треугольников:

4 ПРТ. По двум сторонам и углу, противолежащему к большей из них.

5 ПРТ. По стороне, противолежащему углу и высоте, проведенной из вершины данного угла.

6 ПРТ. По двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего.

7 ПРТ. По двум углам и периметру (два варианта решения).

8 ПРТ. По двум сторонам и медиане, проведенной к третьей.

9 ПРТ. По трем медианам.

10 ПРТ. По двум углам и стороне, прилежащей к одному из них.

Подробное доказательство каждого из них представлено в приложении 3.

VI. Применение новых признаков равенства треугольников при решении задач

Возможно, кого-то мы еще не до конца убедили в важности нашего исследования. Конечно, любое исследование важно само по себе, ведь это изучение проблемы, поиск ответов на вопросы… Но наша работа имеет более определенное практическое значение, нежели просто интерес. Ведь множество задач по геометрии требует знания признаков равенства треугольников, а чем больше признаков, тем разнообразнее решения.

В учебнике «Геометрия 7-9» Атанасяна [1] приведена задача повышенной сложности № 000*

Приведем ее решение двумя способами.

1  способ. «Удвоение медианы»

Доказательство:

1)Д. п.:

MD=AM, DÎпрямой АМ

M1D1=A1M1, D1Îпрямой А1M1

2) AM=MD и BM=MC => ABCD-параллелограмм (по признаку)

3) A1M1=M1D1 и B1M1=M1C1 => A1B1C1D1-параллелограмм (по признаку)

4) DАВС=DА1В1С1, т. к.: АВ=А1В1(по условию)

AD=2AM=2A1M1=A1D1

B1D1=A1C1=A1C1=B1D1 (по свойству сторон параллелограмма)

5) Из равенства DАВD и DА1В1D1 следует равенство углов ÐАВD=ÐА1В1D1 => ÐВАС=180°-ÐАВD=180°-ÐА1В1D1 =ÐВ1А1С1

6) Рассмотрим DАВС и DА1В1С1:

АВ=А1В1; АС=А1С1, по условию; ÐА=ÐА1, по доказанному =>DА1В1С1=DА1В1С1 по двум сторонам и углу между ними.

2  способ. С применением 7ПРТ

Доказательство:

По условию АВ=А1В1; АС=А1С1; АМ=А1М1. Следовательно, DАВС=DА1В1С1 по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей (7ПРТ).

Очевидно, что 2 способ намного короче.

VII. Заключение

Подведем итоги: мы нашли метод доказательства ПРТ, отличный от метода наложения, доказали «новые» признаки равенства треугольников и решили задачи с применение этих признаков.

Также мы убедились, что в самой простой, на первый взгляд, теме может скрываться множество тайн. А задачи на построение треугольников, казавшиеся нам скучными и ненужными, стали намного интереснее, и в их актуальности больше нет никаких сомнений.

Мы нашли «инструмент», с помощью которого легко искать новые признаки равенства треугольников. Теперь, в случае необходимости, мы можем проверить, является ли набор из трех элементов признаком равенства треугольников или нет. И, несомненно, огромное удовольствие доставлял сам процесс поиска сначала нового метода доказательства ПРТ, а впоследствии открытия новых признаков равенства треугольников. Попутно мы освоили программу Paint.

Мы не можем утверждать, что были первыми, кто занимается этой проблемой. И, скорее всего, данный метод доказательства ПРТ был известен до нас. Возможно, мы что-то упустили и в «нашем» методе не все гладко. Поэтому, мы хотим представить нашу работу широкому кругу читателей. Их мнение для нас очень важно. Для этого исследование мы разместили на сайте «Виртуальный музей Лицея №2»( http://www. *****/) и завязали переписку с профессором . Мы упросили его дать отзыв о нашей работе [4].

Учащиеся и педагоги могут воспользоваться результатами нашего исследования при подготовке к урокам и экзаменам. Например, использовать расширенный список базовых задач на построение, открыть для себя новый метод доказательства ПРТ, самостоятельно доказывать признаки равенства треугольников, а также воспользоваться уже доказанными нами признаками. Очень важно, что появилась возможность сократить время на решение задач по геометрии на контрольных и экзаменах.

Список литературы

1.  и др. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. 8-е изд.-М.: Просвещение, АО «Московсий учебник», 2010.

2.  «Это должен знать каждый матшкольник». 5-е издание, стереотип.-М.:МЦНМО, 2008-56.

3.  «Четвертый признак равенства треугольников», «Математика в школе» http://www. school. *****///.

4.  Сайт «Виртуальный музей Лицея №2»( http://www. *****/)

Приложение 1

Простейшие задачи на построение

Базовые построения с помощью циркуля и линейки

Исследование:

построение единственное в силу единственности каждого построения.

Примечание: PQ-серединный перпендикуляр к отрезку АВ

Приложение 2

Задачи на построение треугольников

4.  Построить треугольник по двум углам и стороне прилежащей к одному из данных углов.

(решим задачу методом геометрических мест точек)

5.  Построить треугольник по стороне, противолежащему углу и высоте, проведенной из данного угла

(решим задачу методом геометрических мест точек)

6.  Построить треугольник по двум углам и высоте, проведенной из третьего.

(решим задачу методом подобия)

7.  Построение треугольника по двум сторонам и углу, прилежащему к одной из этих сторон