XII Республиканская олимпиада по астрономии и космической физике

XII Республиканская олимпиада по астрономии и космической физике

  Решения районного тура

8-9 классы

1. Орбита Плутона имеет значительный (0.25) эксцентриситет, поэтому перигелийное расстояние Плутона rп Плутона= a(1-e)=39.46(1-0.25)=29.60 а. е. меньше, чем среднее расстояние от Нептуна до Солнца. Учитывая, что эксцентриситет Нептуна весьма мал (0.009) и перигелийное расстояние от Нептуна до Солнца составляет  rп Нептуна= a(1-e)=30.06(1-0.009)=29.79 а. е. > rп Плутона, то КАЖДЫЙ свой перигелий Плутон будет  находиться ближе к Солнцу, чем Нептун, в какой бы точке своей орбиты ни располагался последний. Поэтому описанная в задаче ситуация будет повторяться с периодичностью, равной сидерическому периоду TПлутона, который может быть найден из 3-го закона Кеплера. Т2=а3 Плутона, TПлутона=39.463/2=248.2 года.

Для 8-9 классов допускается ответ без расчетов, только на знание Солнечной системы.

Для 10 классов полное решение, приведенное выше, м. быть упрощено предположением о круговой орбите Нептуна.

2.  Согласно 2-му закону Ньютона F=ma, где F - равнодействующая сил. На частицу действуют только 2 противоположнонаправленные силы – сила тяжести mg и сила трения Fтр, поэтому ma = Fтр - mg. Сила действия атмосферы на частицу – это сила трения, по модулю Fтр=m(a+g) (Для упрощения принято, что метеор падает вертикально вниз) Примем g=9.8 м/с за секунду (поскольку  метеор обычно сгорает на высотах 80…100км, где g немного меньше, мы получим чуть заниженый результат, впрочем, ошибка исчезающе мала, поскольку g<<a и комментарий имеет только методическое значение, не влияя на числовой результат). Тогда искомая сила Fтр~1+9.8)=1.00098*10-2~0.01Н.

Решение может быть принято полным, если в ответе указывается, что g<<a.

3.  Горизонтальный параллакс p и расстояние до объекта r связаны соотношением r=d/sin(p), где d – величина базиса, в нашем случае равная радиусу Земли. Тогда расстояние до Эроса r=6380/2.9*10-4=2.2*107км=0.146 а. е.

4.   В день проведения Олимпиады (9декабря) Солнце менее, чем на 1 час  по прямому восхождению отстоит от точки зимнего солнцестояния. Поскольку вблизи точек солнцестояний проекция эклиптики на небесную сферу почти параллельна небесному экватору, измененеие склонения мало и можем приближенно считать dо=-23о (несколько больше, чем  e=-23о26’, поскольку Солнце дня солнцестояния еще не достигло). Тогда по формуле для высоты светила в верхнюю кульминацию h=90-f+d получим h=90-55о47’-23о=11о13’. Более точный расчет можно провести, если записать уравнение изменения склонения Солнца в виде синусоиды dо=e*(sin(360/T)*t) или dо=23о 26’(sin(360/365.25)*t), где t – время в сутках, прошедшее со дня весеннего равноденствия, T~365.25 – продолжительность тропического года. Тогда получим на день Олимпиады t=261день  и более точное значение dо~23о 26’(sin(360/365.25)*261)~-22о51’, h=11о22’. Как видно, первоначальное «интуитивное» предположение было весьма близко к истине.

Допускается упрощение dо=-e  при указании, что вблизи точек солнцестояний проекция эклиптики на небесную сферу почти параллельна небесному экватору.

5.  Согласно 3-му закону Кеплера, для  обращающихся вокруг Солнца тел можно записать равенство T2=a3, где T – период в годах, а – большая полуось в а. е.. Тогда легко найти Т=а3/2; TСуюмбика=2.263/2~3.4 года.

10 классы

1.  1-я часть решения - см. решение задачи 3 категории 8-9 классов.

  Для ответа на последний вопрос достаточно указать, что Эрос – из группы астероидов, сближающихся с Землей.

2.  См. решение задачи 1 категории 8-9 классов.

3.   См. решение задачи 4 категории 8-9 классов.

4.  См. решение задачи 5 категории 8-9 классов.

5.  Исходя из соотношения Погсона и закона обратных квадратов,  можем записать

  E1/E2=2.512m2-m1=(r2/r1)2. Здесь индексы «1» и «2» соответствуют одному и тому же излучающему телу, находящемуся на расстоянии r1 и r2, соответственно. Таким образом становится очевидным, что разность между двумя зв. величинами, измеренными с разных расстояний, сохраняется постоянной для разных объектов и зависит лишь от отношения квадратов этих расстояний, а не от  светимости тела. Абсолютная звездная величина – звездная величина с расстояния в 10пк, т. е. блеск Юпитера и Солнца измерялся с одинаковых между собой расстояний в обоих случаях. Найдем эту разность для Солнца Dm=5-(-27)=32m. Тогда абсолютная звездная величина Юпитера составит mЮпитера + Dm = -5+32=27m – на пределе обнаружимости для современных телескопов. 

11 классы

1.  См. решение задачи 4 категории 8-9 классов.

2.  Исходя из соотношения Погсона и закона обратных квадратов,  можем записать

  E1/E2=2.512m2-m1=(r2/r1)2. Здесь индексы «1» и «2» соответствуют одному и тому же излучающему телу, находящемуся на расстоянии r1 и r2, соответственно. Таким образом становится очевидным, что разность между двумя зв. величинами, измеренными с разных расстояний, сохраняется постоянной для разных объектов и зависит лишь от отношения квадратов этих расстояний, а не от  светимости тела. Абсолютная звездная величина – звездная величина с расстояния в 10пк~2062650 а. е.. Найдем разность  звездных величин светил на расстояниях в 1 а. е. и 10пк.  m2-m1=Dm=2.5*lg(E1/E2)2=2.5*lg(r2/r1)2=5* lg(r2/r1) (тогда M=m+Dm).  В данной задаче Dm=5*lg(2062650)=31.6m, т. е. абсолютная звездная величина­­­ Солнца Mо=-27+31.6=4.6m, а Юпитера MЮпитера=-5+31.6=26.6m.

3.  Применив обобщенный 3-й закон Кеплера в виде (M+m)T­2/a3=4p2/G, найдем суммарную массу Юпитера и Ио (M+m) = 4p2a3/T­2G, (M+m) = 4*9.87*7.41*1025 /2.34*1010*6.67*10-11=1.87*1027кг. Вообще-то при данной точности входных данных это и есть масса Юпитера, поскольку М>>m. Но методически из этой суммы надо вычесть массу Ио, которую найдем как m=4/3pr3*r. Подставив численные данные, получим (в СИ) m=4*3.14*5.8*1018*3600/3=8.79*1022кг. Окончательно масса Юпитера М=1.87*1027кг-8.79*1022кг=1.87*1027кг в рамках точности задачи.

4.  Синодический период – период повторения одинаковых взаимных конфигураций Земли и планеты. Поскольку период между  повторением одинаковых расположений планет относительно друг друга и Солнца не зависит от точки наблюдения, то синодический период Земли для наблюдателя с Марса равен синодическому периоду Марса для наблюдателя с Земли. Этот же вывод можно получить, просто выведя формулу для синодического движения для наблюдателя на Марсе. Тогда 1/S=1/TЗемли -1/TМарса. Из 3-го закона Кеплера TМарса=(аМарса)3/2, т. е. TМарса=1.87 года, тогда искомый период S=2.14 года.

5.  Светимость звезды в приближении абсолютно черного тела вычисляется по закону Стефана-Больцмана, L=4pR2sT4,  тогда отношение светимостей Солнца через 5 миллиардов лет и сейчас будет равно L1/L0=(R1/R0)2*(T1/T0)4, где индексы «1» соответствуют  будущему состоянию, индексы «0» - нынешнему. Выраженный в а. е., нынешний радиус Солнца составит 695000/1.5*108=4.63*10-3.  Подставляя значения, получим L1/L0=(0.8/4.63*10-3)2*(3000/5800)4=(172.7)2*(0.517)4=29811.5*0.072=2146.4