Олимпиада по физике ЮЗГУ – 2011

Олимпиада по физике ЮЗГУ – 2011

Решения

Задание 1. Колесо радиусом R = 1 м катится без проскальзывания по горизонтальной дороге с ускорением а = 4 м/с2. Какие по модулю ускорения относительно дороги имеют точки А и В колеса когда скорость его центра 1м/с.?

Решение.

В поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центром колеса, все точки на ободе движутся по окружности радиусом R. Так как качение колеса происходит без проскальзывания, то модуль тангенциального ускорения точек на ободе аτ = а, а модуль нормального ускорения этих точек аn = v2/R. При переходе к неподвижной системе отсчета к вектору ускорения каждой точки нужно прибавить вектор ускорения центра колеса. В результате для точек А и В получаем:

и .

Задание 2. Поплавок удочки длиною L на 2/3 своей длины погружен в воду. После поклевки он начал совершать малые колебания. Определить период колебаний поплавка.

Решение.

Т. к. поплавок плавает, погрузившись на 2/3 длины в воду, то его плотность ρт равна 2/3 плотности воды ρв.

Пусть, в результате поклевки, поплавок притопился на расстояние х. Тогда сила Архимеда возросла и равнодействующая силы Архимеда и силы тяжести направлена вверх, а второй закон Ньютона запишется:

Дифференциальное уравнение

гармонических колебаний

И циклическая частота

Задание 3. Циклический процесс состоит из изохоры, изобары и изотермы. Определить максимальное КПД цикла, если давление может меняться от P1 до P2.

Решение.

Оптимальным является изобарическое сжатие при давлении Р2 < P1 и в интервале изменения температуры от Т1 до Т2, далее изохорическое нагревание при изменении давления от Р2 до Р1 и в интервале изменения температуры от Т2 до Т1, затем изотермическое расширение при температуре Т1 от давления Р1 до Р2. Пусть количество газа равно одному молю.

Количество тепла полученное от нагревателя

Количество тепла отданное холодильнику

Q2= Cp (T1 – T2)

Учитывая отношения получим что:

(P1/P2) = (V2/V1)= (T1/T2)= n,

h = 1 – (Q2/ Q1) =1 – (Cp (T1 – T2)/ Cv(T1 – T2) + RT1 ln(P1/P2))=

=1 – (Cp (1– T2 /T1))/ (Cv(1– T2 /T1) + R ln(P1/P2)) = (разделили на T1 )

Задание 4. Перемычка массы m с сопротивлением R лежит на двух горизонтальных параллельных рельсах, расстояние между которыми равно a. К рельсам на время t подключили источник с ЭДС, равным e. Какое вертикально направленное магнитное поле В необходимо создать, чтобы скорость перемычки за время t достигла максимального значения.

Решение.

Перемычка разгоняется силой Ампера

По второму закону Ньютона IaB=ma= m(dV/dt)

В движущейся в магнитном поле перемычке возникает ЭДС индукции

По второму правилу Кирхгофа IR = e -BaV или

I= (e - BaV)/R,

Подставляем выражение для тока в уравнение второго закона Ньютона получаем:

Введя обозначения - a = (B2a2/m R), b = e / Ba, и подстановку U = (V - b), Uo = - b, dU=dV, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Возвращаясь к прежним обозначениям, получим функциональную зависимость скорости от индукции магнитного поля:

Так как скорость должна быть максимальной, то её производная по индукции магнитного поля В должна равняться нулю:

Где c = B2a2 t /m R

Решением последнего уравнения являются с=0 (не подходит по физическому смыслу) и с= 1.26 т. к.

c =1.26= B2a2 t /m R

B2 = 1.26 m R/ a2 t

Задание 5 Паук и муха находятся на поверхности прозрачного стеклянного шара, с радиусом R = 2 см и показателем преломления n = 1,53. Где на поверхности шара должна находиться муха, чтобы паук не мог увидеть, хотя бы часть её тела? Считать, что высота мухи и глаза паука находятся на высоте h = 5 мм над поверхностью шара.

Решение.

Из рисунка видно, что ситуация симметрична относительно вертикальной оси симметрии (в точке А находятся глаза паука) и муха под углами отсчитанными от центра шара меньшими, чем b1 (направление ОВ) будет видна пауку над поверхностью шара. Из равнобедренного треугольника АВО минимальный угол b1 равен:

.

При углах больших, чем b2 (направление ОС), паук будет видеть изображение мухи, находящейся с противоположной стороны шара. Угол b2 будет, как видно из рисунка определяться предельным углом полного внутреннего отражения α, который равен:

.

Поэтому:

Ответ: Муха не будет видна пауку, если она находиться на поверхности шарового слоя от оси симметрии под углами 73,60 ≤ b ≤135,20 (не выходит за сектор ВС).