Лекции по ТФКП и специальным функциям

Лекции

по ТФКП и специальным функциям

Факультет АВТ, 2 курс

Весенний семестр 2010/2011 учебного года

Группы А-41, 42

Лектор – доцент, к. ф.-м. н.

Вопросы к экзамену

1. Дать определения комплексного числа (в алгебраической форме), его действитель­ной и мнимой частей. Рассказать о сложении и вычитании комплексных чисел в алгебраической форме. Привести примеры. (Л1, 10.02.11.)

2. Дать определение произведения двух комплексных чисел в алгебраической форме. Привести пример.

3. Рассказать о делении комплексных чисел (в алгебраической форме). Привести при­мер.

4. Рассказать о векторном представлении комплексных чисел. Дать определение мо­дуля комплексного числа. Привести примеры. Доказать, что модуль произведения двух ком­плексных чисел равен произведению их модулей.

5. Дать определения аргумента комплексного числа и его главного значения. Привести пример. У какого комплексного числа аргумент не определён?

6. Дать определение тригонометрической формы ненулевого комплексного числа. Как перевести алгебраическую форму числа в тригонометрическую? Привести пример.

7. Рассказать об умножении и делении комплексных чисел в тригонометрической форме. При­вести примеры.

8. Записать формулу Moivre’а. Рассказать об извлечении корней из комплексных чисел. Привести пример. (Л2, 17.02.11.)

Глава 1. Элементарные функции комплексного переменного

§ 1.1. Перечень и основные свойства элементарных функций комплексного переменного

1.1.1. Многочлены и рациональные функции

9. Дать общее определение функции в математике. Дать определение (комплексно­значной) функции комплексного переменного.

10. Дать определение многочлена. Привести примеры.

11. Дать определение рациональной функции. Привести примеры.

1.1.2. Показательно-степенные функции

12. Дать определение экспоненты (по формуле L. Euler’а). Доказать, что экспонента чисто мнимого числа по модулю равна единице. Рассказать об экспоненциальной (показатель­ной) форме комплексного числа. Привести примеры. Доказать, что значение показательной функции никогда не равно нулю.

13. Сформулировать три свойства экспоненты. Доказать первое из них.

14. Дать определения (натурального) логарифма комплексного числа и его главного значения. Привести пример. Доказать, что экспонента является периодической функциею в комплексной области.

15. Дать определение показательно-степенного выражения. Привести примеры.

1.1.3. Тригонометрические функции комплексного переменного

16. Дать определения основных тригонометрических функций в комплексной области. Доказать основное тригонометрическое тождество.

17. Дать определение ограниченной функции комплексного переменного. Доказать, что косинус не является ограниченной функцией в комплексной плоскости.

1.1.4. Дробно-линейная функция (Л3, 24.02.11)

18. Дать определение дробно-линейной функции. Привести примеры. Дать определение полюса.

19. Рассказать о выделении целой части дробно-линейной функции.

§ 1.2. Топология комплексной плоскости

1.2.1. Способы задания линий на комплексной плоскости

20. Рассказать о явном, неявном и параметрическом способах задания линии в действи­тельной и в комплексной плоскостях. Привести примеры.

21. Вывести уравнения окружности в неявном и параметрическом видах.

1.2.2. Окрестности и пределы (Л4, 03.03.11)

22. Дать определение окрестности точки на комплексной плоскости.

23. Дать определение предела последовательности комплексных чисел (на языке окре­стностей и на языке ε-N). Доказать предложение о связи предела последовательности комплекс­ных чисел с пределами последовательностей их действительных и мнимых частей.

1.2.3. Открытые и замкнутые множества

24. Дать определения открытых и замкнутых множеств на комплексной плоскости.

1.2.4. Непрерывные кривые (Л5, 10.03.11)

25. Дать определение непрерывной кривой (линии) в действительной и в комплексной плоскостях. Записать условие отсутствия самопересечений. Дать определение замкнутого кон­тура. Привести примеры.

1.2.5. Связные и односвязные множества, области

26. Дать определения связного, односвязного множеств, области. Привести примеры.

§ 1.3. Функции комплексного переменного (Л6, 17.03.11)

1.3.1. Предел и непрерывность

27. Дать определения предела функции комплексного переменного по A. L. Cauchy (на языке ε-δ) и по Heine (на языке последовательностей).

1.3.2. Определение непрерывности в точке

28. Дать определения непрерывности функции комплексного переменного по A. L. Cauchy (на языке ε-δ) и по Heine (на языке последовательностей).

29. Рассказать о связи предела и непрерывности функции комплексного переменного с пределами и непрерывностью ее действительной и мнимой частей.

1.3.3. Пример непрерывности и разрыва

30. Привести примеры (с обоснованием) непрерывной и разрывной функций.

1.3.4. Понятие дифференцируемой функции

31. Сформулировать понятия производной данной функции и дифференцируемой функции. Сформулировать теорему A. L. Cauchy – B. Riemann’а. Привести пример.

1.3.5. Теорема A. L. Cauchy – B. Riemann’а

32. Доказать, что если функция дифференцируема в точке, то у её действительной и мнимой частей в соответствующей точке существуют частные производные первого порядка и эти производные удовлетворяют условиям A. L. Cauchy – B. Riemann’а.

33. Доказать, что если действительная и мнимая части данной функции комплексного переменного дифференцируемы в точке и в этой точке их частные производные первого по­рядка удовлетворяют условиям A. L. Cauchy – B. Riemann’а, то в соответствующей точке у дан­ной функции существует производная. Вывести форм.03.11.)

1.3.6. Определения

34. Дать определение аналитической (регулярной) функции комплексного переменного: а) в точке; б) в области. Привести примеры.

Глава 2. Интегральные свойства функций комплексного переменного (Л8, 31.03.11)

§ 2.1. Интеграл от функции комплексного переменного

2.1.1. Основные определения

35. Дать определение интеграла по кривой от функции комплексного переменного: а) по A. L. Cauchy (на языке ε-δ) и б) по Heine (на языке последовательностей).

2.1.2. Сведéние к функциям действительного переменного

36. Рассказать о сведéнии интеграла от функции комплексного переменного к двум ин­тегралам второго рода от дифференциальных форм на действительной плоскости.

2.1.3. Существование интеграла (Л9, 07.04.11)

37. Сформулировать условия, при которых интеграл от функции комплексного пере­менного заведомо существует.

2.1.4. Примеры на вычисление интегралов

38. Привести примеры на вычисление интеграла от функции комплексного перемен­ного.

2.1.5. Свойства интеграла

39. Сформулировать свойства линейности и аддитивности интеграла от функции комплексного перемен­ного. Дать определение спрямляемой кривой.

§ 2.2. Теорема A. L. Cauchy

2.2.1. Формулировка интегральной теоремы A. L. Cauchy

40. Сформулировать интегральную теорему A. L. Cauchy (об интеграле по замкнутому контуру). Сформулировать теорему G. Green’а.

2.2.2. Доказательство теоремы A. L. Cauchy в частном случае

41. Доказать интегральную теорему A. L. Cauchy (об интеграле по замкнутому контуру) в том частном случае, когда производная подынтегральной функции непрерывна.

2.2.4. Теорема A. L. Cauchy для многосвязной области (Л10, 14.04.11)

42. Сформулировать и доказать интегральную теорему A. L. Cauchy (об интеграле по замкнутому контуру) для многосвязной области.

2.2.5. Интегральная формула A. L. Cauchy

43. Записать и доказать интегральную формулу A. L. Cauchy.

2.2.6. Производные высшего порядка от аналитической функции (Л11, 21.04.11)

44. Записать и обосновать интегральную формулу, выражающую производные высших порядков от аналитической функции (следствие из интегральной формулы A. L. Cauchy).

45. Доказать, что функция, аналитическая в точке, имеет в этой точке производную лю­бого порядка.

2.2.7. Теорема J. Liouville’я

46. Доказать теорему J. Liouville’я об ограниченной аналитической функции.

2.2.8. Основная теорема алгебры

47. Сформулировать и доказать основную теорему алгебры.

Глава 3. Разложение функций в ряды (Л12, 28.04.11)

§ 3.1. Разложение функции в ряд B. Taylor’а

48. Доказать теорему о разложении функции, аналитической в открытом круге, в ряд B. Taylor’а.

§ 3.2. Ряд Laurent’а (Л13, 05.05.11)

3.2.1. Обобщённо степенные ряды

49. Дать определения обобщённо степенного ряда, его главной и правильной частей. Сформулировать теорему об области сходимости такого ряда.

3.2.2. Определение ряда Laurent’а

50. Дать определение ряда Laurent’а.

3.2.3. Теорема о сходимости ряда Laurent’а

51. Сформулировать теорему о разложении функции, аналитической в кольце, в ряд Laurent’а.

§ 3.3. Особые точки и вычеты (Л14, 12.05.11)

3.3.1. Изолированные особые точки

52. Дать определение изолированной особой точки функции.

3.3.2. Классификация изолированных особых точек

53. Рассказать о классификации особых точек. Сформулировать теорему Ю. Сохоцкого.

3.3.3. Понятие вычета

54. Дать определение вычета функции в изолированной особой точке.

3.3.4. Теорема A. L. Cauchy о вычетах

55. Доказать теорему A. L. Cauchy о вычетах.