Пифагорейский космос

© 2008. ПИФАГОРЕЙСКИЙ КОСМОС.

Как подчёркивалось Кантом и Брауэром, интуиционистская т. зр. связана с идеей времени и с идеей математической "конструкции". […] Для Брауэра существование математических сущностей и возможность их построения являются синонимами, и эта частная теорема "не истинна и не ложна до тех пор, пока у нас нет конструктивного метода для решения этого вопроса. С другой стороны формалистические и логистические философские направления в математике основаны на вере в безвременной характер математического существования". Эта математическая идея может рассматриваться как конечный результат развития той линии мышления, которая началась с Платона. Платоновская философия формы была основана на критическом анализе пифагорейской философии числа [1].

Это позволяет считать Платона основоположником неопифагорейства, подменившего нумерологию оккультизмом и избавившего математику от столь мощного хронологического средства, как гармоническая доктрина Пифагора. Содержание последней выводится скорее из анализа пифагоровой шкалы, чем из того, что известно из источников. Однако, пользуясь выражением "античная теория музыки", следует помнить, что под таковой понимаются фрагменты сочинений примерно двух десятков авторов, разбросанных по тысячелетнему (считая от Пифагора до Боэция) периоду, и что их совокупность мало напоминает целостную концепцию. Доминанта этой разноречивой картины как раз и состоит в неопифагорействе, обусловленном как закрытостью и, главное, сложностью пифагорейской математики, так и стремлением использовать её материалы, обходясь без пифагорейского образования.

Соответствие Платона этим условиям надёжно опровергает сообщение Гермиппа о том, что, приехав в Сицилию к Дионисию, он купил [книгу пифагорейца Филолая у его родственников] за сорок александрийских мин серебра и списал оттуда "Тимей" (Л.432) [2].

Так, невозможно поверить, что, излагая учение о сотворении тела космоса, математик Тимей мог утверждать о сопряжении плоскости, для которого достаточно одного среднего члена, тогда как трёхмерные тела сопрягаются только через два средних члена (Тимей. 32) [3]. Загадочность этого высказывания не оставляет сомнений в авторстве философа Платона, судя по всему применившего чисто нумерологическое представление об арифметической, геометрической и гармонической серединах к трактовке трёхмерной системы двухмерных систем тонов - объекта гармонической доктрины Пифагора, недоступного пониманию тех, кто не усвоил концепцию динамиса, т. е. счёта степенями, ничем существенным не отличающегося от логарифмических представлений нынешней математики [4].

Столь же красноречиво учение о сотворении души космоса. Пифагореец Тимей не мог не знать, что любая ступень пифагоровой шкалы является членом геометрических прогрессий со знаменателями 2 и 3, т. е. интервальным числом 3Ц/2ц, где Ц - номер "квинтового" переноса, которым она получена, ц - число "октавных" [5] переносов, переводящих её в пределы данного дихорда (тоники, т. е. ступени любого данного Ц, рассмотренной вместе с её "октавным" переносом). Если эта фигура числа [6] в самом деле сотворена богом, то он избавил себя от всех дальнейщих хлопот, поскольку и любые деления целого на части, и любые заполнения всех образующихся при этом промежутков, обеспечены изменением значений Ц и только Ц (изменения ц способны расширять систему к басу и дисканту, но не меняют её структуру).

Платон создал божественный ум по собственному образу и подобию. Отсюда "космический семичлен" (выражение ) 1, 2, 3, 4, 8, 9, 27, итог первых трёх операций творения (Тимей. 35), обеспечивший занятость чреды поколений мыслителей. Отсюда и "психические" (выражение Псевдо-Плутарха), т. е. всё те же арифметические, геометрические и гармонические середины, подменяющие пифагорово возведение тройки в 4-ю, 5-ю и 6-ю степени произволом актов заполнения промежутков "семичлена", стяжавших восхищённую молву противников математических излишеств.

Аристоксен предстаёт в этой среде как автор наиболее полного из дошедших до нас ранних трактатов [7] и как герой небезызвестного спора каноников и эстетиков. Увы, его полемический энтузиазм сочетается с кризисом понимания пифагорова динамиса [8]. Отсутствие источников не позволяет судить о состоянии античной теории на протяжении последующих трёх столетий. Более поздним сочинениям присущи все недостатки неопифагорейства. О дальнейшем упадке свидетельствует и трактат Птолемея [9] (его номенклатуры ступеней по тесису или положению и по динамису или значению, как и большинство античных шкал, дошедших до нас в его трактовке, никак не связаны со счётом степенями), и скорее эклектические, чем дискурсивные построения Боэция [10]. Последний имеет все основания считаться инстанцией, обеспечившей внедрение античной теории в средневековые трактаты - всё ещё дающий себя знать пролог к нынешнему музыковедению.

Вернёмся к критике пифагорейской математики. [Платон,] - продолжает Уитроу, - очистил [её от] "арифметического" содержания. Последнее связывалось с временем, процессом и порождением, так как в более строгом смысле пифагорейцы считали, что числа порождаются непрерывным прибавлением "одного, или арифметической единицы". (Их теория единицы и диад весьма похожа на теорию Брауэра.) Поэтому, хотя Платон и рассматривал время как существенную черту чувственно воспринимаемого мира, он строго исключал его из чистой геометрии с и только с вечным миром идеальных форм [11].

Здесь неявно действует аргумент самой ранней критики: "Многие эллины, как мне известно, думают, будто Пифагор говорил, что всё рождается из числа, - сообщает Теано, жена Пифагора (О благочестии. Л.149), и продолжает, - между тем он говорил, что всё возникает не из числа, а согласно числу, так как в числе - первый порядок, по причастности которому и в счислимых вещах устанавливается нечто первое, второе и т. д." Но одно дело число как ноэтическое иное реальности, другое – его номинальная данность, из чего ясна важность контроля различий между числом и символом числа. Ослабление этого контроля характеризует и ранние доктрины (неопифагорейство, оккультизм и т. п.), и нынешнюю математику. Есди считать критикой тот факт, что Платон из каких-то соображений предпочёл геометрические объекты, т. е. визуально данные символы числа, то перед нами чистейшей воды критика.

Одно из таких соображений заключается в том, что геометрический подход допускает исключение хронологического аспекта. Известно, что английский математик У. Клиффорд высказал в 1875 г. мысль о том, что "теория кривизны пространства намекает на возможность описания материи и движения на языке лишь протяжённости" [12]. Известно также, что геометрия благополучно просуществовала до конца XIX века без аксиом порядка и непрерывности, что легко объясняется хронометрической семантикой этих понятий. Гораздо труднее решить, мог ли предвидеть этот шанс Платон.

Во всяком случае платоновская философия вневременной формы не заменила и даже не обновила пифагорейскую математику. "Любое постижение в любом частном случае, - сообщает неопифагореец Ямвлих (Теологумены арифметики. IV), - может осуществить какой-либо один из четырёх научных методов: (постижение) количества вообще и в более частном смысле количества самого по себе – арифметика, количества же в отношении к другому [т. е. времени] – так же и мусическое искусство; а постижение величины вообще и в более частном смысле покоящегося количества – геометрия, количества же движущегося и упорядоченно изменяющегося – сферическое искусство [т. е. астрономия]".

Что до астрономии, то представлять порядок планет [13] как        (Тимей. 38) означает путать эпициклы с деферентами. Так называются элементы планетной орбиты, различаемые земным наблюдателем, для которого - в силу вращений Земли - планета совершает эпициклы, то есть движется, то совпадая с движением сферы неподвижных звёзд, то навстречу ему. Сами же эпициклы перемещаются по деференту, на основании которого и оценивается положение планетной орбиты в геоцентрическом порядке. Меркурий и Венера отличаются от прочих планет тем, что в своём движении по эпициклам оказываются то между Землёй и Солнцем, то за последним. Однако их деференты остаются между Землёй и Солнцем. Это зафиксировано порядком       , установленным вавилонскими астрономами задолго до Пифагора и фигурирующим в пифагорейской гармонии сфер (ср.: Никомах. Гармоническое руководство. 6, 7), что усиливает уверенность в том, что Тимей не является автором "Тимея". Впрочем, вышеупомянутые детали сотворения тела космоса, позволяют считать обсуждаемый диалог Платона палимпсестом пифагорейского сочинения.

Что до "чистой геометрии", то никакая космология не обходится без концепции времени. Платон представляет предмет поистине прекрасным слогом: "Устрояя небо, [бог] вместе с ним творит для вечности, пребывающей в едином, вечный же образ, движущийся от числа к числу, который мы назвали временем. Ведь не было ни дней, ни ночей, ни месяцев, ни годов, пока не было рождено небо, но он уготовил для них возникновение лишь тогда, когда небо было устроено. Всё это - части времени, а "было" и "будет" суть виды возникшего времени, и, перенося их на вечную сущность, мы незаметно для себя делаем ошибку. Ведь мы говорим об этой сущности, что она "была", "есть" и "будет", но, если рассудить правильно, ей подобает одно только "есть", между тем как "было" и "будет" приложимы лишь к возникновению, становящемуся во времени, ибо то и другое суть движения " (Тимей. 37d, е).

Тем яснее, что вряд ли существовал философ, более далёкий от осознания связи модусов времени с причинной структурой мира, чем Платон. Существование связи доказал Лейбниц [14]. Однако важный щаг в этом направлении сделан Зеноном Элейским.

Дело в том, что t-ритмы, т. е. арифметические прогрессии длительностей, считаются структурой времени на том основании, что вращение небесной сферы, смены фаз Луны, и т. п. ритмы воспринимаются нами как изометрические. Мы не можем менять этот модус восприятия (в силу его врождённости) по собственному произволу, что имеет важные эпистемологические последствия. Если бы, к примеру, в природе имелись разумные существа, изометрически воспринимающие τ-ритмы, т. е. геометрические прогрессии длительностей, нам было бы трудно понять их взгляды на прошлое, будущее, причинность и т. п.

Иллюстрацией служат трудности, воздвигнутые перед мыслителями Зеноном. За единицу времени гонки Ахиллеса и черепахи он принял длительность t, требующуюся для того, чтобы Ахиллес преодолел расстояние, отделявшее его от черепахи в момент начала этой длительности. Легко видеть, что прогрессия зеноновых длительностей является τ-ритмом, то есть бесконечна (t1 > t2 > t3 >…, но log t1 = log t2 = log t3 =…) Так становится недостижимым будущее, выглядящее в линейном масштабе времени неизбежным. Иными словами, логическое следование зависит от структуры времени, имплицируемого дискурсией. «Если логика исключает время, - замечает Броуд, - то тем хуже для логики» [15].

Что до космологии, то, пользуясь идеей Козырева [16], можно сказать, что непрекращающееся "теперь" платоновой вечности делает его космос миром с бесконечно слабыми причинными связями, сюжетом для квантовомеханической фантастики.

Попутно отметим, что эти факты порождают сомнения в следовании утверждений Платона о становлении из платоновых же категорий (раздельное тождество в подвижном покое сущего [17]). Похоже, что и этот компромисс с собственными достижениями, и само редактирование Тимея продиктованы стремлением "досказать" пифагорово учение, преодолеть его фрагментарность, освободить его от школярских искажений, тем самым стремлением, которому было суждено стать движущей силой каббалистики, розенкрейцерства, масонства и т. п. мистических течений европейского средневековья. Остаётся добавить, что в обращении к мистицизму нет ничего дурного. Свидетельствуя о жажде истины при дефиците проницательности, оно достойно скорее сострадания, чем порицания.

Платон был менее опрометчив, если бы мог предвидеть, что освоение пифагорова наследия потребует теоретических завоеваний ХIХ-ХХ вв., в частности, таких инструментов, как теория групп, комбинаторная математика, математическая логика. Что до наследия, то наименее сомнительными, наиболее известными, ёмкими, многополезными и, увы, всё ешё не вполне постигнутыми его деталями являются теорема Пифагора и пифагорова шкала.

Теорема о квадратах сторон прямоугольного треугольника была известна до Пифагора, но предшественникам не далась та же глубина её понимания. Не всё ясно и преемникам. Согласно Вейлю, выражающему популярное мнение, проблема континуума имеет все основания носить имя Пифагора [18]. Первым из этих оснований считается проблема иррациональностей, повлёкшая издержки традиционного анализа непрерывности с конципированием таких оксиморонов, как статическая переменная Вейерштрасса.

Неявный, но доминирующий мотив состоит в том, что традиционная математика апеллирует к позиционным символам чисел, тогда как иррациональные числа не могут иметь конечного позиционного текста (вот она, номинальная данность!). Между тем древние греки представляли числа иначе (например, гномон, мезолабиум), что позволяло им не считать иррациональными числа, соизмеримые в степенях (Евклид. Начала. Х. 5). Иными словами, ресурс теоремы Пифагора пропорционален пытливости пользователя.

Что до номинальной данности, то т. наз. алгебраические иррациональности несомненно конципированы на том основании, что отношения несоизмеримых величин непредставимы конечным позиционным текстом, поскольку не исчерпываются конечным числом линейных операций. Математики античности, использовавшие конфигурационные тексты, не считали иррациональными числа, соизмеримые в степенях, обогащая континуум (вот он, ресурс теоремы Пифагора!) классом величин, отношения которых исчерпываются конечным числом нелинейных операций и предусматривают исчисление дробными степенями одного числа, увы, не понятое преемниками (и историками) и заново открытое в XIV-XVI вв. Его материал был назван логарифмами и отнесён к т. наз. трансцендентным (т. е. не поддающимся операциональной идентификации) иррациональностям.

Существование учения Пифагора о соизмеримости и несоизмеримости засвидетельствовано Проклом, Евдемом, Ямвлихом (Л.141,152). Историки усматривают в открытии иррациональных чисел "потрясший греческих математиков кризис" [19] лишь потому, что игнорируют и этот факт, и вышеупомянутый тезис Евклида, и счислительные импликации модуляций из рода в род и из системы в систему, используемых античной музыкой [20].

Далее, согласно сведениям антологии "Мнения философов", "Пифагор считает время Сферой Объемлющего (=небосводом"; Л.484), тем самым трактуя космос как хронометрически данное число с гармонией сфер (= системой пифагоровой шкалы) в качестве формы. Понятие 'система' имеет ключевое значение и требует специального обсуждения.

Представим себе, что некто, систематизируя библиотеку, расположил книги в порядке убывания формата. Вообще говоря, системой [21] может оказаться любая часть универсума, взятая для рассмотрения, и, скажем, в индустриальной сфере размеры книг становятся степененями свободы (=независимыми компонентами, "измерениями") издательского стандарта. Но, не имея связи с тематикой, содержанием, именами авторов и т. п., они не являются компонентами систематического каталога. Порядок книг по формату разбивается последним на неопределённо многие неупорядоченные части, то есть выглядит в его системе случайным или, что вернее, имеет в ней неопределённое число степеней свободы. Между тем издевательское высказывание Сартра об энциклопедистах, расположивших знания по алфавиту [22], помогает заметить, что систематический каталог, в свою очередь, не столько идентифицирует степени свободы универсума, сколько разбивает его на неопределённо многие неупорядоченные части.

Точно так же обстоят дела с числами. Античные математики полагали, что совокупности чисел могут быть взаимосвязанными (напр., совокупность, образующая ту или иную фигуру) и несвязанными (напр., куча, то есть та или иная последовательность чисел) [23]. Пользуясь использованным выше критерием, можно сказать, что фигуре соответствует система с определённым числом степеней свободы, куче - обратная ситуация.

Примером служит декартова ось t, гарантирующая, как полагают физики, систематическую квалификацию "прежде" и "после". Но общая одномерная последовательность не является основанием для таких гарантий, если не получена как проекция более многомерной хронологической фигуры. Кроме того, размерность, направление и т. п. предикаты времени апеллируют ко всё ещё не доказанной однородности метрических структур пространства и времени. Между тем хронологическая фигура не наделяет время телесной характеристикой, поскольку, мобилизуя оппозицию операций над числами и символов операций над символами чисел, предшествует своей пространственной данности.

Коснёмся арифметики. Зазеркальный собеседник Алисы приводит следующие выкладки: 3х4=12; 3х5=13; 3х6=14. С первого взгляда ясно, что две из них абсурдны. Однако Кэрролл уверяет, что существует счисление, в котором все они корректны [24]. Число как результат счёта, то есть присваивания порядковых номеров последовательности объектов, не определено. Логическое определение вида требует указания рода.

Между тем результат счёта, как вид, может принадлежать к сколь угодно разным родам, тогда как родополагающая трактовка счёта влекла бы невыяснимость его видообразующей компетенции. Система счисления определяется посредством двух гетерологичных счетов. Десятичная система, в которой мы приучены рассматривать числа, образована рекуррентной прогрессией десятков как вырождением генеративной [25] прогрессии единиц. Известно, как непросто согласовывать её с двенадцатиричной системой – например, рекуррентной прогрессией дюжин часов как вырождением генеративной прогрессии часов. Иными словами, обе они имееют по две степени свободы, являются 2-мерными [26].

В таком рассмотрении выкладки собеседника Алисы могут считаться автоморфизмами системы счисления, о существовании которой утверждает Кэрролл, по крайней мере в том смысле, что, являясь операциями над ней, не требуют чисел, которых в ней нет.

Обратимся к числовым символам, фиксирующим календарное счисление солнечных циклов. Оно опирается на счёт лунных циклов, ритм которых является идентифицирующей формой расхода времени. Но за таковую могут быть взяты недельный, суточный, часовой и т. п. ритмы. Хронометрия состоит не в идентификации длительностей (апеллирующей скорее к природе, чем к структуре времени), а в сопоставлении ритмов, итерирующих длительности. Из этого следует определение: ритм – число расхода времени [27], ставящее время в соответствие с итерациями некоторой части времени, то есть переносной симметрией.

"Так учили и пифагорейцы: по их словам, одни и те же вещи повторяются снова и снова нумерически" (Аристотель, Евдем. Л.484). Тем самым они распространили понятие визуально данных симметрий на хронометрию и встретили ожесточённую критику: "Повторяется ли то же самое время, или нет - вот вопрос" (Там же). Разрешение этого спора о номинальной данности симметрий стало возможным благодаря появлению теории групп и принципу симметрии, сформулированному в 1890 г. П. Кюри [28].

Хронометрическая система оказывается при этом произведением (последовательным осуществлением) двух переносных симметрий и порождаемого им обращения, поворота на π, то есть кристаллографической симметрией или группой движений, имеющей в гильбертовой классификации индекс II,2α.

Примерами служат произведение суточного ритма и ритма восходов и заходов Солнца, задающее время сна и бодрствования, или произведение недельного и суточного ритмов, различающее выходные и рабочие дни. Автоморфизмы этих систем "даны небом". Согласно Пуанкаре, мы лишены интуиции равенства двух интервалов времени [29], что справедливо для календарных длительностей.

Всё меняется при длительностях нейронного масштаба. Мы замечаем ускорения и замедления музыкальной фразы, то есть ритмов, итерирующих длительности от 10-1 до 101 сек., и различаем музыкальные тоны - итерации длительностей от 10-1 до 10-5 сек. Отметим, что итерации длительности 10-1 сек. характеризуют энцефалографический α-ритм, который, таким образом, делит однородный акустический континуум на область звуковысотных и область метроритмических феноменов. При этом фразировочные ритмы являются арифметическими прогрессиями итерируемых частей времени, звуковысотные интервалы - геометрическими прогрессиями отношений тонов (или арифметическими прогрессиями логарифмов этих отношений). Иными словами, слух наделён преадаптивной способностью к непосредственной идентификации хронометрических автоморфизмов.

Мелодия - фундаментальный факт музыки - существует в силу и только в силу нашей способности распознавать звуковысотные ступени, изложенные долями фразирующего ритма, как некое смысловое целое.

Что до смысла, то мелодия мотивационно эффективна, то есть наделена содержанием, определённым и хорошо заметным образом влияющим на сознание, и семасиометрически [30] самодостаточна - это содержание не поддаётся словесному пересказу. Что до семантической целостности или интактности, то мы отличаем завершённую мелодию от внезапно прерванной и замечаем в ней неверные тоны, если таковые допущены. Способность предузнавания слышимого целого в любых его деталях не ограничивается упомянутыми проявлениями и тем более поразительна, что не зависит от культурного прошлого индивидуума - в частности, не требует ни музыкального образования, ни даже предварительного знакомства с мелодией.

Это позволяло отнести мелодию к этологическим фактам, то есть сигнальным стимулам, если бы изменения порядка её ступеней уничтожали мотивирующий эффект. Известно однако, что такие изменения способны давать новые мелодии. Звуковысотный состав, пригодный для их получения, назван ладом и, судя по всему, обеспечивает вышеупомянутое предузнавание.

Лады и мелодии являются автоморфизмами, поскольку, будучи движениями модуляционной системы тонов, не меняют её структуру. Модуляциями называются движения, переводящие аудиальные значимости в себя и друг в друга. Подобно системам арифметического и календарного счисления, модуляционные системы являются произведениями рекуррентного и генеративного ритмов, итерирующих логарифмы интервалов - звуковысотный слух исчисляет не относительными частотами, а степенями относительных частот (ср. закон Вебера-Фехнера).

Комбинаторная целостность модусов арифметических и календарных систем определяется вырожденностью, в силу которой каждый их рекуррентный сегмент содержит все свои генеративные переносы, обеспечивая порядок переходов чисел (или дней-ночей, или суток) в новые разряды (или сутки, или недели), идентифицирующий систему счисления как таковую. Однако невозможно различить модусы вырожденных систем - например, узнать, что сегодня суббота - на основании самих систем, не прибегая к предваряющим конвенциям.

Между тем, восходя к преадаптивным свойствам слуха, система тонов не может быть предметом конвенций о тонах. Ладовый слух действует как квалифицирующая и как систематизирующая инстанции, то есть способен идентифицировать семантически целостные феномены и узревать их комбинаторное прошлое. Кроме того, модуляционные системы, находящие применение в мелодической эмпирике, являются невырожденными. Каждый их рекуррентный сегмент содержит лишь часть своих генеративных переносов, образуя какой-то из Ц+1 модусов (Ц+2)-хордной подсистемы, получаемой Ц генеративными операциями.

Пусть Ц = 6. Тогда любые 8 (=6+2) взятых подряд ступеней подсистемы являются одним из 7 (=6+1) её модусов, любые 14 (=6+6+2) взятых подряд ступеней включают все 7 модусов. Иначе говоря, она является (6+2)-хордной подсистемой своей системы, (6+2)-хорды - её внутренними автоморфизмами (движениями движений). Постоянное слагаемое 2 следует из структуры дихорда (тоники) модусов, получаемого рекуррентной операцией.

Вычислительный смысл понятия 'движения движений' раскрывается индексом К/С (К+С=Ц), отображающим К генеративных операций, предшествующих дихорду модуса, и С генеративных операций, которым предшествует он сам. Так, октахорды имеют индексы 0/6, 1/5, и т. д., из чего следует взаимообратимость структур, непосредственно данная индексами: 0/6-6/0, 1/5-5/1, и т. д. Выше упоминалось, что произведениями генеративных и рекуррентных переносов оказываются поворотные симметрии.

Названные симметрии отличают модуляционную систему от наборов бессвязных тонов и не зависят от того, каковы именно величины её рекуррентного и генеративного параметров. Определение таковых задаёт "энергии" или модальности (Ц+2)-хордов, т. е. их мотивационные функции. Так, при "октавной" рекуррентности и "квинтовой" генеративности рассмотренная выше (6+2)-хордная подсистема оказывается пифагоровой шкалой, (6+2)-хорды - мажорными и минорными ладами, задавшими характер европейской профессиональной музыки.

Эпилогом этого обсуждения симметрий пифагорейского времени может служить мнение Клавдиана Мармета: Так как сам Пифагор ничего не писал, его учение надо искать у позднейших. Среди них, насколько мне известно, более всех отличился Филолай Тарентский, который во многих томах рассуждает довольно темно о постижении вещей и о том, что каждая из них означает и, прежде чем определить сущность души, удивительным образом рассуждает о ритмах, мерах, весах и числах применительно к геометрии, музыке и арифметике, утверждая, что через них возникла вся Вселенная. (Л.445)

(Глава из книги «Музыка времени», опубликованной на CD Издательским домом «Early music»)

[1] Уитроу Дж. Естественная философия времени. М., 1964, с. 156-157. Я. (нач. ХХ в.), основатель т. наз. неоинтуиционизма, предложивший совершенно новый подход к обоснованию анализа и теории множеств. Цитируется его знаменитая лекция 1907 г.

[2] Цит. по: Фрагменты ранних греческих философов. Ч. I. М., 1989, с 432. Ниже ссылки на это издание даются. буквой Л (по фамилии переводчика-составителя ) и номером страницы, содержащей цитирукмый текст.

[3] Цит. по: Платон. Тимей // Сочинения в трёх томах. Т. 3, часть 1. М., 1971. Пер. .

[4] См. В. Музыкальный синтаксис. СПб., 2007, с. 23-28. (См. также файл 9.)

[5] Традиционные термины шкалы 'октава', 'квинта' и 'кварта' (как относительные частоты 2, 3/2 и 4/3) взяты в кавычки, поскольку оказываются некорректными в любых контекстах, кроме октахордного.

[6] В пифагорейской математие совокупности чисел могут быть взаимосвязанными (напр., совокупность, образующая ту или иную фигуру) и несвязанными (напр., куча, то есть та или иная последовательность чисел).

[7] Аристоксен (354-300 гг. до н. э.): Αρμονικα στοιχεια.

[8] См.: В. Комментарий к античной теории шкалы // Слышимые симметрии. СПб., 1999, § 3.

[9] Ptolemaios C. (83-161 гг. н. э.) 'Αρμονικά. Аналогичную, хотя и менее долгосрочную роль исполнила его геоцентрическая система, пришедшая на смену гелиоцентрическим идеям Аристарха.

[10] Boethius, A. M.S. De institutione musica … (510-520 гг. н. э.)

[11] Уитроу Дж. Указ. соч., с. 157-158.

[12] Там же, с. 297.

[13] Напомню значения символов: Сатурн (V), Юпитер (H), Марс (G),Солнце (C), Венера (F), Меркурий (D), Луна (`).

[14] Вейль Г. Симметрия. М., 1968, с. 55.

[15] Broad C. D. Scientific Thought. London, 1923, p. 83.

[16] А. Причинная механика и возможности экспериментального исследования свойств времени. Избранные труды. Л., 1991, с. 297. (см. файл 5, стр. 24)

[17] Цит. по: Ф. Диалектика числа у Плотина. М., 1928, с. 17.

[18] Вейль Г. Континуум // Математическое мышление. М., 1989, с. 91.

[19] , Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966, с. 27.

[20] См.: В. Музыкальный синтаксис, с. 26.

[21] Слово "система" (греч.) означает "ткань", уток и основа которой имплицируют двухкомпонетность.

[22] П. Тошнота // Иностранная литература. № 7, 1989.

[23] Примеч. к Теологуменам Ямвлиха // Ф. История античной эстетики. Последние века. Кн. I, II полутом, М., 1988, с. 411. (курсив Ф. Р.)

[24] Кэрролл Л. Сквозь зеркало и что там увидела Алиса, или Алиса в Зазеркалье. М., 1979.

[25] Термины комбинаторной математики. 'Генеративный' и 'рекуррентный' - соотв., порождающий и повторяющий параметры системы.

[26] Система, скажем, десятичная, является неограниченной (наклонной) последовательностью единиц, каждая из которых по обе стороны от себя имеет неограниченные (не имеющие наклона) последовательности десяток.

[27] Греческие слова ariqmoV (число) и ruqmoV (ритм) образованы от общего корня rew (течь).

[28] "Когда какие-либо причины порождают некоторые эффекты, элементы симметрии причин должны обнаруживаться в этих эффектах. / Когда какие-либо эффекты проявляют некоторую диссиметрию (т. е. "выпадание" некоторых элементов симетрии, существовавших до оказанного воздействия), то эта диссимметрия должна обнаружиться и в причинах, их породивших. / Положения, обратные этим двум, несправедливы, по крайней мере практически, т. е. эффекты могут быть более симметричными, чем причины, породившие их". Цит. по: Узоры симметрии. М., 1980, с. 10-11.

[29] Пуанкаре А. Ценность науки // О науке. М., 1990, с. 232.

[30] Неологизм от греч. σημασια - "смысл".