Лекция № 4 (27.09.11)

Лекция № 4 (27.09.11)

Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца

Предложение 2. Координаты вектора, соответствующего данному направленному отрезку, равны разности соответствующих координат конца и начала этого отрезка.

Другими словами, если даны точки A = (x1; y1; z1) и B = (x2; y2; z2), то = {x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1}. Докажем это.

Обозначим (неизвестные пока) координаты вектора через {α; β; γ}. Имеем равен­ство += (O − начало координат). Координаты вектора равны {x1; y1; z1} (по определению координат точки), аналогично = {x2; y2; z2}. В силу предложения 1 имеем:

{x2; y2; z2} = {x1; y1; z1} + {α; β; γ} = {x1 + α; y1 + β; z1 + γ}.

Таким образом,

x2 = x1 + α; y2 = y1 + β; z2 = z1 + γ

(координаты вектора определяются единственным образом), откуда α = x2 − x1, β = y2 − y1 и γ = z2 − z1, QED.

1.2.2. Деление отрезка в данном отношении

Постановка задачи. Пусть в пространстве (на плоскости) даны две различные точки A и B. Тогда однозначно определена проходящая через них прямая l. Возьмём те­перь произвольную точку C на этой прямой с единственным условием C ≠ B. Тогда вектор будет коллинеарен вектору , и при этом ≠ 0. В силу предложения о двух колли­неарных векторах из п. 1.1.2нцао отрезка.

ваются. (лекция № 2 от 08.09.09) существует, и притом единствен­ное, число λ такое, что = λ.

Определение. В описанной ситуации говорят, что точка C делит отрезок AB (но не BA!) в отношении λ.

Иногда это выражают в виде равенства

λ =

Надо только иметь в виду, что в этой формуле берутся не длины, а величины отрезков AC и CB. Если отрезки AC и CB одинаково направлены, то этому отношению присваивается знак плюс, если противоположно направлены − знак минус. Так получается варьянт опре­деления, эквивалентный вышеприведённому.

Заметим, что λ положительно, если точка C лежит на прямой l между точками A и B, и оно отрицательно, если точка C лежит на прямой l вне отрезка AB. Если C = A, то λ = = 0. При λ = 1 имеем середину отрезка. Можно доказать, что λ принимает любые значения, кроме −1 (мы этого доказывать не будем).

Задача. Даны координаты точек A и B и число λ. Требуется найти координаты точки C.

Решение. Сначала решим задачу в векторном виде. Пусть O − сначала произволь­ная точка пространства (плоскости). Имеем:

+=;

=−;

=+=+ λ=+ λ(−);

(1 + λ) =+ λ;

(Как было сказано выше, λ не может равняться −1.) Последнее равенство можно считать решением нашей задачи в векторном виде.

Пусть теперь O − не произвольная точка, а начало координат. Пусть также

A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2), C = (x*, y*, z*).

Тогда

x* = absc. C = absc. ==

==

Аналогично для других координат. Окончательно имеем формулы:

x* =

y* =

z* =

Для середины отрезка, т. е. для случая λ = 1, имеем особенно простые формулы:

x* =

y* =

z* =

т. е. мы доказали

Предложение. Координаты середины отрезка суть средние арифметические соот­ветствующих координат концов этого отрезка.

§ 1.3. Скалярное произведение

1.3.1. Понятие проекции

Определение 1. (Направленной) осью называется прямая линия с выбранным на ней одним из двух возможных направлений.

Обычно направленная ось изображается в виде прямой со стрелкою.

Определение 2. Пусть дан вектор a и ось l. Реализуем вектор a в виде направлен­ного отрезка : a =. Пусть A¢ − (ортогональная) проекция точки A на ось l, а B¢ − про­екция точки B. Тогда вектор называется (ортогональной) проекцией (а точнее, век­тором проекции) вектора на ось l.

Заметим, что слово проекция может употребляться в трёх различных значениях.

1. Только что определённый вектор проекции (проекция как вектор), который мы будем обозначать .

2. Величина проекции (число со знаком), которую мы будем обозначать . Это есть число, равное длине вектора проекции, снабжённое знаком плюс, если вектор a и ось l одинаково направлены, и знаком минус, если они противоположно направлены.

3. Длина проекции. Обозначение: ||.

1.3.2. Связь между проекцией и линейными операторами

Мы рассмотрим следующие свойства проекций векторов:

1°.

2°.

3°.

4°.

Докажем сначала первое из них.

Теорема 1. Проекция суммы двух векторов на ось равна (геометрической) сумме проекций этих векторов на данную ось. (Здесь проекция понимается как вектор.)

Доказательство. Пусть a и b − данные векторы, l − ось, на которую мы их проек­тируем. (Кстати, в формулировке всех четырёх утверждений можно заменить ось на лю­бой ненулевой вектор.) Реализуем вектор a как направленный отрезок . К его концу приложим вектор b, т. е. найдём такую точку C, чтобы = b. (Это возможно, притом единственным образом.) Обозначим проекции точек A, B и C через A¢, B¢ и C¢ соответст­венно. Тогда

QED.

Лемма. Координаты вектора суть величины проекций вектора на координатные оси.

Доказательство проведём для абсцисс, для других координат − аналогично. Пусть дан вектор a, который будем представлять приложенным к началу координат: a = . Пусть Q − проекция точки M на координатную плоскость xOy. Разложим наш вектор a в сумму трёх:

a = =+=++,

где P и R − ортогональные проекции точки Q на оси абсцисс и ординат соответственно. Однозначным образом найдутся такие числа λ, m и n, что

= λe1, = me2, = ne3.

Эти числа мы назвали координатами вектора (см. п. 1.2.1, конец лекции № 3).

Теперь заметим, что отрезок MP по школьной теореме о трёх перпендикулярах перпендикулярен оси абсцисс, так что точка P есть (ортогональная) проекция точки M на ось абсцисс. Следовательно, вектор есть проекция вектора a на ось абсцисс. С другой стороны, число λ равно величине вектора , т. е. его длине со знаком плюс, если он сонаправлен с осью абсцисс, и со знаком минус, если они противоположно направлены. Отсюда получаем требуемое утверждение.

Теорема 2. Величина проекции суммы двух векторов на ось равна сумме величин проекций этих векторов на данную ось. (Здесь уже речь идёт о проекции как числе, снаб­жённом знаком.)

Доказательство. Введём в пространстве декартову прямоугольную систему коор­динат так, чтобы данная ось служила осью абсцисс. (Это можно сделать многими спосо­бами.) Тогда по лемме

Prl (a + b) = abs (a + b) = abs a + abs b = Prl a + Prl b,

QED.

Аналогично доказываются свойства 2 и 4 проекций.

1.3.3. Определение скалярного произведения

Определение 1. Для любых двух векторов a и b (плоскости или пространства) их скалярным произведением называется число

(a, b) = |a|∙|b|∙cos Ð(a, b). (1)

При этом угол между векторами a и b измеряется так, чтобы он был неотрицатель­ным и не превосходил 180° (предполагаем, что векторы приведены к общему началу). То­гда этот угол определён однозначно, за исключением случая, когда хотя бы один из двух данных векторов равен 0. В этом последнем случае величина угла является полностью не­определённой (или можно считать, что любое число является значением этого угла). Заме­тим, что если хотя бы один из векторов a или b нулевой, то в соответствии с определением (1) их скалярное произведение равно нулю (или можно это считать дополнительным со­глашением, поскольку косинус угла является полностью неопределённым).

Определение 2. Два вектора называются ортогональными[1], если угол между ними равен 90°.

Добавим, что нулевой вектор мы будем считать ортогональным любому другому (а также самому себе). Это соглашение можно объяснить следующим образом: поскольку в этом случае любое число можно считать значением угла, то, в частности, можно считать, что угол равен 90°.

Предложение. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Доказательство. Очевидно из определения, т. к. если произведение трёх чисел в правой части равенства (1) равно нулю, то либо хотя бы один из двух данных векторов имеет нулевую длину и, следовательно, сам нулевой и, значит, ортогонален второму дан­ному вектору, либо оба вектора ненулевые, но тогда косинус угла между ними равен 0, а значит, сам этот угол равен 90°.

[1] В математике используются три синонима: перпендикулярный, ортогональный и нормальный.