Понятие кривой. Гладкие кривые

§2. Понятие кривой. Гладкие кривые.

Пусть дана непрерывная вектор=функция . Фиксируем в точку О и будем откладывать от неё представители векторов . При изменении параметра , конец представителя вектора опишет некоторое множество точек, которое будем называть параметрически заданной кривой (или параметризованной кривой, короче кривой). Уравнение называется векторным параметрическим представлением кривой.

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат . Тогда

(*)

Так как координаты радиус вектора совпадают с координатами точки , система уравнений определяют ту же кривую что и уравнение . Эти уравнения называются параметрическими уравнениями данной кривой. Так как непрерывна, функции так же непрерывны.

При этом функции дифференцируемы столько же раз сколько и вектор-функция . Действительно, умножим равенство (*) скалярно на . Тогда . Следовательно, по правилам дифференцирования и так далее.

Пример. Рассмотрим вектор-функцию , где - постоянные векторы. Это векторное уравнение задает прямую.

Определение. Пусть дана кривая (). Кривая называется гладкой класса , если функции имеют непрерывные частные производные до порядка включительно и при этом для , то есть производные первого порядка не равны нулю одновременно. Последнее условие называется условием регулярности.

Если , то кривая называется гладкой.

Пример. Окружность имеет параметрические уравнения . Из курса математического анализа мы знаем, что эти функции бесконечно дифференцируемы. Кроме того, , то есть окружность – гладкая кривая.

Определение. Точку называют особой, если в ней , то есть все производные в этой точке обращаются в 0. Точка кривой, которая не является особой, называется регулярной.

Пример. Рассмотрим кривую - циклоида. Напомним, что циклоидой называется траектория точки окружности, катящейся по прямой без проскальзываний.

Найдем особые точки циклоиды: . Итак, в точках условие регулярности нарушается, то есть они являются особыми.

Пусть и - две гладкие кривые.

Определение. Говорят, что кривая получается из кривой заменой параметра , если найдется гладкое отображение такое, что

1) - сюръекция;

2) для всех , то есть - регулярно;

3) .

Если кривая получается из кривой заменой параметра, то часто говорят, что кривые и связаны заменой параметра, не указывая явно, какая кривая из какой получается, так как отношение между кривыми "быть связанным заменой параметра" является отношением эквивалентности. Докажем это.

Ÿ 1) Рефлексивность очевидна. Всякая кривая получается из самой себя заменой параметра , - тождественное отображение, которое регулярно, так как .

2)Симметричность. Пусть кривая получается из кривой заменой параметра , то есть .Поскольку производная отлична от нуля всюду на и непрерывна на нем, то она либо всюду положительна на , либо всюду отрицательна на . Это означает, что функция строго монотонна на . Следовательно, существует обратная функция сюръективная, строго монотонная, непрерывная и дифференцируемая. Поскольку - регулярна, производная также регулярна на интервале . Следовательно, - замена параметра, .

3) Транзитивность. Пусть , , - гладкие кривые, связанные заменами параметра и , то есть , . Очевидно, кривые и также связаны между собой , где будучи композицией регулярных сюръекций, является заменой параметра. Ÿ

Предложение. Условие гладкости кривой инвариантно относительно замены параметра.

Ÿ Пусть кривые и связаны заменой параметра и - гладкая. Тогда вектор-функция имеет непрерывные производные производные всех порядков как композиция гладких функций. Кроме того, , то есть выполняется условие регулярности и - гладкая. Ÿ

Замечание. Если кривая получается из кривой заменой параметра, то часто говорят, что на кривой произведена допустимая замена параметра.

Пример. Пусть дана парабола . Рассмотрим замену параметра . Тогда - сюръекция, и парабола в новой параметризации имеет уравнения .

Рассмотрим . Имеем при . Условие 2) нарушается, следовательно, отображение не является заменой параметра.

Пусть в фиксирована прямоугольная декартова система координат и дана система уравнений , задающая некоторое множество точек в . Возникает вопрос, в каком случае является гладкой кривой? По теореме о неявной функции, доказанной в курсе математического анализа, получаем: пусть , существует окрестность точки , в которой функции и непрерывны и имеют частные производные первого порядка и в точке . Тогда существует окрестность такая, что - гладкая кривая. Если при этом в точке , то в окрестности систему уравнений можно разрешить относительно и ,то есть , где функции и имеют непрерывные производные первого порядка в соответствующем промежутке . Тогда параметрические уравнения кривой имеют вид .