Определение отношения удельных теплоёмкостей газов

Лабораторная работа №8.1

Определение отношения удельных теплоёмкостей газов.

Введение.

Величина отношения теплоёмкости при постоянном давлении Cp к теплоёмкости при постоянном объёме CV для газов играет большую роль при адиабатических процессах и при процессах, близких к ним. Для примера можно показать, что отношением Cp/CV определяется скорость распространения звука в газах, от этого соотношения зависит течение газов по трубам со звуковыми скоростями и достижение сверхзвуковых скоростей в расширяющихся трубах.

Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона.

Процесс, происходящий без подвода и отвода тепла, называется адиабатическим (Рис.1).

Рассмотрим, как связаны между собою параметры, определяющие состояние идеального газа, когда газ совершает квазистатический адиабатический процесс:

(1)

Полагая в уравнении (1) δQ = 0 (процесс происходит без теплообмена с окружающей средой), а dU = CV∙dT, получим:

CV∙dT + pdV =

Из уравнения Клапейрона-Менделеева находим:

(3)

Подставляя значение dT из (3) в уравнение (2), получим:

Cp∙pdV + CV∙Vdp =

Введём обозначение: γ = Cp/CV, тогда уравнение (4) примет вид:

γ∙pdV + Vdp =

Уравнение (5) называют дифференциальным уравнением квазистатического адиабатического процесса для идеального газа. Теплоёмкости Cp и CV для неидеальных газов могут зависеть от температуры. Но во многих случаях они остаются практически постоянными в широком температурном интервале, что позволяет считать неизменным их отношение γ = Сp/CV. В этом случае уравнение (5) после разделения переменных легко интегрируется, в результате чего получаем, что

(6)

Уравнение (6) называется уравнением Пуассона. Оно является аналитическим выражением для кривой, графически отображающей квазистатический адиабатический процесс (Рис.1). Величина γ = Cp/CV называется адиабатической постоянной.

Поскольку pV = RT, то уравнение адиабаты можно записать ещё в двух видах:

1- исключая из уравнения (6) значение величины давления p,

получим, что

(6.1)

2- исключая из уравнения (6) значение величины объёма газа V,

получим:

(6.2)

Поскольку γ > 1, то из (6.1) следует, что при адиабатическом сжатии (уменьшается объём V), следовательно, при этом увеличивается давление p (6.2), газ нагревается, а при адиабатическом расширении, наоборот – охлаждается. На этом явлении основывается способ воспламенения горючей смеси в дизельных двигателях, где воспламенение этой смеси осуществляется путём адиабатического сжатия: явление так называемого «пневматического огнива».

Описание установки и теория проведения эксперимента.

Стеклянный баллон вместимостью V = 20л, заполнен воздухом при атмосферном давлении p0, (Рис.2). С помощью масляного насоса с ручным приводом (4) в баллон дополнительно закачивается небольшая порция воздуха, после чего вакуумный кран (2) закрывается. Поскольку процесс закачки воздуха был адиабатическим, то температура воздуха в баллоне (1) закономерно несколько повышается, что и отмечается с помощью термопары (5), связанной с цифровым индикатором (6). Спустя некоторое время температура воздуха в баллоне сравняется с температурой ТВ окружающего воздушного пространства. После этого с помощью водяного U-образного манометра (3) измеряется давление p воздуха в баллоне.

Обозначим это давление p1, а температуру воздуха внутри баллона – T1. Примем во внимание, что все манипуляции с воздухом осуществляются при неизменном объёме V, ограниченном стенками баллона. Тогда состояние воздуха в баллоне, назовём его 1-м состоянием, можно характеризовать следующим набором параметров:

1-е состояние – p1, T1, V,

где p1 = p0 + H1; p0 – исходное атмосферное давление; H1 – показания U-образного манометра; p0 и H1 выражаются в одинаковых единицах – сантиметрах водяного столба; T1 – температура окружающего воздуха в ºК, V – объём баллона – в литрах.

После установления в баллоне теплового равновесия, с помощью трёхходового вакуумного крана (2) на короткое время соединяем баллон с атмосферой. При этом часть воздуха выйдет из баллона, давление в баллоне упадёт и сравняется с атмосферным давлением - p0. Оставшийся в баллоне воздух, совершив при этом работу против атмосферного давления, адиабатически расширится. Вследствие этого его температура понизится до некоторого значения T2, что будет отмечено показаниями датчика температуры (5).

Второе состояние воздушной среды в баллоне будет характеризоваться следующим набором параметров:

2-е состояние – p0, T2, V.

Во всё время этого кратковременного процесса вакуумный кран (2) был открыт. Затем кран (2) быстро закрывается и газ внутри баллона начинает медленно прогреваться, пока его температура не сравняется с температурой T1 окружающего баллон воздуха, что также будет отмечено датчиком температуры (5). При этом U-образный манометр зафиксирует некоторое повышение давления воздуха в баллоне – p2.

Таким образом, третье состояние воздушной среды в баллоне будет характеризоваться своим набором параметров:

3-е состояние – p2, T1, V,

где p2 = p0 + H2; H2 – показание U-образного манометра после установления теплового равновесия.

Поскольку переход из состояния (2) в состояние (3) был произведен без изменения объёма (изохорически, Рис.1), то мы вправе применить в данной ситуации закон Ге-Люссака:

. (1)

К процессу адиабатического расширения, т. е. к переходу из состояния (1) в состояние (2) может быть применён закон Пуассона, который удобно записать в следующей форме:

. (2)

Заменив в уравнении (2) символ (p1) его значением (p0 + H1), и перегруппировав члены уравнения, получим:

, (3)

или

. (3.1)

Так как отношения H1/p0 и (T1 – T2)/T2 существенно меньше единицы, то разлагая оба члена уравнения (3.1) по биному Ньютона и ограничиваясь только членами первого порядка малости, получим:

откуда следует, что

(4)

Выражение, стоящее в левой части уравнения (4), есть не что иное, как H2. Действительно, подставив в уравнение (1) значение p2 = p0 + H2, и разрешив его относительно H2, получим:

H2 = p0∙(T1 – T2)/T2. (5)

Следовательно, можно записать, что откуда окончательно следует, что

(6)

Порядок проведения эксперимента.

1. Убедитесь, что вакуумный кран открыт (позиция 3, Рис.3) и баллон сообщается с внешней атмосферой. В заранее подготовленную сводную Таблицу-1 занести показания термометра (7, Рис.2), регистрирующего температуру внешней среды ТВ; и показания индикатора (6, Рис.2), регистрирующего температуру внутри баллона ТБ1.

2. Поставьте вакуумный кран в положение нагнетания (позиция 1, Рис.3) и закачайте с помощью ручного привода масляного насоса (4, Рис.2) некоторое количество воздуха в баллон так, чтобы U-образный манометр (3, Рис.2) показал некоторую разность уровней H (Рис.2). После этого с помощью вакуумного крана (позиция 2, Рис.3) отсоединить баллон от внешней среды и прекратить закачку воздуха. Одновременно обратите внимание на показания индикатора температуры в баллоне. Максимальное значение этой температуры ТБmax занесите в Таблицу-1. Разность показаний температур ∆ТБ = ТБmax – ТБ также занести в Таблицу-1.

3. Через некоторое время температура воздуха в баллоне ТБ1 сравняется с температурой ТВ окружающего баллон воздушного пространства, что будет видно по показаниям индикатора температуры в баллоне. Следует иметь в виду, что вследствие процесса конвекции воздуха внутри баллона, показания индикатора температуры будут иметь скачкообразный характер. При равенстве температур ТБ1 = ТВ фиксируем в Таблице-1 показания H1

U-образного манометра. Таким образом, мы получили набор параметров, характеризующих 1-е состояние: p1 = p0 + H1, ТБ1, V.

Замечание: во время проведения эксперимента необходимо внимательно следить за тенденцией изменения температуры ТВ окружающего воздушного пространства. В случае повышения температуры наружного воздуха (ТВ), тепловое равновесие между баллоном и внешней средой будет достигнуто быстрее и показания U-образного манометра снова начнут увеличиваться. Важно не упустить этот момент и вовремя зафиксировать минимальное значение H1.

4. После того, как было зафиксировано минимальное значение величины H1, а также температура внутри баллона ТБ0, с помощью вакуумного крана (позиция 3, Рис.3) баллон кратковременно соединяется с атмосферой. При этом, необходимо внимательно следить за показаниями U-образного манометра. При показании последнего H = 0, вакуумный кран переключается в позицию (2), Рис.3., отключая тем самым баллон от внешней среды. Вследствие адиабатического расширения температура воздуха в баллоне понизится, что будет отмечено показаниями индикатора температуры в баллоне ТБ2. Разницу температур ∆ТБ2 = ТБ0 – ТБ2 заносим в Таблицу-1. Таким образом, мы получили набор параметров, характеризующих

2- состояние: р0, ТБ2, V.

5. По мере прогревания воздуха в баллоне показания U-образного манометра начнут увеличиваться, и, при достижении теплового равновесия, т. е. ∆ТБ2 = ТБ0 – ТБ2 = 0, величина H2 достигнет некоторого максимального значения, что и должно быть зафиксировано в Таблице-1. Таким образом, после установления теплового равновесия, мы получаем набор параметров, характеризующих

3-е состояние: р2 = р0 + H2, ТБ1 = ТВ, V.

Используя полученные экспериментальным путём значения величин H1 и H2, находим значение адиабатической постоянной γ = Ср/СV. Все данные наблюдений и измерений заносятся в сводную Таблицу-1, пример заполнения которой приводится ниже. После окончания цикла измерений полость баллона с помощью вакуумного крана (позиция 3, Рис.3) вновь соединяется с атмосферой для установления исходного состояния равновесия с внешней средой.

Таблица 1. Экспериментальное определение адиабатической постоянной.

Nn эксп	ТВ ºС	ТБ1 ºС	ТБmax ºС	+∆ТБ ºС	H1 см	ТБ0 ºС	ТБ2 ºС	-∆ТБ2 ºС	H2 см	γ
1	23,1	23,1	24,9	+1,8	27,4	23,1	22,6	-0,5	6,9	1,34
2	23,3	23,3	25,4	+2,1	27,0	23,5	22,6	-0,9	6,9	1,34
3	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
4
5
γ = γср ± ∆γ.

Сравните полученный результат со значением, предсказанным теорией для двухатомного газа. Определите в методе главный источник погрешностей, который вынуждает производить серию опытов и находить статистическую ошибку.

Литература.

, , Курс общей физики, т.1, § 70.

, Общий курс физики, т.2, с.78-79.

Приложение 1. Оценка времени достижения теплового равновесия между баллоном и окружающей средой.

Для количества тепла ∆Q, проходящего через стенки баллона с общей площадью S и толщиной ∆х за время ∆τ, можно записать следующее соотношение:

(а)

где ∆Т – перепад температур между воздушной средой внутри баллона, и воздушной средой вне баллона;

λ – теплопроводность стенки баллона, дж∙см-1∙сек-1∙град-1.

Для количества тепла, затраченного на выравнивание температуры стенки баллона, можно записать уравнение баланса тепла:

∆Q = ρCS∙∆x∙∆T, (б)

где ρ – плотность стекла, г/см3; С – удельная теплоёмкость, дж∙г-1∙град-1.

Подставляя соотношение (б) в формулу (а), получим формулу для оценки времени, за которое баллон может прийти в тепловое равновесие с окружающей средой:

(в)

Как видим, время достижения баллоном теплового равновесия с окружающей средой прямо пропорционально объёмной теплоёмкости материала стенки баллона, квадрату толщины этой стенки и обратно пропорционально теплопроводности вещества стенки. Т. е. чем больше теплопроводность, тем меньше время достижения баллоном теплового равновесия с внешней средой.

Полагая ∆x = 0,35 см, ρ = 2,6 г/см3, C = 0,67 дж/г∙град, λ = 1,09∙10-3 дж/см∙сек∙град, для времени достижения баллоном теплового равновесия с внешней средой получаем следующую оценку:

сек., что > 3 минут!

Следовательно, при измерении величин Н1 и Н2, характеризующих состояние газовой среды в баллоне, необходимо учитывать также и время, составляющее порядка нескольких минут, за которое газовая среда в баллоне только и может прийти в тепловое равновесие с внешней средой.

Приложение 2. Максвеллова теория газовых теплоёмкостей.

Опыты, проведенные в сороковых годах XIX столетия Джоулем, Гирном и Томсоном (Кельвином), показали, что внутренняя энергия газов, если газ сжат не слишком сильно, зависит только от его температуры, U = f(T).

Теми же опытами Джоуля и Томсона (Кельвина) было обнаружено, что внутренняя энергия сильно сжатых газов зависит не только от температуры, но и от плотности, т. е. от объёма:

U = f(T, V).

Поэтому, при постоянстве внутренней энергии изменение плотности газа – расширение плотно сжатого теплоизолированного газа в пустоту – влечёт за собой изменение температуры (эффект Джоуля-Томсона).

В технических расчётах реальным газам часто приписывают свойства идеальных газов, т. е. в целях упрощения допускают, что между молекулами газа вовсе не существует сил притяжения, а силы отталкивания проявляются только в моменты соударения молекул. Предполагая, что соударение молекул происходит по законам удара идеально упругих тел, можно считать, что энергия взаимодействия молекул в идеальном газе равна нулю. В таком случае внутренняя энергия газа U будет равна молекулярно-кинетической энергии E, которая может быть выражена простой формулой:

(1)

где i – число степеней свободы молекулы газа. Для одноатомного газа i = 3; для двухатомного газа i = 5; для многоатомного газа i = 6. R = 1,987 ≈ 2 кал∙град-1∙моль-1 – универсальная газовая постоянная.

Теплоёмкость при постоянном объёме CV представляет собой количество тепла, которое необходимо сообщить телу, чтобы нагреть его на 1ºК, когда объём тела остаётся постоянным. Очевидно, что при неизменном объёме газа, вся энергия сообщаемая газу в форме тепла, идёт на увеличение внутренней энергии газа. Если температура газа Т повышается на 1ºК, то как это следует из формулы (1), внутренняя энергия одного моля газа увеличится на (i/2)R ≈ i калорий. Следовательно, теплоёмкость одного моля идеального газа при постоянном объёме равна:

≈ i кал∙градус-1∙моль-1. (2)

Таким образом, теплоёмкость CV идеального газа по классической теории должна быть величиной постоянной, не зависящей от химической природы газа и численно равной (в калориях для одного моля газа) числу степеней свободы молекулы газа:

- для одноатомных газов CV ≈ 3 кал/моль;

- для двухатомного газа CV ≈ 5 кал/моль;

- для многоатомного газа CV ≈ 6 кал/моль.

Этот вывод теории Максвелла близко соответствует действительности только в тех случаях, если его применять к слабо сжатым газам, находящихся при температурах не слишком низких, или при температурах не чрезмерно высоких.

Поскольку теплоёмкость газа остаётся неизменной, то очевидно, что количество тепла, потраченное для нагревания одного моля газа от абсолютного нуля до некоторой температуры (Т), будет равно СV∙Т при условии, что объём газа поддерживается постоянным:

U = CVT. (3)

Уравнение (3) обычно называют законом Джоуля.

Теплоёмкость при постоянном давлении СР.

Если, нагревая газ, предоставить ему возможность расширяться, поддерживая при этом давление газа постоянным, то часть сообщённой газу тепловой энергии будет затрачена на производство работы расширения. Поэтому теплоёмкость при постоянном давлении Ср будет больше, чем теплоёмкость при постоянном объёме CV.

При нагревании расширяющийся газ произведёт некоторую работу, равную p(V2 – V1). В соответствии с уравнением Клапейрона-Менделеева эта работа будет равна

p(V2 – V1) = R(T2 – T1).

Отсюда следует, что 1 моль газа, нагреваемого при постоянном давлении, каково бы ни было это давление, при нагреве на 1ºК произведёт вследствие расширения работу, равную универсальной постоянной R. Выраженная в тепловых единицах, эта работа равна 2кал, одинаковая для одноатомного, двухатомного и любого многоатомного газа. Приращение внутренней энергии 1 моля газа при нагревании на 1ºК равно CV. Следовательно, теплота, потребная для нагревания 1 моля газа на 1ºК при постоянном давлении, т. е. мольная теплоёмкость газа при постоянном давлении, равна

Cp = CV + R. (4)

Учитывая, что R приближённо равно 2кал, можно записать, что

Cp ≈ CV + 2 кал∙град-1∙моль-1. (4.1)

Уравнение (4) носит название уравнения Роберта Майера.

Подставляя в уравнение Роберта Майера значения CV для n-атомных газов, получим значения грамм-молекулярной теплоёмкости Cp этих газов при постоянном давлении. Результаты этих вычислений, а также отношение γ = Cp/CV приведены в Таблице-1.

Таблица 1. Значения CV, Cp, γ = Cp/CV

для n-атомных газов.

Газ	CV	Cp	γ = Cp/CV
одноатомный двухатомный трёхатомный	3 5 6	5 7 8	5/3 = 1,67 7/5 = 1,40 8/6 = 1,33

Выводы теории для области нормальных температур (не слишком высоких, когда в газах начинаются процессы диссоциации, и не слишком низких, когда сжатые газы близки к конденсированному состоянию) хорошо согласуются с данными опыта, Таблица-2.

Таблица 2. Отношение Cp/CV для некоторых газов.

Газ	γ = Cp/CV
Теория	Измерение
Аргон Ar Водород H2 Азот N2 Кислород O2 Пары воды H2O Метан CH4	1,67 1,40 1,40 1,40 1,33 1,33	1,67 1,41 1,41 1,40 1,31 1,30