Домашняя контрольная работа

Домашняя контрольная работа

Содержание работы

1. Найти критические точки функции f(x,y), обозначить буквами, указать на картинке или зафиксировать их отсутствие на картинке (необходимые условия)

2. Исследовать все найденные точки на локальный экстремум (составив матрицу Гессе H и проверив знак 2-го дифференциала при помощи критерия Сильвестра ((достаточные условия))).
3. Найти точки, подозрительные на условный локальный экстремум (необходимые условия) на каждой из четырех линий, заданных условиями gi(x,y) = 0 (i = 1,…,4), обозначить буквами, указать на картинке или зафиксировать их отсутствие на картинке

4. Исследовать все найденные точки на условный локальный экстремум при помощи «окаймленного гессиана» (достаточные условия)

5. Найти вершины параллелограмма и обозначить их буквами на картинке

6. Найти градиент функции f(x,y)

7. Найти и построить (укоротив) эти градиенты в вершинах параллелограмма, в точках условного экстремума, а также в дополнительных удобных точках линий условия так, чтобы с двух сторон точки условного экстремума на линии были точки с градиентом

8. Найти векторы градиентов к левым частям условий gi(x,y) и построить в тех же точках нормали к линиям условий

9. Указать на картинке острый угол градиента функции f(x,y) с линиями условий в тех же точках, кроме точек условного экстремума.

10. Указать стрелками направление роста функции f(x,y) вдоль линий условия на каждом промежутке (конечном или бесконечном)

11. Проверить, что результаты пп 10 и 4 согласуются

12. Найти значения функции f(x,y) в точках пп 1, 3 (входящих в параллелограмм) и 5.

13. Найти точки с наибольшим и наименьшим значениями функции f(x,y) на параллелограмме и сами эти значения.

14. Проверить, что результаты пп 13, 10 и 2 согласуются

15. Исследовать на локальный экстремум функцию u(x,y,z)=f(x,y)+h(z). Найти критические точки, записать матрицу Гессе в них, определить: являются ли эти точки локальными экстремумами.

Вариант 2. Исследовать функцию двух переменных

f2(x, y) = x3+3x2-24x-2y3-6y2

В области, ограниченной прямыми:

x+3y=0

x+3y+7=0

2x-y-7=0

2x-y=0

В пункте 15 рассмотреть функцию h(z)=z3-7.5z2+18z+1

Вариант 4. Исследовать функцию двух переменных

f4(x, y) = 12y - y3 - 6x2-x3

В области, ограниченной прямыми:

x+3y-10=0

x+3y-0.5=0

2x-y-7=0

2x-y+3=0

В пункте 15 рассмотреть функцию h(z)=2z3+3z2-12z-21

Вариант 2

Вариант 4