Сопротивление материалов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

539.3/.6(07) Ч-498 , , СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Учебное пособие Часть 1 3-е изд., перераб. и дополненное 10.  Расчёты за пределами упругости

Челябинск 2009

УДК 539.3//6(07)

, В. М. , . Сопротивление материалов: Учебное пособие.

Учебное пособие к лекционной части курса "Сопротивление материалов" соответствует общей типовой части программы для студентов машиностроительных специальностей. Оно предназначено для интенсификации и повышения качества индивидуальной работы студента в технически оснащённых лекционных аудиториях (телевизионных, компьютерных, с видеостенкой или кодоскопом) и при подготовке к практическим занятиям, зачётам и экзаменам.

Cписок лит. – 2 назв.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ ........................................................................... 4

6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕНИЙ

И ДЕФОРМАЦИЙ...................................................................... 5

7. КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ.......... 8

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК............................................. 96

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие предназначено для использования студентами в процессе лекций в технически оснащённых аудиториях. Оно ни в коем случае не заменяет учебник или лектора и предназначено для более результативной работы студента на лекции. Отпечатанные в пособии схемы, рисунки и формулы являются копией материала, изображённого на дисплее (видеостенке, экране – при использовании кодоскопа) и предназначены для того, чтобы слушатель мог уделить больше времени анализу материала, общению с лектором и самостоятельной работе.

Чистые (не заполненные) участки пособия предназначены для конспектирования информации, излагаемой лектором и полученной студентом при самостоятельной работе (идей, определений, комментариев, некоторых выводов и обсуждения результатов). Как правило, в напечатанном тексте отсутствует описание постановки задачи и анализ результатов. Курсивом выделены вопросы, которые рекомендуется рассмотреть или в ходе лекции, или при самостоятельной работе студента.

Каждый преподаватель даёт свою трактовку курса, а каждый студент записывает то, что лично ему представляется необходимым зафиксировать на бумаге, поэтому использование уже заполненных кем-то конспектов неэффективно.

В конце каждого раздела приводятся вопросы для самопроверки, задачи для самостоятельного решения и примеры типовых вопросов экзаменов прошлых лет.

Пособие предназначено для студентов машиностроительных специальностей; при этом разделы курса, отражающие специфику той или иной специализации в нём, как правило, не приводятся. Предполагается, что в качестве основного учебника используется "Сопротивление материалов" (рекомендуется десятое издание, опубликованное МГТУ им. в 1999 г.)

Авторы пособия с благодарностью примут все пожелания и предложения по его совершенствованию.

РАСЧЁТЫ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ

Цели, области применения

Диаграмма деформирования. Схематизация диаграмм

Реальная диаграмма, её зависимость от условий и программы нагружения. Схематизация реальной диаграммы в зависимости от цели расчёта

Анализ поведения упруго-пластической конструкции при пропорци­ональном нагружении статически неопределимой системы, элементы которой испытывают растяжение или сжатие.

	Дано: l1=l2=2l; l2=l; S1=S2=S3=S; E1=E2=E3=E; Построить зависимости:
	1. N1=N3; N1+N2=P;
	2. Δl1= Δl3; Δl2=2 Δl1=2 Δl3; DA=Dl2;

Начальное состояние: P= 0, σ1= σ2= σ3= 0, ε1= ε2= ε3= 0, ΔA= 0

Расчёт ведётся для ряда последовательных приращений нагрузки ΔP. Величина каждого приращения ΔP выбирается так, чтобы внутри полученного диапазона нагрузок граница упругой и пластической областей конструкции не изменялась.

Первый шаг: , все стержни упруги σ = Eε,

, ,

N2=4N1, N1+N2=P→,

, ,

Границы применимости полученного решения: ;

;

При начинается пластическое деформирование стержня 2, при этом стержни 1 и 3 остаются упругими.

Второй шаг: Стержень 2 деформируется пластически (σ2=σT), стержни 1 и 3 упруги.

N2=σTS, N1+N2=P Þ N1=P – σTS, ,

,

Стержни 1 и 3 остаются упругими при , P<2sTS,

При P=P0=2sTS начинают пластически деформироваться все три стержня (s1=s2=s3=sT). Дальнейшее увеличение напряжений и – соответственно – нагрузки P=N1+N2, удовлетворяющей условиям статического равновесия, невозможно.

Таблица 1

Нагрузка	N1=N3	N2			ΔA=Δl2
P=0. Исходное состояние	0	0	0	0	0
. Все стержни упругие
. Начало пластического деформирования
. Стержень 2 – пластическая деформация. Стержни 1 и 3 – упруги.
Начало пластического деформирования всех стержней

Процесс деформирования при P>P0:

Разгрузка и повторные нагружения

Постановка задачи. Описание свойств материала при разгрузке и повторном нагружении. Идея и алгоритм расчёта.

Начальное состояние Процесс разгрузки Полная разгрузка (P=0)

Начальное состояние (пример): ,

(см. табл.1, строка ).

Процесс разгрузки: , ,

Первый шаг: все стержни деформируются упруго:,

, ,

(см. табл.1, строка ).

Границы применимости: , , .

Таблица 2

Нагрузка	N1=N3	N2	σ1= σ3	σ2	ΔA=Δl2
Исходное состояние
. Все стержни деформируют­ся упруго
P=0; Остаточные усилия, напряжения и перемещения

Проверка:

Поведение конструкции при повторном нагружении. Варианты: упругое деформирование, знакопеременное пластическое течение. Технологические остаточные напряжения и напряжения после стадии приработки, их влияние на поведение конструкции.

Деформирование системы при различных значениях исходных (остаточных, в том числе – технологических) напряжений

(а) – остаточные напряжения равны нулю;

(б) – наиболее "благоприятные" остаточные напряжения

PT =P0

(в) – наиболее "неблагоприятные" остаточные напряжения: .

Нагрузка P0, (при которой ) не изменяется при изменении остаточных напряжений, тогда как нагрузка PT (при которой начинается пластическое деформирование) может изменяться от 0 до P0.

Разгрузка и повторное нагружение

1)

Все последующие циклы – упругие.

Знакопеременное течение

2)

Стабилизация поведения конструкции (здесь – повторение одной и той же петли гистерезиса) при повторных нагружениях происходит вследствие действия остаточных напряжений.

Число циклов до образования усталостной трещины зависит от размаха пластической деформации.

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать поведение изображенных на схемах ферм при возрастающей нагрузке. Для этого определить (в долях sTS) характерные нагрузки PT и P0, соответствующие началу возникновения в системе пластических деформаций и состоянию предельного равновесия, и построить графики зависимостей напря­жений и перемещения точки A.

Определить остаточные напряжения в фермах и остаточное перемещение точки A после нагружения системы до P = 0,5 (PT +P0) и последующей разгрузки.

Материал фермы идеально упруго-пластический.

При выполнении упругого расчёта воспользоваться канонической формой метода сил.

Задача 1 Задача 2

Задача 1 Задача 2

УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ЧИСТЫЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЯ

Упруго-пластический чистый изгиб стержня прямоугольного поперечного сечения

Дано: M, b´h; 0£M£M*.

Определить:

Постановка задачи. Идея и алгоритм расчёта. Отличие от расчёта фермы.

Исходное состояние:

Mx=0, s = 0, e = 0.

1. Всё сечение деформируется упруго (s = Ee):

2. Часть сечения деформируется пластически:

dS=b×dy;

Mx>MТ

.

Сопоставление процессов неупругого деформирования фермы и балки:

РАЗГРУЗКА И ПОВТОРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ

Дано: M, b´h;

Определить:

Начальное состояние:

Процесс разгрузки: M=Mн–DM.

Изменение разгрузки и кривизны при разгрузке происходит упруго:

При DM=Mн–M (полная разгрузка):

при y ³ yТ

Расчет с использованием реальной диаграммы деформирования (. Сопротивление материалов, изд.10, стр.444)

ПОНЯТИЕ О ПЛАСТИЧЕСКОМ ШАРНИРЕ

В случае распространения пластической деформации при изгибе на всю высоту сечения в нём возникает так называемый ПЛАСТИЧЕСКИЙ ШАРНИР. Это состояние соответствует бесконечно большой кривизне балки в данном сечении:

Момент внутренних сил (изгибающий момент) в сечении из идеально пластического материала не может превышать M0.

Аналогия между пластическим шарниром и шарниром с постоянным моментом трения.

Рассмотрим стержень с поперечным сечением, симметричным относительно оси y (плоскость действия нагрузки) и несимметричным относительно центральной оси x.

1.  В упругом состоянии нейтральная ось x проходит через центр тяжести сечения.

2.  Чтобы определить положение нейтральной оси в предельном состоянии (при r Þ 0), воспользуемся уравнением равновесия:

В пластическом шарнире нейтральная ось делит поперечное сечение на две равные по площади и не проходит через его центр тяжести.

Величину M0 можно найти из второго уравнения равновесия:

и – статические моменты площадей растянутой и сжатой зон сечения относительно нейтральной оси в пластическом шарнире;

– пластический момент сопротивления поперечного сечения.

Таким образом имеем:

Форма сечения
	1,15…1,17	1,27	1,5	1,7	2,0

Выводы:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Витая пружина получается путём холодной навивки проволоки на цилиндрическую оправку. Для случая прямоугольного сечения проволоки подобрать диаметр оправки Dопр с таким расчётом, чтобы после навивки пружина имела заданный средний диаметр витка Dпр=25 мм. Высота сечения проволоки h=2,5 мм; sT =500 МПа; E=2×105 МПа.

Задача 2.

Дано:

l, b, h, sТ

а) Найти кривизну оси балки (как функцию координаты сечения) при

б) Найти максимальные остаточные напряжения после нагружения и разгрузки.

Задача 3.

Балка прямоугольного сечения из стали 20 испытывает повторные нагревы снизу. В процессе нагрева и охлаждения распределение температуры по толщине является линейным. Максимальный перепад температур по толщине DТ=Т1–Т2=150°, a = 2×10-6 1/град, E=2×105 МПа, sТ =320 МПа, l=2 м, h=50 мм, b = 30 мм.

Найти условия начала знакопеременного пластического деформирования.

КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ

ОСНОВЫ РАСЧЁТА ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ

Нагружение конструкции – однократное, монотонное (аварийные ситуации, опрессовка сосудов, длительная стационарная работа при повышенных температурах).

Материал – идеально пластический.

Состояние предельного равновесия. Предельная нагрузка

; ; ;

Предельной будем называть здесь такую нагрузку конструкции из идеально пластического материала, при которой скорость пластической деформации стремится к бесконечности.

Для реальных материалов, у которых модуль упрочнения E' существенно меньше модуля упругости E, это соответствует значительному увеличению перемещений (по сравнению с упругими) при малом увеличении нагрузки

Расчётное усилие Pmax, которое можно безопасно приложить к системе, должно удовлетворять условию прочности:

,

где P0 – предельная нагрузка (разрушающая нагрузка),

[n] – нормированный коэффициент запаса прочности.

Расчёты по допускаемым напряжениям и по предельному равновесию. Расчёты по предельному равновесию (цель, методы, приложения, границы применимости).

Роль остаточных напряжений в процессах развития предельных состояний.

Различные подходы к расчёту предельной нагрузки

Теоремы о предельном равновесии

Первый подход: предельная нагрузка определяется на основе расчёта перемещений (расчёт кинетики неупругого деформирования) для ряда последовательно возрастающих нагрузок.

Второй подход: предельная нагрузка определяется как максимальная из всех нагрузок, при которых состояние предельного равновесия не достигается или как минимальное из всех нагрузок, при которых статическое равновесие конструкции невозможно. Раздел механики деформируемых тел, разрабатывающий этот подход, называют теорией предельного равновесия.

Максимальная из всех нагрузок, при которых скорости пластических деформаций конечны, и минимальная из нагрузок, при которых где-либо в конструкции

должны быть найдены при выполнении ограничений:

1.  условий равновесия,

2.  условий совместности деформаций и перемещений,

3.  физического закона, связывающего напряжения и деформации (или скорости деформаций):

, при ,

, если ; , если .

При решении неклассических вариационных задач часть ограничений может быть снята за счёт расширения области допустимых решений, если при этом результат решения не изменяется

max y = ? при ограничениях 1, 2, 3, 4, 5

Достаточно:

max y=? при ограничениях 2 и 3.

Уменьшение предела текучести не может привести к увеличению предельной нагрузки, но может обеспечить выполнение условий совместности при любой нагрузке.

Увеличение предела текучести не может привести к уменьшению предельной нагрузки, но может обеспечить выполнение условий равновесия при любой нагрузке.

Статическая теорема теории предельного равновесия

(для линейного напряжённого состояния)

Состояние предельного равновесия конструкции не будет достигнуто (т. е. заданная нагрузка P меньше или равна предельной P0), если существует какое-либо распределение напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и не превышающих предел текучести.

Кинематическая теорема теории предельного состояния

(для линейного напряжённого состояния)

Состояние предельного равновесия будет достигнуто (т. е. заданная нагрузка P больше или равна предельной P0), если существует какое-либо кинематически возможное, т. е. удовле­творяющее геометрическим условиям совместности, распределение скоростей (приращений) деформации и перемещений , для которого работа внешних сил больше, чем работа внутренних сил, затраченная на пластическое деформирование:

.

Здесь V1, V2 – объемы областей пластического растяжения и сжатия;

– скорости пластической деформации растяжения и сжатия .

Расчёт предельной нагрузки.

Приближённый кинематический метод

Алгоритм расчёта:

§Задаться распределением скоростей (приращений) перемещений, удовлетворяющим наложенным на тело связям.

§Вычислить соответствующие величины скоростей (приращений) пластических деформаций.

Примечание: упругие деформации и соответствующие им перемещения не учитываются.

§Из баланса работ найти значение нагрузки. Полученный результат является верхней оценкой действительной предельной нагрузки.

Пример 1.

Разрушение обязательно произойдёт, если

Действительная предельная нагрузка P0, отвечающая разрушению по любой возможной схеме

Приближённый статический метод

, , , ; , ,

max P = P0 =?

Следствие из статической теоремы:

В соответствии со статической теоремой нагрузка PT всегда меньше или равно P0, т. е. является нижней оценкой предельной нагрузки.

ПРИБЛИЖЁННЫЙ КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД.

РАСЧЁТ БАЛОК И РАМ

Пример 1.

P0D ³ M0q1 + M0q2 + M0q3;

Пример 2.

Преимущества и недостатки расчётов по предельному состоянию

Приближённый кинематический метод. Расчёт соединений

Постановка задачи. Зависимость результатов упругого расчёта от фактической геометрии соединения (в пределах полей допуска). Геометрическая нелинейность задачи. Материалы соединений.

Группы механизмов разрушения: отрыв, срез, смятие (определения).

; ;

Полное перераспределение напряжений (e >eT всюду в сечении) непосредственно предшествует образованию трещины.

Приближённый кинематический метод расчёта по предельному равновесию. Использование уравнения равновесия (для состояния, непосредственно предшествующего разрушению) вместо баланса работ.

Разрушение путём среза:

а) заклёпок

;

;

;

i – число заклёпок;

m – число плоскостей среза одной заклёпки;

б) листа

; ;

i – число заклёпок;

m – число поверхностей среза одной заклёпкой.

в) накладок

; ;

i – число заклёпок;

m – число поверхностей среза одной заклёпкой;

z – число накладок.

Разрушение путём отрыва:

а) листа

;

;

i – число заклёпок в ряду.

б) накладок

;

;

i – число заклёпок в ряду;

z – число накладок.

Разрушение путём смятия:

а) лист – заклёпки

;

i – число заклёпок в каждом листе;

Sсм=d×t – условно принимается.

;

[s]см – допускаемое напряжение на смятие, соответственно корректируется по Sсм= d×t.

б) накладки – заклёпки

; .

Вопросы для самопроверки

1.  В каких случаях используются схемы:

§  линейно упрочняющегося материала;

§  идеально жёстко пластического материала;

§  идеально упруго пластического материала?

2.  Опишите общий алгоритм расчёта конструкций за пределами упругости.

3.  Могут ли напряжения превысить расчётный предел текучести, если принято, что материал конструкции идеально пластичный?

4.  Какая нагрузка называется предельной:

§  в расчётах по предельному равновесию;

§  в расчётах по допускаемым напряжениям?

5.  Как определить усилия в стержнях один раз статически неопределимой системы, если в одном из них напряжения достигли величины равной пределу текучести?

6.  Какие напряжения называются остаточными?

7.  Вследствие чего в системах возникают остаточные напряжения?

8.  При каких условиях повторное нагружение конструкции (после пластической деформации) оказывается упругим?

9.  Как расчетным путем определяют напряжения при разгрузке?

10. Как определяется величина остаточных напряжений в статически неопределимой стержневой системе (последовательность расчёта)?

11. Как проверить правильность решения задачи о предварительном нагружении стержневой системы силой Р>РT, с последующей разгрузкой по эпюре остаточных напряжений?

12. Как вычислить в стержневой системе перемещения к началу разрушения системы?

13.  Как определяется перемещение какой-либо точки стержневой статически неопределимой системы, если в одном из стержней напряжения достигли величины sT и стержень деформируется пластически?

14.  Как вычислить величину остаточных перемещений при изгибе балки?

15.  Что понимают под предельным состоянием системы в теории предельного равновесия?

16.  Что называется предельно допускаемой нагрузкой? Как ее рассчитывают?

17.  Какой вид имеет условие прочности для расчета по предельным нагрузкам (по предельному равновесию)?

18.  Для каких конструкций неприменим способ расчета по предельному равновесию?

19.  Что собой представляет диаграмма идеально упруго-пластического материала?

20.  На какие характеристики процесса деформирования конструкции влияет наличие начальных технологических напряжений (в том числе монтажных)?

21.  Зависит ли величина предельной нагрузки от наличия в конструкции начальных зазоров, а также от податливости опорных закреплений?

22.  В чем заключается сущность кинематического метода определения предельной нагрузки?

23.  Что такое пластический шарнир (или шарнир текучести)?

24.  Что такое пластический момент сопротивления сечения? Как его определяют?

25.  В каких случаях нейтральная ось сечения в пластическом шарнире не проходит через центр тяжести сечения? В каких случаях – проходит?

26.  Как определяется предельная нагрузка для статически определимых и статически неопределимых балок?

27.  Совпадают ли расчеты по допускаемым напряжениям и по предельному равновесию для статически определимых балок? Если не совпадают, то в чем отличие расчетов?

Экзаменационные вопросы прошлых лет

1.  Предельное равновесие стержня при чистом прямом изгибе. Вычисление предельного изгибающего момента для различных сечений. Понятие о пластическом шарнире.

2.  .Поведение статически неопределимой стержневой системы при возрастающей нагрузке. Предельные значения параметра нагрузки PT и P0. Построение диаграммы деформирования системы (показать на примере).

3.  Определение напряжений и перемещений в стержневой системе за пределом упругости. Закон разгрузки. Остаточные напряжения. Повторное нагружение системы (наклеп и эффект Баушингера).

4.  Прямо чистый изгиб за пределом упругости. Зависимость кривизны изогнутой оси и напряжений в сечении от величины изгибающего момента М. Предельные значения момента МT и М0.

5.  Основы расчета элементов конструкций за пределом упругости: способы схематизации диаграммы деформирования материала, основные допущения, особенности расчета.

6.  Предельное равновесие балок и плоских рам. Кинематический метод определения предельной нагрузки. Условие прочности по предельному равновесию.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.  Феодосьев материалов. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.

2.  , Мавлютов материалов.– М.: Наука, 1986.

3.  , , Буслаева сечений. Построение эпюр внутренних силовых факторов: Учебное пособие/ Под ред. . – Челябинск: ЮУрГУ, 1998.

		Министерство Российской Федерации по атомной энергии СНЕЖИНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
		, , СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Часть 1 Учебное пособие Разделы: 10.Расчёты за пределами упругости

УДК 539.3//6(07)

, , . Сопротивление материалов: Учебное пособие. Под. редакцией

Учебное пособие к лекционной части курса "Сопротивление материалов" соответствует общей типовой части программы для студентов машиностроительных специальностей. Оно предназначено для интенсификации и повышения качества индивидуальной работы студента в технически оснащённых лекционных аудиториях (телевизионных, компьютерных, с видиостенкой или кодоскопом) и при подготовке к практическим занятиям, зачётам и экзаменам.

Cписок лит. – 3 назв.