Задания к учебной практике

Задания к учебной практике

Повторение пройденного материала

Изучить, копировать и воспроизвести программу со следующим кодом

Задание 1

1.  Написать программу с функциями, реализующими расчет конечных сумм из раздела 1.2-8 (стр. 31) справочника по математике.

2.  Написать программу с функциями, реализующими расчет сумм числовых рядов из таблицы 4.8-1 того же справочника (раздел 4.8-5, стр. 135).

Программу, читающую файлы формата djvu, можно скачать отсюда.

Задание 2

Написать программу вычисления определенного интеграла

1.  Методом прямоугольников

2.  Методом трапеций

Проверить работу программы на примерах интегралов, взятых из таблиц справочника по математике.

Примечание

Алгоритмы вычисления интеграла s от функции f(x) для равноотстоящих узлов на интервале [a = x0; b = x0 + n*Δx] можно записать в виде

1.  Прямоугольники:

a.  sn ≈ Δx*(f1 + … + fn), где fi = f(x0 + (i - ½)*Δx) – значения функции в средних точках интервалов. Процесс расчета сводится к последовательному вычислению s1, s2, s4,…, проверяя, выполняется ли условие |s2n – sn| < ε*|s2n|.

b.  Можно использовать рекурсивный подход, который состоит в следующем. На каждом шаге итерации нам известны:

  i.  границы интервала [a;b];

  ii.  значение площади прямоугольника на этом интервале sp = (b - a) * f(.5 * (a + b));

  iii.  значения функции в средних точках половинок интервала f(a + .25 * (b - a)) и f(b - .25 * (b - a))

Эти данные используются как параметры некоторой функции. Внутри функции считаются новые значения интегралов на половинках интервала s1, s2, и их сумма snext = s1 + s2 сравнивается с прежним значением sp. Если условие |snext – sp| < ε*|snext| выполняется, то расчет прекращается. Если это условие не выполняется, то результат представляется суммой тех же функций для новых двух половинок с новыми значениями перечисленных выше параметров. Для левой половинки это границы интервала [a; .5 * (a + b)], значение предыдущей оценки sp = s1, значения функции в средних точках новых половинок f(a + .125 * (b - a)) и f(a + .375 * (b - a)). Аналогично – для правой половинки.

2.  Трапеции:

a.  sn ≈ ½ Δx * (f0 + 2 * f1 + … + 2 * fn-1 + fn), где fi = f(x0 + i * Δx) – значения функции на границах трапеций. Если увеличить число разбиений в 2 раза, то результатом будет выражение s2n ≈ ¼ Δx * (f0 + 2 * f½ + 2 * f1 + … + 2 * fn-1 + 2 * fn-½ + fn). Здесь добавились n внутренних точек fi + ½ = f (x0 + (i + ½) *Δx). Обозначим сумму значений функций в этих точках S = Σfi, где i = 0, 1, … , n – 1. Тогда выражение для s2n можно записать в виде s2n = ½(sn + Δx * S). Такое соотношение называется рекуррентным. В нем результат следующей итерации (при 2n разбиениях) выражается через результат предыдущей (при n разбиениях). Используя рекуррентное соотношение, можно, начав с n = 1, вычислять интеграл в новом приближении пока не будет достигнуто неравенство |s2n – sn| < ε*|s2n|. В отличие от прямой формулы для sn, записанной вначале, рекуррентное соотношение позволяет избежать повторного вычисления функции в уже использованных точках.

b.  Можно использовать рекурсивный метод, аналогичный тому, что использовался в методе прямоугольников.

Задание 3

Система двух линейных уравнений в общем случае имеет вид

a11x1 + a12x2 = b1

a21x1 + a22x2 = b2

В общем виде это можно записать как

Решение этой системы можно записать по правилу Крамера в виде

x1 = det1/Det; x2 = det2/Det.

Здесь Det – определитель матрицы коэффициентов , равный a11a22 – a12a21. Определители det1 и det2 равны соответственно

det1 = det = b1a22 – a12b2,

det2 = det= a11b2 – b1a21.

Матрицей, обратной матрице aij, называется матрица xjk , которая в произведении с aij дает единичную матрицу δij. Другими словами, каждый k-ый столбец обратной матрицы является решением системы линейных уравнений вида

Численное решение системы линейных уравнений методом Крамера малоэффективно для систем с большим числом неизвестных. Обычно для решения системы линейных уравнений используются стандартные методы, реализованные в готовых библиотеках.

1.  Предположим, что известна функция (назовем ее X), которая возвращает решение системы линейных уравнений для заданной матрицы коэффициентов aij и столбца свободных членов bi. Напишите алгоритм определения элементов обратной матрицы, используя функцию X. Порядок матриц N.

2.  Предположим, что известна функция (назовем ее det), вычисляющая определитель заданной матрицы. Напишите алгоритм определения элементов обратной матрицы, используя правило Крамера.

Проверьте работу алгоритмов на примерах матриц 2x2, написав функции X и det для этого случая.

Фомин.