Задания

Часть 1.

1)  Область определения функции: .

2)  Находим точки пересечения функции с осью OX:

3)  Исследуем функцию на четность:

Следовательно, это непериодическая функция общего вида.

4)  Функция является непрерывной в области определения, следовательно, точек разрывов нет.

5)  Находим наклонную асимптоту в виде :

Асимптот нет.

6)  Найдем первую производную:

Найдем стационарные точки:

Следовательно, исходная функция монотонно возрастает при , а убывает при .

7)  Находим точки экстремумов:

- точка максимума, ;

- точка минимума, .

8)  Вычислим вторую производную:

.

Найдем стационарные точки:

На интервале вторая производная отрицательна, и график вогнутый, а на интервале вторая производная меняет знак на плюс, и график - выпуклый.

9)  Построим график функции:

10)  Находим площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком , осью ОХ и прямыми х=а и х=b:

11)  Проверяем свойство аддитивности по области интегрирования для определенного интеграла:

(a<c<b)

при следующих значениях параметров:

а = -1, b = 35, c = 2.

-для функции f(x)=1:

33+3 = 36 => свойство аддитивности выполняется.

-для функции f(x)=х:

610.5+1.5 = 612 => свойство аддитивности выполняется.

-для функции f(x)=х2:

14289+3 = 14292 => свойство аддитивности выполняется.

12)  Вычислим несобственные интегралы:

Часть 2.

№1.

В круг радиуса r случайным образом брошена точка так, что ее любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри лежащего в круге квадрата со стороной а.

Исходные данные:

r = 10

a = 4.

Решение:

А – событие, при котором случайным образом брошенная точка окажется внутри лежащего в круге квадрата со стороной а.

Найдем площадь квадрата:

.

Круг представляет собой полное пространство событий Ώ. Найдем его площадь:

.

Тогда вероятность исхода, благоприятствующего событию А, вычисляется соотношением площадей круга и квадрата:

.

№2.

Для сигнализации о возгорании установлено два независимо работающих датчика. Вероятность того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны р1 и р2. Найти вероятность того, что при возгорании сработает ровно один датчик.

Исходные данные:

р1 = 0.6

р2 = 0.7

Решение:

А – событие, при при возгорании сработает ровно один датчик.

Вероятность того, что датчики не сработают соответственно равны:

Тогда вероятность того, что:

1)  сработает датчик 1 и не сработает датчик 2:

2)  сработает датчик 2 и не сработает датчик 1:

.

Находим вероятность того, что при возгорании сработает ровно один датчик, используя формулу вероятности несовместных событий:

№3.

В тире имеется 5 различных по точности боя винтовок. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка соответственно равна 0.5, 0.55, 0.7, 0.75 и р. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок сделает один выстрел из случайно выбранной винтовки? Попадание произошло. Чему равна вероятность того, что была выбрана первая винтовка?

Исходные данные:

р1 = 0.5

р2 = 0.55

р3 = 0.7

р4 = 0.75

р5 = 0.7

Решение:

Пусть выбор соответствующей винтовки Н1, Н2, Н3, Н4, Н5 будут соответствующими гипотезами. Очевидно, они образуют полную группу событий и по условию задачи:

(Выбор любой винтовки равновозможен). Согласно условию вероятности попадания в мишень при выборе i-ой винтовки, равны:

Применяя формулу полной вероятности, получим:

Апостериорную вероятностьвычисляем по формуле Байеса:

№4.

Вероятность того, что баскетболист при броске попадает в корзину, равна р. Определить вероятность того, что, сделав n бросков, он m раз попадет.

Исходные данные:

n = 6

m = 4

p = 0.1

Решение.

Имеет место схема Бернулли, где р = 0.1, q = 1 – p = 1-0.1 = 0.9, n=6, m=4, поэтому:

№5.

В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0.5. Найти вероятность того, что число одновременно включенный заключено между m1 и m2.

Исходные данные:

n = 6400

p = 0.5

m1 = 3120

m2 = 3200

Решение

Поскольку n = 6400 велико, р = 0.5 и q = 1-p = 1-0.5 не малы, применяем интегральную формулу Муавра-Лапласа:

№6.

Автоматическая телефонная станция получает с среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, за данную минуту она получит: ровно 2 вызова, более двух.

Исходные данные:

N = 120,

t = 60

1) m=2

2) m≥2

Решение.

Поскольку поток вызовов представляет собой простейший, стационарный (пуассоновский) поток событий, то применима формула Пуассона, где ожидаемое число вызовов в минуту равно:

.

Тогда вероятность того, что за данную минуту станция получит ровно 2 вызова:

Найдем вероятность того, что за данную минуту станция получит более 2 вызовов:

№7.

Случайная величина Х задана рядом распределения:

Хi	-1	0	1
Pi	0.15	0.7	0.15

Найти Р{x<0}, P{x>-1}, P{-1<x<1}

Найти МХ, DX.

Решение.

Находим:

Р{x<0}=Р(-1)=0.15

P{x>-1}= Р(0)+Р(1)= 0.7+0.15= 0.85

P{-1<x<1}= Р(0)= 0.5

Находим математическое ожидание:

Находим дисперсию:

№8.

Построить таблицу распределения и найти MY, DY для случайной величины Y = 2X+3.

Построим таблицу распределения:

Хi	-1	0	1
Pi	0.15	0.7	0.15
Yi	1	3	5

Находим математическое ожидание:

Находим дисперсию:

№9.

Ошибка взвешивания – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равна 0, и среднеквадратическим отклонением, равным n. Найти вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю N граммов.

Исходные данные:

n = 2 г

N = 4 г

Решение:

В задаче рассматривается случайная величина – ошибка взвешивания, то есть разность между случайным значением веса и его нормативным значением a – математическим ожиданием. Вычислим искомую вероятность:

№10.

Исходные данные.

-1,132	-0,111	-2,043	-1,614	-1,800
-0,410	-0,210	-2,290	0,372	0,284
-1,077	0,931	0,404	-0,074	0,458
1,484	0,616	-0,543	-0,916	1,307
-0,340	-0,377	0,486	1,314	-1,625
0,789	-0,433	0,869	-0,038	-0,629
-0,494	1,048	0,347	0,673	-0,504
0,360	-0,037	2,816	0,563	-0,0056
-1,237	0,750	-0,464	-0,107	-0,131
-0,044	0,609	-0,630	0,131	0,048

Решение:

Выбираем в качестве интервалов группировки интервалы (-3, -2), (-2, -1), …, (2, 3) и составим таблицу эмпирического распределения для этих интервалов:

Интервал	Частота
(-3, -2)	0.04
(-2, -1)	0.12
(-1, 0)	0,4
(0, 1)	0,34
(1, 2)	0,08
(2, 3)	0,02

Строим гистограмму и полигон частот:

Находим эмпирическое среднее:

Находим эмпирическую дисперсию:

Находим эмпирическое среднеквадратическое отклонение:

Находим теоретическое среднее:

Находим теоретическое дисперсию:

Находим теоретическое среднеквадратическое отклонение:

Сравнивая теоретические и эмпирические значения найденных величин, можно сделать вывод, что они почти совпадают. Погрешность относительно размаха выборки не превышает 3%.

№11.

1)  Из соотношения 2Ф(t) = 0.95 получим Ф(t) = 0.475. По таблице находим

t=1.96

Найдем точность оценки:

.

Доверительные интервалы таковы:

.

Подставляя значение эмпирического среднего , получим доверительные границы интервала:

Таким образом, значения оцениваемого параметра, согласующиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству:

2)  Имеем точечные оценки a и σ:

Определяем по таблице распределения Стьюдента для доверительной вероятности и числа степеней свободы (n-1) = 49 соответствующее значение и находим искомый интервал по формуле:

Таким образом, мы видим, что интервалы практически совпадают.

Часть 3.

№1.

Найти и изобразить графически область определения функции:

Решение.

Областью определения функции является множество всех тех точек (х, у), для которых правая часть определена, т. е. множество пар (х, у), для которых. Следовательно, областью определения будет внешняя сторона параболы:

№2.

Определить и построить линии уровня функции:

Решение.

Уравнение линий уровня для функций имеет вид:

,

Где С – произвольная постоянная.

В нашем случае, уравнения линий уровня выглядят как:

или ,

Т. е. они являются гиперболами.

№3.

Вычислить приближенно величину , используя полный дифференциал.

Решение.

В нашем случае имеем функцию , где . Так как в точке Р0(1, 4):

,

То

,

И, значит, используя формулу полного дифференциала, получим:

№4.

Найти частное решение уравнения первого порядка:

, .

Решение.

Это уравнение Бернулли.

Полагаем . Тогда . Подставляя в исходное уравнение, получим:

, т. е.

.

Сначала решаем уравнение :

Теперь решаем уравнение:

Итак, общее решение данного уравнения есть:

Найдем частное решение уравнения:

.

Следовательно, С=0 и частное решение уравнения имеет вид:

№5.

Найти частное решение линейного однородного уравнения:

, y(1)=0, y’(1)=4e.

Решение.

Составим характеристическое уравнение:

.

Решаем его: k1 = 5, k2 = 1.

Записываем общее решение данного уравнения:

Найдем частное решение уравнения:

Решая систему получим: .

Тогда частное решение уравнения имеет вид:

№6.

Найти вид общего решения линейного неоднородного уравнения, не вычисляя коэффициентов частного решения:

Решение.

Общее решение ЛНДУ имеет вид . Находим решение однородного уравнения : . Характеристическое уравнение имеет корни: . Следовательно, . Для нахождения частного решения рассмотрим вспомогательные уравнения:

1)

2)

Найдем частные решения каждого из них.

1)  Правая часть ЛНДУ в первом случае имеет вид: . Т. к. совпадает с корнем характеристического уравнения, то r = 1. Следовательно, частное решение будет иметь вид:

2)  Правая часть ЛНДУ во втором случае имеет вид: . Следовательно, частное решение будет иметь вид: .

Поэтому общее решение исходного уравнения имеет вид:

.

№7.

Найти зависимость цены р от времени, если известно, что (d(t) – спрос, s(t) – предложение), где

,

р(0) = 2, s(0) = d(0) = 3.

Решение.

Приравнивая правые части соотношений для спроса и предложения (так как ), получаем следующее линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

.

Для решения однородного уравнения

Составляем характеристическое уравнение:

,

Корни которого

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:

В качестве частного решения неоднородного уравнения используем равновесную цену :

Поэтому общее решение уравнения будет следующим:

Учитывая, что р(0)=2, имеем 2+с1 = 2, c1 = 0.

Тогда . Находим 1-ю и 2-ю производные:

Отсюда:

Учитывая также, что р(0) = 2, d(0) = 3, из уравнения для спроса находим:

,

Т. е. с2 = -13/9.

Таким образом: