Динамика процессов конкурентных взаимодействий на рынке технологического трансфера.[1]
, ,
1. Введение
В работах [1-9] показано, что процесс технологического трансфера достаточно адекватно описывается следующей одномерной логистической дифференциальной моделью:
dx/dt = p x N-1 (N-x) (1)
где x = x(t) - число участников технологического трансфера в момент времени t ³ 0;
N - общее число реципиентов переносимой технологии;
Р (р>0) - коэффициент роста участников.
В [9-11] установлено, что процесс трансфера (1) охватывает все множество N:
lim x(t) = N (2)
t ® +¥
для любого решения x (t) уравнения (1) с начальным значением x(0)=x0 , 1£ x0 < N.
Из (2) следует, что модель (1) не учитывает возможности отторжения переносимой технологии Т некоторыми участниками трансфера, что снижает ценность получаемых с помощью такой модели результатов, поскольку в реальных задачах процесс распространения, как правило, порождает также и процесс отторжения по разным причинам, например, вследствие влияния конкуренции или других возмущающих факторов.
В настоящей работе рассмотрен ряд дифференциальных моделей трансфера, учитывающих влияние конкурентной борьбы между фирмами на процесс внедрения переносимой технологии. Такие модели более адекватно отражают воздействие негативных возмущающих факторов на динамику предельных характеристик взаимодействия процессов распространения и отторжения технологии. Также изучено влияние факторов запаздывания на процесс распространения переносимой технологии.
2. Одномерные логистические модели процесса трансфера с учетом конкуренции между фирмами.
Далее будем предполагать, что в процессе трансфера между фирмами-участниками возникает конкурентная борьба, которая оказывает негативное воздействие на процесс распространения переносимой технологии Т. Для описания данной ситуации воспользуемся следующей нестационарной логистической дифференциальной моделью:
dy/dt = py N-1 (N-y) - a(t)y (3)
где y = y(t) - число фирм, участвующих в трансфере Т в момент времени t ³ 0 ;
N - общее число реципиентов технологии Т;
p (p>0) - коэффициент роста числа фирм, вовлеченных в трансфер Т;
a(t) - зависящий от времени коэффициент отторжения технологии Т по причине конкурентной борьбы между фирмами-участницами трансфера Т:
0 при 0 £ t £ t0
a(t) = í
a(0 < a < p), при t > t0
где t0 ³ 0 - момент возникновения конкурентной борьбы между фирмами.
Используя полученные в работах [10-11] результаты, можно показать, что для решений y(t) и x(t) соответственно уравнений (3) и (1) с начальными значениями y(0) = x(0) = x0 справедливы следующие утверждения:
1) для любого t > t0 имеет место неравенство
y(t) < x(t)
2) если 1£ x(t0) < N(a) , где N(a) º N(1- a p-1), то решение y(t), y(t0) = x(t0) , монотонно возрастает при t > t0 и для него имеет место предельное соотношение
lim y(t) = N(a)
t ® +¥
3) если N(a) < x (t0) < N, то решение y(t), y(t0) = x(t0), монотонно убывает при t > t0 , при этом для него выполнено
lim y(t) = N(a)
t ® +¥
4) если y(t0) = x(t0) = N(a), то y(t) º N(a), при всех t ³ t0.
Определенный интерес представляет также модель процесса трансфера с конкуренцией, в которой скорость отторжения переносимой технологии является постоянной величиной:
dz/dt = p z N-1 (N-z) - b (4)
где z = z(t) - число фирм, участвующих в трансфере Т в момент времени t ³ 0;
b(b>0) - число фирм, отторгающих в единицу времени переносимую технологию Т по причине конкуренции.
Перечислим основные свойства решений данной дифференциальной модели:
1) При b<bкр º pN/4 у модели (4) имеется два положения равновесия N1(b) и N2(b), 0< N1(b) < N2(b). Состояние N2(b) устойчиво, а N1(b)-неустойчиво. При 1£ z(0) < N1(b) справедливо соотношение
lim z(t) = 0
t ® +¥
Процесс трансфера в этом случае является затухающим. При z(0)>N1(b) для решения z(t) уравнения (4) выполнено:
lim z(t) = N2(b)
t ® +¥
2) При b>bкр равновесных состояний у модели (4) не существует совсем, и процесс трансфера технологии Т является затухающим при любых начальных численностях z(0) :
lim z(t) = 0
t ® +¥
3) В случае b=bкр устойчивое и неустойчивое положения равновесия модели (4) сливаются, образуя полустойчивое равновесие Nкр = N/2.
Из п. п.1-3 вытекает, что зависимость устойчивой равновесной численности N2 модели (4) от параметра b имеет следующий вид: при увеличении положительного значения параметра b N2(b) сначала монотонно убывает, затем достигает некоторого критического значения Nкр, после чего скачком падает до нуля.
Таким образом, модель (3) описывает ситуации, когда скорость отторжение переносимой технологии нарастает по времени, но число отторгающих фирм относительно невелико. В результате процесс трансфера всегда завершается успешно при любой начальной численности участвующих фирм. Модель (4) описывает ситуации, когда скорость отторжения постоянна и независимо от числа отторгающих фирм возможно как успешное, так и неудачное развитие процесса трансфера. При этом существенное значение приобретает начальная численность фирм-участниц - для успешного завершения процесса она должна быть не ниже N1(b).
3. Двумерные дифференциальные модели конкурентных взаимодействий.
В настоящем разделе рассмотрим двумерную дифференциальную модель процесса технологического трансфера типа Вольтерра-Костицина [12] с дихотомией множества реципиентов N на подмножества внедряющих и отторгающих переносимую технологию Т:
dx/dt = p x N-1 (N-x-y)
dy/dt = gxy - ey (5)
где x = x(t)-число участников трансфера, внедряющих в момент времени t ³ 0 переносимую технологию Т;
y = y(t) - число участников, отторгающих в момент времени t ³ 0 переносимую технологию Т;
N - общее число потенциальных реципиентов Т;
p (p>0)- коэффициент роста числа внедряющих участников;
g(g>0)- коэффициент роста числа отторгающих участников;
e(e>0)-коэффициент замедления роста числа участников, отторгающих переносимую технологию Т.
Модель трансфера вида (5) подробно исследована авторами в работе [13]. Сформулируем основные результаты относительно свойств решений модели (5) в виде следующей теоремы.
Теорема1.
1) Модель (5) имеет нетривиальное состояние равновесия (особую точку) z0 º (x0,y0)T, лежащее в положительном квадранте фазовой плоскости тогда и только тогда, когда коэффициенты модели (5) связаны неравенством
eg-1 < N (6)
Координаты x0,y0 особой точки z0 задаются равенствами
x0 = eg-1, y0= N(1-eg-1 N
2) При выполнении неравенства
e d2 < 4l(pg - ed), (8)
где d º pN-1,
дифференциальная модель (5) имеет грубую нетривиальную особую точку - устойчивый фокус (корни l1,l2 характеристического уравнения модели (5), линеаризованной в окрестности особой точки - комплексные; Reli<0, i=1,2). Численности x(t) и y(t) совершают во времени затухающие колебания.
Если параметры модели (5) изменяются таким образом, что условие (8) превращается в равенство, то особая точка z0 будет лежать на границе устойчивых фокусов и узлов.
При изменении знака неравенства (8) на обратный, в модели (5) происходит бифуркация - особая точка модели становится устойчивым узлом (l1 и l2 - вещественные и отрицательные).
Теорема 1 показывает зависимость динамики развития и взаимовлияния процессов внедрения и отторжения переносимой технологии. При этом выявлено интересное свойство, что предельная численность внедряющих фирм преимущественно зависит от параметров процесса отторжения.
4. Модели технологического трансфера с запаздыванием.
Оценим влияние предыстории процесса технологического трансфера на динамику его текущего развития. Для учета этого влияния вначале рассмотрим, следуя [14-15], одномерную дифференциальную модель процесса технологического трансфера с распределенным непрерывным запаздыванием
du/dt = (j-hu-ò f(t-w) u(w) dw) u (9)
где j-коэффициент роста числа участников процесса трансфера;
h- коэффициент замедления роста числа участников.
Функция f под знаком интеграла в уравнении (9) определяет степень влияния предыстории процесса трансфера на динамику его текущего развития в зависимости от отдаленности во времени этой предыстории от рассматриваемого момента времени t >0. В. Вольтерра называл эту функцию наследственной функцией.
Достаточно полный анализ асимптотического поведения решений модели (9) проведен в работе [14], где сформулирован следующий основной результат.
Теорема 2.
Предположим, что коэффициенты j, h модели (9) положительны, а функция f является непрерывной и абсолютно интегрируемой при t ³ 0 . Пусть кроме того, f(t) ¹ 0 и
h - ò ½f(w)dw½>0
Тогда для любого начального значения u(0)>0 существует единственное решение u(t), t >0 такое, что
а) u(t) >0 для всех t >0 ;
б) при t ® +¥ существует предел
lim u(t) = u0 º j (h+ò f(w)dw)-1 t ® +¥
Таким образом, если наследственная функция f модели (9) непрерывна и абсолютно интегрируема при t ³ 0, то со временем число u(t) участвующих в трансфере фирм неограниченно приближается к равновесному состоянию модели
u0 º j (h+ò f(w)dw)-1
Следствием теоремы 2 является следующее утверждение [16].
Теорема 3.
1) Предположим, что для модели (9) выполняются все условия теоремы 2. Допустим также, что
ò f(w)dw >0 (ò f(w)dw <0).
Тогда для любых ненулевых решений u(t) модели (9) и x(t) логистической модели трансфера без запаздывания
dx/dt = (j-hx) x (10)
таких, что u(0) = x(0), найдется такое число t0 , что при всех t ³ t0 справедливо неравенство
x(t) > u(t) (x(t) < u(t))
2) Допустим, что процесс трансфера технологии Т может быть осуществлен двумя различными способами, описываемыми логистическими дифференциальными моделями с распределенным запаздыванием вида (9)
dy/dt = (j1-h1y-ò f1(t-w) y(w) dw) y (11)
dz/dt = (j2-h2z-ò f2(t-w) z(w) dw) z (12)
Пусть модели (11), (12) удовлетворяют условию теоремы 2, а коэффициенты j1,h1 , j2,h2 и наследственные функции f1,f2 связаны соотношениями
а) j1 ³ j2, h1>0 , h2>0, j1 h1-1 ³ j2 h2-1
б) ò f2(w)dw > ò f1(w)dw >0.
Тогда для любых ненулевых решений y(t) и z(t) соответственно модели (11) и (12) таких, что y(0) = z(0), найдется такое число t1>0 , что при всех t > t1 выполнено неравенство
y(t) > z(t).
Отметим. что предложение 2 теоремы 3 дает достаточные условия знакоопределенности при всех достаточно больших значениях времени функции прироста числа вовлеченных в трансфер участников для логистических дифференциальных моделей процесса технологического трансфера с распределенным запаздыванием вида (9).
Предположим теперь, что запаздывание в логистической модели трансфера является постоянной величиной:
dv/dt = (j-hv (t-t)) v (13)
(t >0 - постоянное запаздывание модели трансфера (13)).
Условие устойчивости нетривиального положения равновесия v0=j h-1 модели (13) имеет следующий вид [17-18]:
jt < p/2 (14)
Условие (14) показывает, что при достаточно большой скорости роста числа участников j и при достаточно большом запаздывании t нетривиальное равновесие модели (13) может быть нарушено. В [17-18] установлено также. что в модели с запаздыванием (13), в отличие от логистической модели трансфера (10), возможно появление колебаний:
а) при выполнении неравенства (14) эти колебания являются затухающими и выполняется предельное соотношение
lim v(t) =j h-1
t ® +¥
б) при jt = p/2 колебания не затухают, но численность остается ограниченной;
в) при выполнении обратного неравенства jt>p/2 амплитуда возникающих в модели (13) колебаний неограниченно возрастает со временем.
Таким образом, введение постоянного запаздывания в логистическую модель процесса технологического трансфера уменьшает устойчивость ее нетривиального положения равновесия и приводит к возникновению колебаний численности вовлеченных в трансфер фирм-реципиентов переносимой технологии.
Литература
1. Экономика научно-технического прогресса. - М.: Прогресс, 1970.
2. Технический прогресс: концепции, модели, оценки. - М.: Финансы и статистика, 1985.
3. , , Рахманкулов методы технологического трансфера в экстремальных экономических условиях. // Автоматика и телемеханика.- 1996.- №2.- С. 126-134.
4. Bass F. M. A New Product Growth Model for Customer Durables // Management Science.-1969.-V.15.- P. 215-227.
5. Davies S. The Diffusion of Process Innovation. - Cambridge, 1979.
6. Gee S. Technological Transfer, Innovation and International Competitiveness. -J. Wiley & Sons, New York, 1981.
7. Stoneman P. L. The Economic Analysis of Technological Policy. - Oxford University Press, Oxford, 1987.
8. Millman A. F. Technology Transfer in the International Market // European Journal of Marketing, 1983, v.17, p. 26-46.
9. Zettelmeyer F., Stoneman P. Testing Alternative Models of New Product Diffusion// Econ. Innov. New Techn.1993.V.2. P.283-308.
10. , Рахманкулов модели процесса технологического трансфера // В кн.: Системные исследования. Методологические проблемы. Ежегодник. - М.: Эдиториал УРСС, 1997, с. 266-276.
11. , , Ахрем дифференциальные модели технологического переноса // В кн.: Нелинейная динамика и управление.-М.: Эдиториал УРСС, 1999, с.143-149.
12. Kostitzin V. Mathematical biology. Harrap: London, 1939.
13. А, Рахманкулов дифференциальные модели процесса технологического трансфера. М.: Наука, 2000. С. 184-189.
14. Miller R. On Volterra’s population equation // SIAM J. Appl. Math.,1966. V.14. P. 446-452.
15. , Об одной логистической модели процесса технологического трансфера с запаздыванием // В сб.: Управление и проектирование на базе интеллектуальных технологий.-М.: МИРЭА (ТУ), 1999, с.80-83.
16. Хейл. Д. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.
17. Модели в экологии. М.: Мир, 1976.
18. , Логофет биологических сообществ. М.: Наука, 1978.
[1] Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № ).
