МОУ «Красногорская средняя общеобразовательная школа № 2»
МУУО « Отдел образования администрации Звениговского района»
Одобрено на заседании МО. Проект программы
Руководитель МО – учитель элективного курса
математики высшей категории на Республиканский конкурс
элективных курсов
« » сентября 2005 г.
Рекомендовано: директор МОУ
« Красногорская средняя
общеобразовательная школа № 2»
высшей категории
« » сентября 2005 г
Теория многочленов.
Уравнения, приводимые к квадратным.
(Авторская программа)
Выполнила:
Учитель математики первой
категории Красногорской
средней общеобразовательной
школы № 2
Красногорский
2005
Пояснительная записка
Данный курс предназначен для тех, кто после окончания школы собирается поступать в высшие учебные заведения, в которых предъявляются достаточно высокие требования к математической подготовке абитуриентов. С его помощью решается конкретно- практическая задача - подготовка к конкурсному экзамену по математике.
В настоящее время вступительные экзамены в высшие учебные заведения, в том числе ЕГЭ, изменились как по структуре, так и по качественному составу, т. е. по содержанию. В последнее время получил достаточно широкое распространение экзамен с использованием ЭВМ. Такой экзамен требует высокой скорости принятия решений и хорошей психологической устойчивости. С другой стороны, усложняется и характер задач, предлагаемых на экзаменах. В экзаменационные работы включаются задания, требующие знания таких вопросов и тем, которые не включены в школьный курс математики или же им уделяется очень мало внимания. Учебники, которые используются сейчас в 9-11 классах средней школы, практически не содержат задач, подобных задачам вступительных экзаменов.
Каждая задача имеет идейную и техническую сложность. Идейная часть решения дает ответ на вопрос, как решать задачу. Техническая часть представляет собой реализацию найденной идеи. Есть задачи, в которых главное - найти идею решения, а техническая часть, по существу, отсутствует. Таковы, например, многие олимпиадные задачи. Есть задачи, в которых идея решения, путь решения достаточно очевидны, однако, их реализация требует очень большой по объёму вычислительной работы, так что довести решение до конца оказывается под силу далеко не каждому. Примеры такого рода задач нетрудно найти в материалах конкурсного экзамена. И, наконец, есть задачи, в которых идейная и техническая части приблизительно равнозначны.
Назначение курса способствует повышению как технической, так и идейной подготовки учащихся, а также разбору вопросов, которых нет в школьной программе, но они нужны для того, чтобы учащиеся успешно выдержали конкурсный экзамен.
Возвращаясь к теме данного курса, хочу отметить, что при решении почти любой задачи приходиться делать те или иные преобразования. Зачастую её сложность полностью определяется степенью сложности и объёмом преобразований, которые необходимо выполнить. Не так уж редки случаи, когда школьник оказывается не в состоянии решить задачу не потому, что не знает, как она решается, а потому, что не может без ошибок, в разумное время произвести все необходимые преобразования и вычисления.
Примеры на преобразование числовых и алгебраических выражений важны не сами по себе (хотя среди них есть и содержательные), а как средство развития техники преобразований, можно сказать даже культуры преобразований, что не маловажно.
В 2003 году данный спецкурс был применен в работе с 10 классом. При сдаче ЕГЭ в 2004 уч. году дети данного класса показали неплохие результаты: из 26 сдававших получили оценку «отлично» 20 человек и сдали экзамен на «4» шесть человек. Думаю, что в достижение таких результатов, не маловажную роль сыграли знания и умения учащихся в области преобразования многочлена.
Данный курс содержит основные тезисы теоретического материала, большое количество разобранных примеров и достаточное количество материала для решения задач в классе и дома (самостоятельно). Каждая задача имеет ответ, либо указание.
Цель: обеспечить преемственность средней и высшей школы, вооружить учащихся конкретным математическим аппаратом, который необходим для применения в практической деятельности, облегчить и рационализировать преобразования присутствующие при решении уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств, задач с параметрами.
Задачи: формирование прочных и устойчивых навыков преобразование выражений, разложение многочленов на множители, расширение представлений учащихся о методах преобразования выражений, а так же о различных методах решений уравнений.
СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ УЧЕБНОГО КУРСА.
§1 ТЕМА: Преобразование целого выражения в многочлен.
Для изучения данной темы отводится 5 часов.
Здесь рассматриваются различные приемы преобразования целого выражения в многочлен, в том числе с помощью замены переменной, подсчет коэффициентов многочлена-произведения при одинаковых степенях, а так же рассматривается формула (x+а)(x+в)(x+с) = x3+(а+в+с)x²+(ав+ас+вс)x+авс. В данном параграфе одно занятие отводится на изучение формулы степени двучлена, т. е. (а
в)n и как следствие треугольника Паскаля. Так же здесь изучается формула квадрата нескольких слагаемых. При изучении данного параграфа применяются лекционные и практические занятия, обучающие самостоятельные работы. Завершается изучение данной темы контрольной работой (примерный вариант такой работы приведен в приложении к курсу). Предлагается оценивать работу учащихся по данной теме не ниже, чем в 4 школьных балла, более низкая оценка предполагает индивидуальную дополнительную работу с учеником с последующей пересдачей (можно в любой форме, на усмотрение учителя).
§2. ТЕМА. Разложение на множители.
Это самая объемная тема данного курса, на неё отводится 10 часов.
Изучение данного параграфа предполагает разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки, использования формул сокращенного умножения, формулы разности n-ых степеней и разложения квадратного трехчлена на множители. Не смотря на то, что название тем звучит так же как в школьном курсе алгебры, здесь разбираются качественно новые задачи по разложению многочленов на множители, дающие расширенное представление о названных темах. Далее в этом параграфе рассматриваются теорема Безу и схема Горнера, метод неопределенных коэффициентов и деление многочлена на многочлен «уголком». При изучении данного параграфа применяются лекционные и практические занятия, обучающие самостоятельные работы. Завершается изучение данной темы контрольной работой (примерный вариант такой работы приведен в приложении к курсу). Предлагается оценивать работу учащихся по данной теме не ниже, чем в 4 школьных балла, более низкая оценка предполагает индивидуальную дополнительную работу с учеником с последующей пересдачей (можно в любой форме, на усмотрение учителя).
§3. ТЕМА. Различные способы решения алгебраических уравнений.
На тему отводится 5 часов.
На занятиях по этой теме рассматриваются наиболее распространенные виды алгебраических уравнений, а именно уравнения вида 
;
, где а+b=c+d; где ab=cd; 
; однородные уравнения, возвратные уравнения ( в том числе симметрические и кососимметрические) и уравнения решаемые с помощью разложения левой части уравнения на множители при условии, что правая его часть равна нулю. При изучении данного параграфа применяются лекционные и практические занятия, обучающие самостоятельные работы. Завершается изучение данной темы зачетным занятием, которое можно провести в игровой форме (примерный вариант такого занятия приведен в приложении к курсу).
Тематическое планирование
Тема | Кол-во часов | В том числе на | Примерное Кол-во часов на сам. раб. уч. | |||
лекции | практич. работы | контор. работы зачеты. | ||||
§1 Преобразование целого выражения в многочлен | 5 | |||||
1.1. 1.2 1.3. | Приемы преобразования целого выражения в многочлен Возведение двучлена в степень Квадрат суммы нескольких слагаемых | 2 1 1 | 1 0.5 0.5 | 1 0.5 0.5 | 1 | |
§2 Разложение на множители | 10 | |||||
2.1. 2.2. 2.3. 2.4. | Вынесение общего множителя за скобки. Способ группировки Использование формул сокращенного умножения для разложения множители. Разложение на множители кв. трехчлена Разность n-ых степеней | 4 | 2 | 2 | ||
2.5. | Метод неопред. коэффициентов. Деление многочлена на многочлен. Теорема Безу. Схема Горнера. | 1 2 2 | 0.5 1 1 | 0.5 1 1 | 1 | |
§3. Различные способы решения алгебраических уравнений | 5 | 2 | 2 | зачетный урок |
Примерные варианты контрольных работ.
Контрольная работа № 1.
1. При каком значении а многочлен, тождественно равный произведению многочленов х+2 и х3+ ах2+8х – 5 , не содержит члена: а) третьей степени; б) второй степени?
2. При каком соотношении между коэффициентами а и b произведение (х+а)(х+b)(х – 2) тождественно равно многочлену, не содержащему: а) члена второй степени; б) члена первой степени?
3. Докажите, что значение выражения
(a+3b – 1)(a+3b+7) – (a – 3b+1)(a – 3b – 7)
при целом а и нечетном b кратно 24.
4. Представьте в виде многочлена: а) (х – 5)3 б) (у – 1)4 – (у+1)4
5. Упростите выражение (а+2)3 – 6(а+2)2+12(а+2) – 8 .
6. Представьте в виде степени двучлена у5 – 5у4+10у3 – 10у2+5у – 1.
7. Докажите, что значение выражения n4 – 4n3+6n2 – 4n+1 при всех натуральных n, дающих при делении на 3 дает остаток 1, кратно 81.
8. Представьте в виде многочлена: а) (х – у +1)2 б) (a+b – c – d)2
9. Докажите, что значение выражения (х+у)+2(х+у+1) при любых х и у является положительным числом.
10.Известно, что m и n натуральные числа и m при делении на 5 дает в остатке 1, а n при делении на 5 дает в остатке 3. Докажите, что значение выражения (m+n)(m+n+2) +1 делится на 25.
Контрольная работа № 2.
1. Разложите на множители многочлен:
а) х2 – 3х – 10; б) у4 – 7у2+6; в) 3а2 – 24аb+48b2 – 12
2. Разложите на множители многочлен:
а) х5 – 1 б) у7 +1
3. Выполните деление с остатком х4 – 3х2 + 1 на х – 2.
4. При каких a и b многочлен 2х4 + 3х3 – ах2 +bх – 3 делится без остатка на х+3, а при делении на х – 2 дает остаток равный 5.
5. Разложите на множители методом неопределенных коэффициентов многочлен х4 – 10х3 +27х2 – 14х + 2.
6. Разложите на множители многочлен, используя теорему Безу и схему Горнера х4 – 27х2 – 14х + 120.
7. Докажите, что
а) 56 + 2*54 + 2*52 +1 делится на 26; б) 227 + 159 кратно 23.
Контрольные работы носят примерный характер и поэтому содержат избыточное количество заданий, по усмотрению учителя они могут быть сокращены или дополнены другими заданиями.
Список использованной литературы.
1. , , задачи по математике. Алгебра. М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1987. – 432 с.
2. , , сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов. М.: Просвещение, 199с.
3. , , Шварцбурд изучение курса алгебры и математического анализа. М.: Просвещение, 199с.
4. ,Рязановский в таблицах 7-11 класс. М.: Дрофа, 2000.- 96с.
5. , Мордкович оп решению задач, М.: Просвещение,1984. – 288с.
6. Мазур всех конкурсных задач по математике сборника под редакцией . Выпуск 1. Киев.: Украинская энциклопедия, 199с.
7. , Миндюк : Доп. Главы к шк. Учеб. 8 кл. М.: Просвещение, 1996.-207с.
8. Шарыгин курс по математике. М.: Просвещение, 1989.-252с.
