Многокритериальный выбор судового энергооборудования

Многокритериальный выбор

судового энергооборудования*[1]

A.Grigoriev, R.Ivanovski, K.Sergeev

Постановка задачи

Проектирование новых судов, модернизация эксплуатируемой техники неизбежно связаны с проблемой выбора необходимого оборудования. При выборе должны быть учтены многие факторы (мощность, масса и габариты, эксплуатационные характеристики и проч.) Применительно к выбору конкретного элемента (двигателя, трансформатора, преобразователя) задача классифицируется как задача выбора однотипных элементов, т. е. элементов, обладающих одинаковым набором характеристик. Ниже описываются возможные подходы и принятая методика решения задачи применительно к проблеме выбора гребного двигателя.

Формализация и методы решения задачи

Определим набор решений, из которого следует осуществлять выбор. Введем множество возможных (или допустимых) решений Х с минимальным числом элементов, равным 2.

Нередко вместо понятия решение используют также термины, как альтернатива, вариант, план, стратегия и т. п. Выбор решения С(Х)É Х состоит в указании среди допустимых такого решения, которое объявляется наилучшим в смысле удовлетворения некоторому множеству условий (критериев). Сложность задач многокритериального выбора известна. Она связана с невозможностью априорного определения того, какое решение считать наилучшим. Известны подходы к решению задач многокритериального выбора [1, 2].

Метод главного критерия. В качестве целевой функции выбирается один из функционалов, например f1 и решается однокритериальная задача, в которой остальные функционалы участвуют в виде ограничений. Применение такого метода обычно наталкивается на трудности, связанные с возможным наличием нескольких «главных» критериев, находящихся в противоречии друг с другом.

Метод линейной свертки. Это наиболее часто применяемый метод «скаляризации» (свертки) задачи многокритериального выбора. Он основан на объединении всех частных целевых функционалов в виде взвешенной суммы с весами ai; . Весовые коэффициенты ai при этом рассматриваются как показатели относительной значимости отдельных частных функционалов. Однако, при наличии существенно разнохарактерных частных критериев обычно бывает достаточно сложно указать набор весовых коэффициентов ai.

Метод Парето. Метод опирается на аксиому (аксиому Парето): для всех пар допустимых решений , для которых имеет место неравенство , выполняется соотношение .

Здесь означает выполнение покомпонентных неравенств для всех i = 1, 2, … m, причем Это означает, что компоненты первого вектора не меньше соответствующих компонент второго вектора , причем по крайней мере одна компонента первого вектора строго больше соответствующей компоненты второго вектора.

Решение называется оптимальным по Парето (парето-оптимальным), если не существует такого возможного решения для которого имеет место неравенство .

Если в приведенном определении формально положить число критериев равным единице, т. е. , то оно превратится в определение максимального элемента функции f1 на множестве . Это означает, что понятие парето-оптимальности можно рассматривать как обобщение метода главного элемента на случай нескольких критериев.

Все парето-оптимальные решения образуют множество Парето:

Пусть – некоторое парето-оптимальное решение и – соответствующий ему парето-оптимальный вектор. В соответствии с определением, если для некоторого решения , отличного от , оказывается выполненным неравенство , то обязательно должен найтись хотя бы один номер j , при котором верно неравенство . Таким образом, парето-оптимальное решение – это такое допустимое решение, которое не может быть улучшено (увеличено) ни по одному из имеющихся критериев без ухудшения (уменьшения) по какому-то хотя бы одному другому критерию.

Пусть множество возможных векторных критериев состоит из конечного числа элементов и имеет вид .

Для того чтобы на основе определения множества Парето построить его, следует каждый из векторов сравнить со всяким другим вектором с помощью отношения ≥ . В случае, если для какой-то пары векторов неравенство выполняется, то второй вектор по определению не может быть парето-оптимальным. Просмотрев таким образом все возможные пары и удалив из множества все векторы, которые не могут быть парето-птимальными, в итоге придем к множеству Парето.

Этот алгоритм изображен на рис.1.

Рис. 1. Блок-схема алгоритма выделения множества Парето

Применив метод Парето, получаем множество несравнимых по принципу Парето решений. Дальнейший выбор на этом множестве целесообразно осуществить, применив t-упорядочение, опирающееся на сопоставлении критериев по принципу важности..

Критерий fi более важен, чем критерий fj (fi > fj), если векторная оценка менее предпочтительна, чем оценка ,

Рассмотрим пример. Пусть Z = (1, 0.5, 0.1, 0.2); W = (0.4, 0.9, 0.1, 0.2) и пусть утверждается, что критерий важнее, чем . Эти векторные оценки, очевидно, несравнимы по Парето. Рассмотрим оценку W’ = (0.8, 0.5, 0.1, 0.2), полученную из W с помощью "переноса" числа 0.4 со второй позиции в первую. Имеем, , т. к. более важному критерию в оценке W соответствует большая оценка (0.8 вместо 0.4). И, поскольку имеем доминирование по Парето, то естественно считать и в результате .

Таким образом, оценки Z и W оказываются уже сравнимыми, и оценка W может быть отброшена. Здесь везде предполагается, что рассматриваемые отношения доминирования являются транзитивными.

Процедура упорядочения может быть применена также и рекурсивно: на каждом шаге более важным критерием последовательно считаются все критерии.

Методика решения задачи. Применим метод Парето к задаче выбора судового гребного двигателя. Поставим задачу следующим образом: из множества уже существующих (выпускаемых промышленностью) двигателей выбрать наиболее подходящий, если же такой выбор невозможен, требуется сформировать техническое задание для изготовления необходимого двигателя.

Все двигатели обладают одинаковым набором параметров,:

·  мощность,

·  число оборотов вала,

·  тип,

·  стоимость двигателя,

·  режим работы,

·  зазор между ротором и статором,

·  шумность,

·  диапазон регулировок,

·  массогабаритные характеристики.

Для решения задачи строится массив данных двигателей, отсортированный по возрастанию их мощности.

Рассматриваемая задача является стохастической: реальные параметры двигателей могут имеет вероятностные распределения. Так, для ряда параметров (например, стоимость) могут иметь место односторонние распределения. Для других параметров (массогабаритные характеристики, мощность) распределения могут быть двусторонними.

Кроме того, добавляется еще один параметр: выпускается ли данный двигатель промышленностью или нет. Очевидно, данный параметр принимает значения true либо false.

Таким образом, описанный массив принимает следующий вид:

Рис. 2. Вид массива двигателей

Из данного массива выделяется множество Парето по алгоритму, описанному выше, затем, на построенном множестве применяется алгоритм t-упорядочения. Данная операция повторяется некоторое количество раз (прогонов), на каждом из которых значения случайных параметров меняются согласно выбранному закону распределения. Процедуру иллюстрирует рис. 3.

Рис. 3. Методика решения задачи

Итогом работы данного алгоритма является распределение количества выборов элементов массива от мощности двигателей, изображенная на рис.4.

Последним этапом описываемой методики является построение асимптотической интервальной оценки математического ожидания приведенного выше распределения [3]. Доверительный интервал для оценки математического ожидания определяется выражением:

где: - математическое ожидание, - выборочное среднее, – квантиль нормального распределения, - уровень значимости.

Рис. 4. Распределение числа выборов элементов массива

от мощности двигателей

Конечным результатом работы алгоритма является:

-номер элемента массива – двигатель, уже выпускаемый промышленностью – если такой выбор возможен,

-основа для технического задания на постройку двигателя: необходимые параметры и значения допустимых отклонений – в случае если не удается выбрать двигатель из списка выпускаемых.

Литература

1.  Ногин решений при многих критериях. Учебно-методическое пособие. – СПб.: Издательство «ЮТАС», 2007.

2.  Черноруцкий принятия решений. – СПб.: БХВ – Петербург, 2005.

3.  Ивановский вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. – СПб.: БХВ - Петербург, 2008.

[1] Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы, грант 2.1.2/5534