Олимпиада ВГУ I тур (заочный). Условия. 9 класс

Олимпиада ВГУ

I тур (заочный)

Условия.

1. Вычислите сумму .

2. Известно, что . Докажите неравенство

3. За круглым столом были приготовлены 12 мест для жюри с указанием имени на каждом месте. Николай Николаевич, пришедший первым, по рассеянности сел не на свое, а на следующее по часовой стрелке место. Каждый член жюри, подходивший к столу после этого, занимал свое место или, если оно уже было занято, шел вокруг стола по часовой стрелке и садился на первое свободное место. Возникшее расположение членов жюри зависит от того, в каком порядке они подходили к столу. Сколько может возникнуть различных способов рассадки жюри?

4. Пусть . Найдите значение функции в точке .

5. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) проведена биссектриса АМ. Найдите углы треугольника, если известно, что ВМ=АС.

10 класс

1. Какое число больше: или ?

2. Найдите все решения системы

3. Решите уравнение где – целая часть х, т. е. целое число, не превосходящее х, – дробная часть х.

4. В восьми корзинах лежали яблоки трех сортов: антоновка, джонатан и ранет, причем в каждой корзине – яблоки только одного сорта. В первой корзине лежало 20 яблок, во второй – 24, в третьей – 28, в четвертой – 32, в пятой – 36, в шестой – 40, в седьмой – 44, в восьмой – 48. После того как продали корзину ранета, яблок этого сорта осталось вдвое больше, чем антоновки, но вдвое меньше, чем джонатана. В каких корзинах лежала антоновка, а в каких ранет? Найдите все возможные варианты.

5. Вершины K, L, M, N четырехугольника KLMN лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD. Найдите наименьший возможный периметр четырехугольника KLMN, если известно, что AK=2, BK=4 и AN=ND.

11 класс

1. Уравнение с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Известно, что первый корень является синусом, второй – косинусом, а третий – тангенсом одного и того же угла. Найдите все такие уравнения.

2. На одном турнире командам была предложена олимпиада из 8 задач. Выяснилось, что каждая команда решила ровно 3 задачи. При этом любые две команды решили на двоих не менее 5 задач. Какое наибольшее количество команд могло участвовать в турнире.

3. Докажите, что для любых натуральных чисел т и п, больших 1, хотя бы одно из чисел и не превосходит .

4. Пусть удовлетворяют системе неравенств

Найдите множество значений выражения .

5. Две окружности с центрами А и В и радиусами 2 и 1 соответственно касаются друг друга. Точка С лежит на прямой, касающейся каждой из окружностей, и находится на расстоянии от середины отрезка АВ. Найдите площадь треугольника АВС.

Олимпиада ВГУ

I тур (заочный)

Решения.

9 класс

1. Вычислите сумму .

Решение.

Ответ: .

2. Известно, что . Докажите неравенство

Доказательство. Для доказательства воспользуемся неравенством Коши (), получим:

Равенство достигается в том и только том случае, если , т. е. при , , . Но эта тройка чисел не удовлетворяет равенству , поэтому в полученной оценке неравенство строгое.

Решение. Пусть члены жюри как-то сели за стол. Занумеруем их по часовой стрелке, начиная от Николая Николаевича. Затем удалим всех, кроме Николая Николаевича, из-за стола и будем запускать их обратно в порядке их номеров. Рассадка при такой операции не изменится. Таким образом, можно считать, что члены жюри заходят в таком порядке, что занимают места за столом по часовой стрелке.

Занумеруем места за столом по часовой стрелке так, чтобы место, где должен был сесть Николай Николаевич, имело номер 12 (т. е. Николай Николаевич сел на первое место).

Пусть в некоторый момент за столом заняты k мест и k<11. Тогда в этот момент никто из тех, кто должен занять места от k+1 до 11, еще не пришел. А всего еще не пришло 12–k членов жюри, значит еще не пришел только один человек, чье место уже занято. Следовательно, на место номер k+1 может сесть один из двух еще не пришедших членов жюри: либо тот, чье это место, либо тот, чье место уже занято.

Таким образом, каждое место с номером от 2 до 11 может быть занято двумя способами, а место номер 12 одним способом. Следовательно, всего может возникнуть 210 способов рассадки членов жюри.

Ответ: 210.

4. Пусть . Найдите значение функции в точке .

Решение. Заметим, что:

;

…

По формуле для суммы геометрической прогрессии, последнее выражение равно . Подставляя х=4, получаем ответ .

Ответ: .

Решение. Отразим отрезок АС относительно прямой АМ. На стороне АВ получим точку С1. Треугольники АСМ и АС1М равны по первому признаку, следовательно, . Так как АВ=ВС, АС1=АС, то ВС1=МС и треугольник МВС1 – равнобедренный. Тогда и .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Рассмотрим сумму углов треугольника АВС:

Итак , .

Ответ: , , .

10 класс

1. Какое число больше: или ?

Решение. Рассмотрим отношение первого ко второму. Преобразуем отношение следующим образом

Отсюда видно, что отношение равно произведению двух чисел, меньших 1.

Ответ: первое меньше.

2. Найдите все решения системы

Решение. Так как , то , так как , то . Итак сложив почленно неравенства, получим , , следовательно, , .

Таким образом, откуда следует, что , т. е. . При этом .

Ответ: , .

3. Решите уравнение где – целая часть х, т. е. целое число, не превосходящее х, – дробная часть х.

Решение. Перепишем уравнение в следующем виде . Так как то , следовательно, , откуда получаем, что . Таким образом, или . Тогда, дробная часть равна 0 или соответственно.

Ответ: 0, .

Решение. Пусть после продажи одной корзины яблок осталось x штук антоновки. Тогда ранета осталось 2x штук, джонатана – 4x штук, а всего осталось x+2x+4x=7x яблок. Получается, что число оставшихся яблок должно делиться на 7.Первоначальное количество яблок, равное 272, дает при делении на 7 остаток 6. Поэтому остаток от деления на 7 числа яблок в проданной корзине тоже должен равняться 6. Таких корзин две: та, в которой 20 яблок, и та, в которой 48 яблок. Рассмотрим оба случая:

1 случай. Если продали корзину с 20 яблоками, то можно показать, что антоновка была в пятой корзине, а ранета после продажи первой корзины должно остаться 72 штуки, и они обязательно лежат в двух корзинах. Рассмотрим, сколько яблок должна содержать меньшая из них. Если взять корзину с 24 яблоками, то другая корзина должна содержать 72–24=48 яблок, откуда получаем ответ, что ранет мог находиться в первой, второй и восьмой корзинах. Если взять корзину с 28 яблоками, то другая корзина должна содержать 72–28=44 яблока, откуда получаем ответ, что ранет мог находиться в первой, третьей и седьмой корзинах. Если взять корзину с 32 яблоками, то другая корзина должна содержать 72–32=40 яблок, такая корзина есть. Получим, что ранет мог находиться в первой, четвертой и шестой корзинах. Других вариантов быть не может, и мы получаем три ответа:

1) антоновка – в пятой корзине, ранет – в 1-й, 4-й, 6-й;

2) антоновка – в пятой корзине, ранет – в 1-й, 3-й, 7-й;

3) антоновка – в пятой корзине, ранет – в 1-й; 2-й, 8-й.

2 случай. Допустим теперь, что продали корзину с 48 яблоками. Тогда яблок осталось 224 штуки, и из них антоновки 224:7=32 штуки, ранета штуки и джонатана штук. В этом случае антоновка лежит в четвертой корзине, потому что даже в двух самых маленьких корзинах находится 20+24=44 яблока. Легко убедиться, что ранет лежит в двух корзинах. Повторяя теперь аналогичные первому случаю рассуждения, получаем еще три ответа:

4) антоновка – в 4-й корзине, ранет – в 1-й, 7-й, 8-й;

5) антоновка – в 4-й корзине, ранет – в 2-й, 6-й, 8-й;

6) антоновка – в 4-й корзине, ранет – в 3-й, 5-й, 8-й.

Решение. Отрезок KN имеет фиксированную длину. Построим точки M', N', симметричные к M и N относительно прямой BC, а затем построим точку N", симметричную N' относительно DC. Сумма длин KL+LM+MN равна длине ломаной KLM'N" с фиксированными концами. Наименьшая будет для прямолинейного отрезка, длину которого легко найти по теореме Пифагора.

Ответ: .

11 класс

1. Уравнение с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Известно, что первый корень является синусом, второй – косинусом, а третий – тангенсом одного и того угла. Найдите все такие уравнения.

Решение. Пусть , и – корни уравнения. Тогда

Следовательно, , т. е. , откуда, учитывая, что с – целое число, получаем с=0; –1; –2. При с=0 и , тогда два корня совпадают, а по условию уравнение имеет три различных корня. При с=–2 , очевидно, что тангенс в этом случае не существует. Наконец, при с=– 1 получаем , (так как корни различны) и . В этом случае , .

Ответ: .

Решение. Покажем, что никакую задачу не решило более 3 команд. Предположим противное – некоторую задачу решили как минимум 4 команды. Для оставшихся 7 задач этими командами были найдены минимум 8 решений, следовательно, найдется по крайней мере одна задача, которую решили как минимум пара из этих команд. Тогда эта пара имеет минимум две общие задачи, то есть вместе две команды решили не более четырех, что противоречит условию.

Заметим, что общее число различных решений (пар команда-задача) не более 24, поскольку каждую из 8 задач сделало не более 3 команд. Но каждая команда решила ровно три задачи, следовательно, команд не более 8. Можно привести пример, что для 8 команд это возможно:

1. , 2. , 3. , 4. ,

5. , 6. , 7. , 8. .

Ответ: 8 команд.

3. Докажите, что для любых натуральных чисел т и п, больших 1, хотя бы одно из чисел и не превосходит .

Решение. Без ограничения общности можно считать, что . При этом . В таком случае достаточно доказать неравенство или другими словами . Заметим, что для п=2 неравенство верно, поскольку при возведении обеих частей неравенства в шестую степень получаем (верное неравенство). Вычисляя натуральные логарифмы от обеих частей неравенства, получаем, что достаточно доказать неравенство для всех . Рассмотрим функцию при . Имеем производную . Если , то , следовательно, . Это означает, что при функция убывает, так что при выполняется , что доказывает неравенство.

4. Пусть удовлетворяют системе неравенств

Найдите множество значений выражения .

Решение. Перепишем исходную систему в виде а выражение, множество значений которого надо определить, обозначим . Следовательно, задачу можно сформулировать так: определите множество таких для которых окружности радиуса пересекаются с множеством решений исходной системы, изображенным на рисунке. Поэтому на множестве решений исходной системы функция принимает минимальное значение в точке М множества решений, ближайшей к центру окружности . Чтобы найти это решение, проведем через точку прямую, перпендикулярную прямой . Перпендикулярными к прямым вида являются прямые вида . Отсюда нетрудно получить уравнение искомой прямой . Координаты точки М пересечения этой прямой с прямой находятся из системы уравнений

Определим теперь минимальное значение:

Для того чтобы определить максимальное значение функции , как видно из рисунка, достаточно найти расстояние от точки до точки N внутреннего касания окружностей и . Найдем уравнение прямой ON в виде :

. Найдем пересечение этой прямой с окружностью . Имеем уравнение , , . Так как пересечение расположено левее центра окружности с абсциссой –2, то , следовательно, . Квадрат расстояния от найденной точки до точки будет равно .

Ответ: .

Решение. В случае внутреннего касания окружностей (рис. 1) общая касательная единственная. Пусть К – точка касания, М – середина отрезка АВ, тогда , что не удовлетворяет условиям.

В случае внешнего касания окружностей возможны два варианта расположения внешней касательной:

1) Первый вариант представлен на рис. 2. Как и в предыдущем случае, получаем , что нас полностью устраивает.

2) Пусть во втором случае (рис. 3) точки А1, В1 – точки касания, М – середина АВ, М1 – проекция ее на общую касательную, D – пересечение этой касательной с линией центров. Точка С может располагаться на касательной по разные стороны от точки М1.

В первом случае , во втором . Найдем эти отрезки:

(так как ); , (). Так как , т. е. и :, следовательно, , . Значит высота равна , а высота равна . Теперь можем найти площадь треугольника в каждом случае: (не подходит), .